数学 必修 第四册 配人教B版 (1)当A=45时，求a: 1 (2)当△ABC的面积为2√2时，求△ABC的周长 2△MC的面积5=号sinB=方ac×29- 3 解（1：osB=分，0<B<180 2√2，.ac=6. 六simB=v1-cosB=2E 由余弦定理得9=a'+c-2a 3 即a2+c2=13. 如4x号2 ∴.(a+c)2=a2+c2+2ac=25, 由正弦定理可得a= ∴.a十c=5, sin B 22 41 ∴.△ABC的周长为a十b十c=8. 3 9.2正弦定理与余弦定理的应用 1.了解实际问题中有关的名称、术语， 课标定位 2.会建立实际应用题的三角形模型，并能运用正弦定理、余弦定理解决问题 素养阐释 3.加强直观想象、逻辑推理和数学运算能力的培养。 课前·基础认知 实际应用问题中有关的名称、术语 标方向线间的水平角，如：图②表示的方位角是60°，或称北 【问题思考】 偏东60°. 1.甲身高2m,他站在离旗杆底部20m的M处，此时他 (4)方向角：从指定方向线到目标方向线间的水平角，如 看旗杆的顶端A的仰角为60°，由此能否求得旗杆的高度？ 南偏西60指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60° 提示能.如图，旗杆高OA=OB十AB=2十20X 3.做一做：在300m高的山顶上，测得山下有一塔的塔 tan60°=2+20√5(m). 顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为 m. 解析如图，在Rt△CDB中，CD=300m,∠BCD= 90°-60°=30°， 30 N160 M 2-0 D 2.填空：在解决三角形应用题时，经常出现一些有关的 300 名称与术语，如铅垂平面、仰角、俯角、方向角、方位角等 BC=co830=200,5(m. (1)铅垂平面：与水平面垂直的平面. 在△ABC中，∠ABC=∠BCD=30°，∠ACB=60°- (2)仰角与俯角：在同一铅垂平面内，视线与水平线的 30°=30°..∠BAC=120° 夹角，当视线在水平线之上时，称为仰角，当视线在水平线之 下时，称为俯角（如图①所示） ∴AB=BC·sim30° 205×号 sin120° =200(m). 视线 北1 5 2 铅 仰角 -水平线 答案200 线 又俯角 60 【思考辨析】 视线 判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号里画 ① ② “/”,错误的画“X” (3)方位角：从某点的指北方向线起依顺时针方向到目 (1)两个不可到达的点之间的距离无法求得. (×) 16
数 学 必修 第四册 配人教B版 (1)当A=45°时,求a; (2)当△ABC 的面积为22时,求△ABC 的周长. 解 (1)∵cosB= 1 3 ,0°<B<180°, ∴sinB= 1-cos2B= 22 3 . 由正弦定理可得a= bsinA sinB = 3× 2 2 22 3 = 9 4 . (2)∵△ABC 的面积S= 1 2 acsinB= 1 2 ac× 22 3 = 22,∴ac=6. 由余弦定理得9=a2+c2- 2 3 ac, 即a2+c2=13, ∴(a+c)2=a2+c2+2ac=25, ∴a+c=5, ∴△ABC 的周长为a+b+c=8. 9.2 正弦定理与余弦定理的应用 课标定位 素养阐释 1.了解实际问题中有关的名称、术语. 2.会建立实际应用题的三角形模型,并能运用正弦定理、余弦定理解决问题. 3.加强直观想象、逻辑推理和数学运算能力的培养. 课前·基础认知 实际应用问题中有关的名称、术语 【问题思考】 1.甲身高2m,他站在离旗杆底部20m的M 处,此时他 看旗杆的顶端A 的仰角为60°,由此能否求得旗杆的高度? 提示 能.如图,旗杆高 OA =OB +AB =2+20× tan60°=2+203(m). 2.填空:在解决三角形应用题时,经常出现一些有关的 名称与术语,如铅垂平面、仰角、俯角、方向角、方位角等. (1)铅垂平面:与水平面垂直的平面. (2)仰角与俯角:在同一铅垂平面内,视线与水平线的 夹角,当视线在水平线之上时,称为仰角,当视线在水平线之 下时,称为俯角(如图①所示). ① ② (3)方位角:从某点的指北方向线起依顺时针方向到目 标方向线间的水平角,如:图②表示的方位角是60°,或称北 偏东60°. (4)方向角:从指定方向线到目标方向线间的水平角,如 南偏西60°指以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°. 3.做一做:在300m高的山顶上,测得山下有一塔的塔 顶与塔底的俯角分别为30°,60°,则塔高为 m. 解析 如图,在 Rt△CDB 中,CD=300m,∠BCD= 90°-60°=30°, ∴BC= 300 cos30° =2003(m). 在△ABC 中,∠ABC=∠BCD=30°,∠ACB=60°- 30°=30°.∴∠BAC=120°. ∴AB= BC·sin30° sin120° = 2003× 1 2 3 2 =200(m). 答案 200 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画 “√”,错误的画“×”. (1)两个不可到达的点之间的距离无法求得. (×) 16
第九章 解三角形 (2)已知三角形的两角和一边，可以解三角形 (/) (4)从指北方向开始.逆时针转75°到目标位置，则方位 (3)视线与水平线的夹角就是仰角」 (×) 角为75° (X) 课堂· 重难突破 探究一 测量距离问题 探究二测量高度问题 【例1】为了开凿隧道，要测量 【例2】如图所示，地平面上有 隧道上D,E间的距离，为此在山的 一旗杆OP,为了测得它的高度h 一侧选取适当点C,如图，测得 (单位：m),在地平面上取一基线 CA=400 m,CB=600 m,ACB= AB,AB=20m,在A处测得点P <J30 60°，又测得A,B两点到隧道口的 的仰角∠OAP=30°，在B处测得点 距离AD=80m,BE=40m(点A,D,E,B在同一条直线 P的仰角∠OBP=45°，又测得 上)，计算隧道DE的长.（精确到0.1m) ∠AOB=60°，求旗杆的高h.(精确 分析DE=AB-AD一BE,因此只要求出AB的长 到0.1m) 即可，而在△ACB中，已知AC,BC及其夹角，故可用余弦 分析欲求旗杆的高度h,可在△BPO,△APO,△AOB中 定理求解 我出OP(h),OA,OB的关系，用正弦定理或余弦定理去解决 解在△ABC中，AC=400m,BC=600m,∠ACB=60° 解在R△AP0中，OA=OP 由余弦定理，得AB2=AC2+BC2一2AC·BC· tan30=√3h. c0s60°， 在Rt△OBP中，∠BOP=90°，∠OBP=45°， 故OB=OP=h. 则AB=√400+6002-2×400×600×2≈529.2(m), 在△ABO中，由余弦定理，得 所以DE=AB-AD-BE≈409.2(m). AB2=OA2+OB2-2OA·OB·cos∠AOB. 即隧道DE的长约为409.2m 即400=3h2+h2-23h2·cos60°， 延伸探究 400=4h2-√5h2, 本例中，若已知角B,C及BC,AD,BE的值，能否求 /4+5 DE的长？ 所以h=20,√13 ≈13.3(m). 提示能.：A=π一B-C, 答：旗杆的高h大约为13.3m. BC AB 飞反思感悟 由nA=nC,求出AB, 解决测量高度问题的一叔步骤： ∴DE=AB-AD-BE (1)画图：根据已知条件画出示意图. 反思感悟 (2)分析三角形：分析与问题有关的三角形. 在解决实际问题时，先将实际问题转化为平面几 (3)求解：运用正弦定理、余弦定理，有序地解相关 何问题，再将已知条件转化为三角形中的边角问题，最 的三角形，逐步求解.在解题中，要综合运用平面几何 后利用正、余弦定理解三角形 知识，注意方程思想的运用， 【变式训练1】如图，在河岸边 【变式训练2】某兴趣小组要 有一点A,河对岸有一点B,要测量 测量电视塔AE的高度H(单位： A,B两点间的距离，先在岸边取基线 m).如图所示，竖直放置的标杆BC AC,测得AC=120m,∠BAC=45°， 的高度h=4m,仰角∠ABE=a, ∠BCA=75°，求A,B两点间的距离. ∠ADE=R.该小组已测得一组a,B B 解在△ABC中，AC=120m,∠BAC=45°， 的值，算出了tana=1.24,tan3=1.20,请据此算出H的值 ∠BCA=75°， 解AB= H 则∠ABC=180°-（∠BAC+∠BCA)=60°， tan= tan B' AB AC 由正弦定理，得sin/BCA一sinABC 根据AD=H 及AB十BD=AD tan B 则AB=120sin75 h H sin60° =20(32+√6). tan a tan B tan B' 即A,B两点间的距离为20(3√2十√6)m. htan a 4×1.24 解得H= ana-tan月-1.24-1.20-124. 因此，电视塔的高度H是124m. 17
第九章 解三角形 (2)已知三角形的两角和一边,可以解三角形. (√) (3)视线与水平线的夹角就是仰角. (×) (4)从指北方向开始,逆时针转75°到目标位置,则方位 角为75°. (×) 课堂·重难突破 探究一 测量距离问题 【例1】为了开凿隧道,要测量 隧道上D,E 间的距离,为此在山的 一侧 选 取 适 当 点 C,如 图,测 得 CA=400m,CB=600m,∠ACB= 60°,又测得A,B 两点到隧道口的 距离AD=80m,BE=40m(点A,D,E,B 在同一条直线 上),计算隧道DE 的长.(精确到0.1m) 分析 DE=AB-AD-BE,因此只要求出AB 的长 即可,而在△ACB 中,已知AC,BC 及其夹角,故可用余弦 定理求解. 解 在△ABC中,AC=400m,BC=600m,∠ACB=60°. 由余 弦 定 理,得 AB2 =AC2 +BC2 -2AC·BC · cos60°, 则AB= 4002+6002-2×400×600× 1 2 ≈529.2(m), 所以DE=AB-AD-BE≈409.2(m). 即隧道DE 的长约为409.2m. 本例中,若已知角B,C 及BC,AD,BE 的值,能否求 DE 的长? 提示 能.∵A=π-B-C, 由 BC sinA = AB sinC ,求出AB, ∴DE=AB-AD-BE. 在解决实际问题时,先将实际问题转化为平面几 何问题,再将已知条件转化为三角形中的边角问题,最 后利用正、余弦定理解三角形. 【变式训练1】如图,在河岸边 有一点A,河对岸有一点B,要测量 A,B 两点间的距离,先在岸边取基线 AC,测得AC=120m,∠BAC=45°, ∠BCA=75°,求A,B 两点间的距离. 解 在 △ABC 中,AC = 120 m,∠BAC = 45°, ∠BCA=75°, 则∠ABC=180°-(∠BAC+∠BCA)=60°, 由正弦定理,得 AB sin∠BCA = AC sin∠ABC , 则AB= 120sin75° sin60° =20(32+ 6). 即A,B 两点间的距离为20(32+ 6)m. 探究二 测量高度问题 【例2】如图所示,地平面上有 一旗杆 OP,为了测得它的高度h (单位:m),在地平面上取一基线 AB,AB=20m,在 A 处测得点P 的仰角∠OAP=30°,在B 处测得点 P 的 仰 角 ∠OBP =45°,又 测 得 ∠AOB=60°,求旗杆的高h.(精确 到0.1m) 分析 欲求旗杆的高度h,可在△BPO,△APO,△AOB 中 找出OP(h),OA,OB的关系,用正弦定理或余弦定理去解决. 解 在Rt△APO 中,OA= OP tan30° = 3h. 在Rt△OBP 中,∠BOP=90°,∠OBP=45°, 故OB=OP=h. 在△ABO 中,由余弦定理,得 AB2=OA2+OB2-2OA·OB·cos∠AOB, 即400=3h2+h2-23h2·cos60°, 400=4h2- 3h2, 所以h=20 4+ 3 13 ≈13.3(m). 答:旗杆的高h大约为13.3m. 解决测量高度问题的一般步骤: (1)画图:根据已知条件画出示意图. (2)分析三角形:分析与问题有关的三角形. (3)求解:运用正弦定理、余弦定理,有序地解相关 的三角形,逐步求解.在解题中,要综合运用平面几何 知识,注意方程思想的运用. 【变式训练2】某兴趣小组要 测量电视塔 AE 的高度 H (单位: m).如图所示,竖直放置的标杆BC 的高度h=4 m,仰角∠ABE=α, ∠ADE=β.该小组已测得一组α,β 的值,算出了tanα=1.24,tanβ=1.20,请据此算出H 的值. 解 AB= H tanα ,BD= h tanβ , 根据AD= H tanβ 及AB+BD=AD, 得 H tanα + h tanβ = H tanβ , 解得 H= htanα tanα-tanβ = 4×1.24 1.24-1.20 =124. 因此,电视塔的高度 H 是124m. 17
数学 必修 第四册 配人教B版 探究三与角度有关的问题 2.在解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用 【例3】如图，在海岸A处，发现北偏东45方向，距A 余弦定理求角.因为余弦函数在区间(0，π)内是单调递 减的，而正弦函数在区间(0，π)内不单调，一个正弦值 处(3-1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方 向，距A处2 n mile的C处的缉私船奉命以10√3 n mile/h的 可能对应丙个角，但角在区问(0，] 上时，用正弦定 速度追截走私船，此时走私船正以10 n mile/小的速度从B 理，余弦定理皆可 处向北偏东30°方向逃窜，问：缉私船沿什么方向行驶才能最 快追上走私船？请求出所需要的时间！ 【变式训练3】某海上水产养殖基地A,接到气象部门 预报，位于养殖基地南偏东60相距20(3+1)n mile的海面 上有一台风中心，影响半径为20 n mile,正以10√2 n mile/h 319 的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从该养殖 45 基地东北方向刮过，且(5十1)h后开始影响该养殖基地， C 75 B 并持续2h.求台风移动的方向. 解如图所示，设预报时台风北十 分析平面上的追及问题可转化为解三角形问题.设在 中心为B,开始影响养殖基地时台 D处追上走私船，根据题意，△ABC可解，因为要解的是 风中心为C,养殖基地刚好不受影 △BCD,所以可求出关联边BC. 响时台风中心为D,则点B,C,D在 60 解设缉私船在D处追赶上走私船，所用时间为th, 同一条直线上，且AD=20,AC=20. 则有CD=10√3t,BD=10t 由题意知AB=20(√/3十1)， 如图，在△ABC中，AB=√5-1，AC=2. DC=20√2，BC=(5+1)X10√2」 在△ADC中，，DC2=AD2+AC2, ∴.∠DAC=90°，∠ADC=45° 在△ABC中，由余弦定理得 cos∠BAC= AC2+AB2-BC2_3 2AC·AB-2 ∴.∠BAC=30°，又B位于A南偏东60°，60°十30°十 ∠BAC=45°+75°=120°. 90°=180°， 根据余弦定理，得 D位于A的正北方向，又∠ADC=45°， BC=√(W5-1)2+22-2X2×(W5-1)cos120°=6. ∴.台风移动的方向为向量CD的方向，即北偏西45° 根据正弦定理，得 方向 sin∠ABC=ACsin120 2x9 易错辨析 BC 6 2, 因忽视题设条件或定理应用不当致误 所以∠ABC=45 【典例】已知A船在灯塔C北偏东80°方向，距离灯塔 所以BC为东西方向，∠CBD=90°+30°=120°， C2km处，B船在灯塔C北偏西40°方向，A,B两船的距离 在△BCD中，根据正弦定理，得 为3km,求B到C的距离. sin∠BCD= BDsin∠CBD10t·sin120°_1 错解如图所示，由题意知 北 CD 10w3t Γ2 AB=3km,AC=2km,∠ACB= 所以∠BCD=30°，∠BDC=30°，则BD=BC=√6. 120°. 40 3km 由正弦定理，得 80° 所以10t=6,t= 0(h C 2km AC AB 所以年秋船沿北偏东60方向，需要五才能最快追上 sin∠ABC-sin∠ACB' 2十 走私 ∴sin∠ABC=AC·sin∠ACB 2_5 ①反思感悟 AB 3 3 1.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上， :∠ACB=120°，∴∠ABC为锐角， 画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角 os∠ABC=6 31 和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解 得的结果转化为实际问题的解. 由余弦定理，得AC2=AB2十BC2-2AB·BC· cos∠ABC, 18
数 学 必修 第四册 配人教B版 探究三 与角度有关的问题 【例3】如图,在海岸A 处,发现北偏东45°方向,距A 处(3-1)nmile的B 处有一艘走私船,在A 处北偏西75°方 向,距A 处2nmile的C处的缉私船奉命以103nmile/h的 速度追截走私船,此时走私船正以10nmile/h的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜,问:缉私船沿什么方向行驶才能最 快追上走私船? 请求出所需要的时间. 分析 平面上的追及问题可转化为解三角形问题.设在 D 处追上走私船,根据题意,△ABC 可解,因为要解的是 △BCD,所以可求出关联边BC. 解 设缉私船在D 处追赶上走私船,所用时间为th, 则有CD=103t,BD=10t, 如图,在△ABC 中,AB= 3-1,AC=2, ∠BAC=45°+75°=120°. 根据余弦定理,得 BC= (3-1)2+22-2×2×(3-1)cos120°= 6. 根据正弦定理,得 sin∠ABC= ACsin120° BC = 2× 3 2 6 = 2 2 , 所以∠ABC=45°. 所以BC 为东西方向,∠CBD=90°+30°=120°. 在△BCD 中,根据正弦定理,得 sin∠BCD= BDsin∠CBD CD = 10t·sin120° 103t = 1 2 . 所以∠BCD=30°,∠BDC=30°,则BD=BC= 6. 所以10t= 6,t= 6 10 (h). 所以缉私船沿北偏东60°方向,需要 6 10 h才能最快追上 走私船. 1.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上, 画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角 和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解 得的结果转化为实际问题的解. 2.在解三角形问题中,求某些角的度数时,最好用 余弦定理求角.因为余弦函数在区间(0,π)内是单调递 减的,而正弦函数在区间(0,π)内不单调,一个正弦值 可能对应两个角,但角在区间 0, π 2 上时,用正弦定 理、余弦定理皆可. 【变式训练3】某海上水产养殖基地A,接到气象部门 预报,位于养殖基地南偏东60°相距20(3+1)nmile的海面 上有一台风中心,影响半径为20nmile,正以102nmile/h 的速度沿某一方向匀速直线前进,预计台风中心将从该养殖 基地东北方向刮过,且 3+1 h后开始影响该养殖基地, 并持续2h.求台风移动的方向. 解 如图所示,设预报时台风 中心为B,开始影响养殖基地时台 风中心为C,养殖基地刚好不受影 响时台风中心为D,则点B,C,D 在 同一条直线上,且AD=20,AC=20. 由题意知 AB=20(3+1), DC=202,BC=(3+1)×102. 在△ADC 中,∵DC2=AD2+AC2, ∴∠DAC=90°,∠ADC=45°. 在△ABC 中,由余弦定理得 cos∠BAC= AC2+AB2-BC2 2AC·AB = 3 2 . ∴∠BAC=30°,又B 位于A 南偏东60°,60°+30°+ 90°=180°, ∴D 位于A 的正北方向,又∠ADC=45°, ∴台风移动的方向为向量C→D 的方向,即北偏西45° 方向. 易 错 辨 析 因忽视题设条件或定理应用不当致误 【典例】已知A 船在灯塔C 北偏东80°方向,距离灯塔 C2km处,B 船在灯塔C 北偏西40°方向,A,B 两船的距离 为3km,求B 到C 的距离. 错解 如 图 所 示,由 题 意 知 AB=3km,AC=2km,∠ACB= 120°. 由正弦定理,得 AC sin∠ABC = AB sin∠ACB , ∴sin∠ABC= AC·sin∠ACB AB = 2× 3 2 3 = 3 3 . ∵∠ACB=120°,∴∠ABC 为锐角, ∴cos∠ABC= 6 3 . 由余 弦 定 理,得 AC2 =AB2 +BC2 -2AB ·BC· cos∠ABC, 18
第九章 解三角形 ∴.4=9+BC2-2√6BC, BD2+CD2-CB2202+212-312 cos B= 2BD·CD 2×20×21 7 ∴.BC2-2√6BC+5=0.∴.BC=6±1. 4V5 .B到C的距离为（√6+1）km或(6-1)km 所以simB=7, 以上解答过程中出现了哪些错误？出错的原因是什 又因为sina=sin(3-60)=sin Bcos60°-sin60°· 么？你如何改正？你如何防范？ 提示错解中未应用“大角对大边”原理，产生增根，致 7 结果错误 21 AD 正解如图所示，由题意知AB=3km,AC=2km, 在△ACD中，sn60= sin a ∠ACB=120° 所以AD= 21×sina=15(千米). sin60° AC AB 由正弦定理，得sin/ABC sin∠ACB' 即这个人再走15千米就可以到达A城市. 北 随堂训练。。。。·。。 1.已知平行四边形两条邻边的长分别是4√和4√，它们的 3km 40 80° A 夹角是于，则平行四边形中较长的对角线的长是(). 2km A.2√10 B.2√I5 C.4√1o D.4√/15 ∴sim∠ABC=AC·sim∠ACB 解析如图所示，在口ABCD中，设较长的对角线长度为 AB 3 31 :∠ACB=120°，∴.∠ABC为锐角， a,∠ABC=子，则∠BAD=,在△ABD中，根据余孩 os∠ABC=6 3 定理得a3=(4,6)+(4,5)2-2×46X4Xcm 由余弦定理，得AC2=AB2十BC2一2AB·BC· 即a2=240,解得a=4√15】 cos∠ABC,∴.4=9+BC2-26BC, A 46 ∴.BC2-2√6BC+5=0.∴.BC=6±1. 43 当BC=√6+1时，BC>AB, 又∠ACB=120°，故AB为最大边， 答案D ∴.BC≠√6+1，即B到C的距离为(6-1)km. 2.一船向正北方匀速行驶，见正西方两座相距l0 n mile的 ①防范措施 灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见 1,在解决实际问题时，画出图形后应用正弦定理 其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75° 或余弦定理求解，得到的结果要检验其是否符合实际 方向上，则该船的速度是(). 意义，这点容易被忽略而造成多解. A.8 n mile/h 2.注意“大边对大角”和“大角对大边”原理的应用。 B.9 n mile/h 3.求角时，最佳选择是余弦定理：求边的最佳选择 C.10 n mile/h 是正弦定理」 D.12 n mile/h 【变式训练】某观测站C在A城市的南偏西20°方向， 解析如图所示，AB=10,∠BDC=60°，∠ADC=75°， 由A城市出发的一条公路，走向是南偏东40°方向，在C处 测得公路上B处有一人，距C为31千米，正沿公路向A城 市走去，走了20千米后到达D处，此时C,D间的距离为21 千米，问：这人还要走多少千米才能到达A城市？ 解如图，令∠ACD=a,∠CDB=B,在△CBD中，由 ∠DBC=30°. 余弦定理得 在△ABD中，∠ADB=15°，∠BAD=15, 北 :.BD=AB=10.DC=BD .sin 30=10X=5. 故船速口=DC .5=10(n mile/h), 答案C 19
第九章 解三角形 ∴4=9+BC2-26BC, ∴BC2-26BC+5=0.∴BC= 6±1. ∴B 到C 的距离为(6+1)km或(6-1)km. 以上解答过程中出现了哪些错误? 出错的原因是什 么? 你如何改正? 你如何防范? 提示 错解中未应用“大角对大边”原理,产生增根,致 结果错误. 正解 如图所示,由题意知 AB=3km,AC=2km, ∠ACB=120°. 由正弦定理,得 AC sin∠ABC = AB sin∠ACB , ∴sin∠ABC= AC·sin∠ACB AB = 2× 3 2 3 = 3 3 . ∵∠ACB=120°,∴∠ABC 为锐角, ∴cos∠ABC= 6 3 . 由余 弦 定 理,得 AC2 =AB2 +BC2 -2AB ·BC· cos∠ABC,∴4=9+BC2-26BC, ∴BC2-26BC+5=0.∴BC= 6±1. 当BC= 6+1时,BC>AB, 又∠ACB=120°,故AB 为最大边, ∴BC≠ 6+1,即B 到C 的距离为(6-1)km. 1.在解决实际问题时,画出图形后应用正弦定理 或余弦定理求解,得到的结果要检验其是否符合实际 意义,这点容易被忽略而造成多解. 2.注意“大边对大角”和“大角对大边”原理的应用. 3.求角时,最佳选择是余弦定理;求边的最佳选择 是正弦定理. 【变式训练】某观测站C 在A 城市的南偏西20°方向, 由A 城市出发的一条公路,走向是南偏东40°方向,在C 处 测得公路上B 处有一人,距C 为31千米,正沿公路向A 城 市走去,走了20千米后到达D 处,此时C,D 间的距离为21 千米,问:这人还要走多少千米才能到达A 城市? 解 如图,令∠ACD=α,∠CDB=β,在△CBD 中,由 余弦定理得 cosβ= BD2+CD2-CB2 2BD·CD = 202+212-312 2×20×21 =- 1 7 , 所以sinβ= 43 7 . 又因为sinα=sin(β-60°)=sinβcos60°-sin60°· cosβ= 43 7 × 1 2 + 3 2 × 1 7 = 53 14 , 在△ACD 中, 21 sin60° = AD sinα , 所以AD= 21×sinα sin60° =15(千米). 即这个人再走15千米就可以到达A 城市. 随堂训练 1.已知平行四边形两条邻边的长分别是46和43,它们的 夹角是 π 4 ,则平行四边形中较长的对角线的长是( ). A.2 10 B.2 15 C.4 10 D.4 15 解析 如图所示,在▱ABCD 中,设较长的对角线长度为 a,∠ABC= π 4 ,则∠BAD= 3π 4 ,在△ABD 中,根据余弦 定理得a2=(4 6)2+(4 3)2-2×4 6×4 3×cos 3π 4 , 即a2=240,解得a=4 15. 答案 D 2.一船向正北方匀速行驶,见正西方两座相距10nmile的 灯塔恰好与该船在同一直线上,继续航行半小时后,看见 其中一座灯塔在南偏西60°方向上,另一灯塔在南偏西75° 方向上,则该船的速度是( ). A.8nmile/h B.9nmile/h C.10nmile/h D.12nmile/h 解析 如图所示,AB=10,∠BDC=60°,∠ADC=75°, ∴∠DBC=30°. 在△ABD 中,∠ADB=15°,∠BAD=15°, ∴BD=AB=10,DC=BD·sin30°=10× 1 2 =5. 故船速v= DC 0.5 =10(nmile/h). 答案 C 19
数学 必修第四册 配人教B版 3.如图，测量河对岸塔高AB时，选择与塔 塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观 底在同一水平面的两个测量点C与D, 察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B,C两点间的距离是 已知测得∠BCD=75°，∠BDC=45°， n mile. CD=60m.在点C处测得塔顶A的仰 解析根据题意，作出示意图， -20 角为30°，则塔高为 m. 如图，在△ABC中，∠BAC= 30 解析在△BCD中，∠CBD=180°- 30°，∠ABC=105°，AB=20, 75°-45°=60°， ∠ACB=45°， 50入65 25" CD BC 20 B 根据正弦定理得 in60°=sin45, 则sim30°sm6。、 解得BC=l02 n mile. 则BC= =20√6】 答案102 3 5.小明向正东方向走xkm后向右转150°，然后朝新方向走 3km,此时离出发点恰为√3km,试求x的值 在Rt△ABC中，AB=BC·tan30°=20V6X 3 解由题意可知，小明走的过程可构造一个三角形， 20√2(m). 在该三角形中应用余弦定理得，(5)2=32十x2一 答案202 2X3xcos30°， 4.一艘海轮从A处出发，以40 n mile/h的速度沿东偏南 所以x2一3√3x+6=0, 50°方向直线航行，30min后到达B处，在C处有一座灯 解得x=5或x=25. 课后·训练提升 B.180(√2-1)m 基础·巩固 C.120(3-1)m 1.为了测量B,C之间的距离，在河 D.30(W5+1)m 岸A,C处测量，如图，测得下面 解析tan15°=tan(60°一 四组数据，较合理的是( tan60°-tan45° 45°)= A.c与a 1+tan60°tan45 B.c与b 2-√3，BC=60tan60°-60tan15°=120（√3-1）(m). C.b,c与3 故选C D.b,a与y 答案C 解析因为测量者在A,C处测量，所以较合理的应该是 4.已知两座灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于 b,a与Y akm.灯塔A在观测站C的北偏东20°方向，灯塔B在观 测站C的南偏东40°方向，则灯塔A到灯塔B的距离 答案D 为( 2.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O,两船航行 A.akmB.√3akmC.√2akmD.2akm 方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h, 15 n mile/h,则14时两船之间的距离是(). 解析在△ABC中，∠ACB=120°，AC=BC=akm,根 A.50 n mile B.70 n mile 据余弦定理得AB=3akm. C.90 n mile D.110 n mile 答案B 解析到14时，轮船A和轮船B分别航行了50 n mile, 5.一树干被台风吹断，折断部分与地面成30°角，树干底部与 30 n mile,由余弦定理得两船之间的距离为l= 树尖着地处相距20m,则树干原来的高度为(). √502+302-2×50×30×cos120°=70(n mile). A. 3 m B.205m C.205m D.20m 答案B 解析如图所示，在△ABC中， 3.如图，从热气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯 ∠ABC=30°，BC=20m, 角分别为75°，30°，此时热气球的高是60m,则河流的宽 度BC等于(). 则AC=20 3AB=403 31 A.240(5-1)m 20
数 学 必修 第四册 配人教B版 3.如图,测量河对岸塔高AB 时,选择与塔 底在同一水平面的两个测量点C 与D, 已知测得∠BCD =75°,∠BDC=45°, CD=60m.在点C 处测得塔顶A 的仰 角为30°,则塔高为 m. 解析 在 △BCD 中,∠CBD =180°- 75°-45°=60°, 根据正弦定理得 CD sin60° = BC sin45° , 则BC= 60× 2 2 3 2 =206. 在Rt△ABC 中,AB=BC·tan30°=20 6× 3 3 = 202(m). 答案 202 4.一艘海轮从A 处出发,以40nmile/h的速度沿东偏南 50°方向直线航行,30min后到达B 处,在C 处有一座灯 塔,海轮在A 处观察灯塔,其方向是东偏南20°,在B 处观 察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C 两点间的距离是 nmile. 解析 根据题意,作出示意图, 如图,在 △ABC 中,∠BAC = 30°,∠ABC =105°,AB =20, ∠ACB=45°, 则 BC sin30° = 20 sin45° , 解得BC=102nmile. 答案 102 5.小明向正东方向走xkm后向右转150°,然后朝新方向走 3km,此时离出发点恰为 3km,试求x 的值. 解 由题意可知,小明走的过程可构造一个三角形, 在该三角形中应用余弦定理得,(3)2=32+x2- 2×3xcos30°. 所以x2-33x+6=0, 解得x= 3或x=23. 课后·训练提升 基础 巩固 1.为了测量B,C 之间的距离,在河 岸A,C 处测量,如图,测得下面 四组数据,较合理的是( ). A.c与α B.c与b C.b,c与β D.b,α与γ 解析 因为测量者在A,C 处测量,所以较合理的应该是 b,α与γ. 答案 D 2.轮船A 和轮船B 在中午12时同时离开海港O,两船航行 方向的夹角为120°,两船的航行速度分别为25nmile/h, 15nmile/h,则14时两船之间的距离是( ). A.50nmile B.70nmile C.90nmile D.110nmile 解析 到14时,轮船A 和轮船B 分别航行了50nmile, 30n mile,由 余 弦 定 理 得 两 船 之 间 的 距 离 为 l= 502+302-2×50×30×cos120°=70(nmile). 答案 B 3.如图,从热气球A 上测得正前方的河流的两岸B,C 的俯 角分别为75°,30°,此时热气球的高是60m,则河流的宽 度BC 等于( ). A.240(3-1)m B.180(2-1)m C.120(3-1)m D.30(3+1)m 解析 tan15°=tan(60°- 45°)= tan60°-tan45° 1+tan60°tan45° = 2- 3,BC=60tan60°-60tan15°=120(3-1)(m), 故选C. 答案 C 4.已知两座灯塔 A 和B 与海洋观测站C 的距离都等于 akm.灯塔A 在观测站C 的北偏东20°方向,灯塔B 在观 测站C 的南偏东40°方向,则灯塔 A 到灯塔B 的距离 为( ). A.akm B.3akm C.2akm D.2akm 解析 在△ABC 中,∠ACB=120°,AC=BC=akm,根 据余弦定理得AB= 3akm. 答案 B 5.一树干被台风吹断,折断部分与地面成30°角,树干底部与 树尖着地处相距20m,则树干原来的高度为( ). A. 20 3 m B.203 m C. 203 3 m D.20m 解析 如 图 所 示,在 △ABC 中, ∠ABC=30°,BC=20m, 则AC= 203 3 ,AB= 403 3 . 20