§20.2稳定问题 Green!数的一般性质 第5页 §20.2稳定问题Gree函数的一般性质 建立了稳定问题的 Green函数概念之后,就需要讨论它的一般性质: Greenl函数在点源附 近的行为以及 Green函数的对称性 1. Green函数在点源附近的行为 不妨仍然用静电场的语言来描述 Poisson方程第一边值问题的 Green函数.从上一节的分 析可以看到,在空间V中的点电荷,必然要在边界面上产生一定的感生(面)电荷分布,从而使 边界面成为等位面.当边界接地时,又会得有一部分电荷流失或流入,使得边界面的电势与 地相等(取为0).因此,决定 Green函数的定解问题又可以等价(在V内等价)地写成无界空间中 的 Poisson方程 v2Gr;r1)=-1[6(r-r)+(x) 其中σ(∑)是边界面∑上的感生面电荷密度,相应地,(定义在V内的) Green函数G(r;r)就应该 是这两部分电荷电势的叠加:单位点电荷6(r-7)的电势Go(r;r)和边界面上的感生电荷σ(∑) 的电势g(r;r) ⅴ2G0(r;r) 6(r-T) TEo r 所以,Go(r;r)在r=r点是不连续的 因为感生电荷σ(∑)只分布在曲面∑上,所以,9(r;η)及其一阶偏导数在曲面∑之 外(特别是,在V内)是处处连续的 把这两部分综合起来,就有 G(r;r)4TEoIr-r/+g(r; r) 对于第三类边界条件,也有同样的结果.只不过g(r;r)的具体表达式会得有所不同 对于其他类型的稳定问题,例如 Helmholtz方程的 Green函数, 2G(r;r)+kG(r;7)丶8(7-),r,r’∈V, G(r;rls=0 也可证明它们的Gren函数具有和 Poisson方程的Grea函数同样的连续性质.除 了η=r点外,G(r;T)在V内是处处连续的.令 9(r;r)=G(r;T)-G(r;r)
§20.2 ½¯KGreen¼ê5 1 5 §20.2 ½¯KGreen¼ê5 ïá ½¯KGreen¼êVg§ÒI?ا5µGreen¼ê3: N C1±9Green¼êé¡5© 1. Green¼ê3: NC1 ØE,^·>|ó5£ãPoisson§1>¯KGreen¼ê©lþ!© Û±w§3mV ¥:>Ö§7,3>.¡þ)½a)(¡)>Ö©Ù§l ¦ >.¡¤ ¡©>./§q¬kÜ©>Ö6½6\§¦>.¡>³ / (0)©Ïd§û½Green¼ê½)¯Kq± d(3V S d)/¤Ã.m¥ Poisson§ ∇ 2G(r; r 0 ) = − 1 ε0 £ δ(r − r 0 ) + σ(Σ) ¤ , Ù¥σ(Σ)´>.¡Σþa)¡>ÖÝ©A/§(½Â3V S)Green¼êG(r; r 0 )ÒAT ´ùüÜ©>Ö>³U\µü :>Öδ(r −r 0 )>³G0(r; r 0 )Ú>.¡þa)>Öσ(Σ) >³g(r; r 0 )§ ∇ 2G0(r; r 0 ) = − 1 ε0 δ(r − r 0 ), G0(r; r 0 ) = 1 4πε0 1 |r − r0 | ¤±§G0(r; r 0 )3r = r 0 :´ØëY© Ú ∇ 2 g(r; r 0 ) = − 1 ε0 σ(Σ). Ïa)>Öσ(Σ)©Ù3¡Σþ§¤±§g(r; r 0 )9Ù ê3¡Σ (AO´§3V S)´??ëY© rùüÜ©nÜå5§Òk G(r; r 0 ) = 1 4πε0 1 |r − r0 | + g(r; r 0 ). éu1na>.^§kÓ(J©ØLg(r; r 0 ) äNLª¬k¤ØÓ© éuÙ¦a.½¯K§~XHelmholtz§Green¼ê§ ∇ 2Gˆ(r; r 0 ) + k 2Gˆ(r; r 0 ) = − 1 ε0 δ(r − r 0 ), r, r 0 ∈ V, Gˆ(r; r 0 ) ¯ ¯ Σ = 0. y²§Green¼êäkÚPoisson§Green¼êÓëY5©Ø r = r 0: §Gˆ(r; r 0 )3V S´??ëY©- gˆ(r; r 0 ) = Gˆ(r; r 0 ) − G(r; r 0 ),
§20.2稳定问题 GreenE数的一般性质 第6页 G(r;r)是相应 Poisson方程的 Green函数,由G(r;r)和G(r;r)所满足的定解问 题,可以导出 V2(r;r)+k29(r;T')=k2G(r;r),r,r’∈V 9(r;r)x=0 由于这个方程右端的G(r;r)在=T点是以1/r-r1的形式发散的,所 以,(r;r)在该点一定连续(否则ⅴ2(r;η勹)会出现δ函数),这就说明G(r;r) 和G(r;r)一样,在T=y′点都是以1/T-r的形式发散的.事实上,从下 节的讨论可知,在γ=点附近,一定有 G 1 cos(kr-r'D T:T)~ 4TE0 I ●三维空间中 Green函数在点源处的行为,和一维空间中 Green函数不同 一维空间中的 Green函数是处处连续的,而它的一阶导数不连续 这是容易理解的,因为“点源”的性质并不相同,一维空间中的点源实际上是三维空间 中的面源 不难预料,二维空间中的Gren函数也应该表现出不同的行为 对于二维空间中的 Poisson方程第一边值问题,它的 Green函数G(x,v;x',y),是定解问题 2+(0x,0>-x2)50-).(x,0,(x,y)∈S G(x,y6x,y′) 的解,其中C是平面区域S的边界.容易求得 G(x,x,y/)=-1m√(x-x)2+(-)2+9(x,买x,) 其中第一项是单位点电荷在无界空间中的电势(还可以加上一个常数,取决于电势零点的 选取),在“点源”(实际上是三维空间中的线源)6(x-x)6(y-y)处是对数发散的;第 项g(x,y;x',y)是边界上的感生电荷产生的电势,在S内处处连续 2. Green函数的对称性 先考察一下前面得到的解式 lIGr'; r)p(r)dr'-Eo///(2)VG(r'; r)ly,d3" 这个结果在物理意义上有费解之处:在右端的体积分中,G(r;r)代表r处的单位 点电荷在γ'处的电势,它乘上在观测点γ'处的电荷p(r)dr',并对观测点积分, 却给出处的电势!
§20.2 ½¯KGreen¼ê5 1 6 G(r; r 0 )´APoisson§Green¼ê©dGˆ(r; r 0 )ÚG(r; r 0 ) ¤÷v½)¯ K§±Ñ ∇ 2 gˆ(r; r 0 ) + k 2 gˆ(r; r 0 ) = k 2G(r; r 0 ), r, r 0 ∈ V, gˆ(r; r 0 ) ¯ ¯ Σ = 0. duù§màG(r; r 0 ) 3r = r 0 :´±1/|r − r 0 | /ªuѧ¤ ±, ˆg(r; r 0 ) 3T:½ëY(ÄK∇2 gˆ(r; r 0 ) ¬Ñyδ ¼ê)§ùÒ`²Gˆ(r; r 0 ) ÚG(r; r 0 ) §3r = r 0 :Ñ´±1/|r − r 0 | /ªuÑ©¯¢þ§le !?ا3r = r 0 :NC§½k Gˆ(r; r 0 ) ∼ 1 4πε0 cos(k|r − r 0 |) |r − r0 | . • nm¥Green¼ê3: ?1§Úm¥Green¼êØÓ© • m¥Green¼ê´??ëY§ § êØëY© • ù´N´n)§Ï/: 05¿ØÓ§m¥: ¢Sþ´nm ¥¡ © • ØJý§m¥Green¼êATLyÑØÓ1© éum¥Poisson§1>¯K§§Green¼êG(x, y; x 0 , y0 )§´½)¯K h ∂ 2 ∂x2 + ∂ 2 ∂y2 i G(x, y; x 0 , y 0 ) = − 1 ε0 δ(x − x 0 )δ(y − y 0 ), (x, y),(x 0 , y 0 ) ∈ S, G(x, y; x 0 , y 0 ) ¯ ¯ C = 0 )§Ù¥C´²¡«S>.©N´¦§ G(x, y; x 0 , y 0 ) = − 1 2πε0 ln p (x − x0) 2 + (y − y 0) 2 + g(x, y; x 0 , y 0 ), Ù¥1´ü :>Ö3Ã.m¥>³(±\þ~ê§ûu>³": À)§3/: 0(¢Sþ´nm¥ ) δ(x − x 0 )δ(y − y 0 )?´éêuѶ1 g(x, y; x 0 , y0 ) ´>.þa)>Ö)>³§3SS??ëY© 2. Green¼êé¡5 k ec¡)ª u(r) = ZZZ V 0 G(r 0 ; r)ρ(r 0 )dr 0 − ε0 ZZ Σ0 f(Σ 0 )∇ 0G(r 0 ; r) ¯ ¯ Σ0 · dΣ0 . ù(J3Ôn¿Âþk¤)?µ3màNÈ©¥§G(r 0 ; r)Lr?ü :>Ö3r 0?>³§§¦þ3*ÿ:r 0?>Öρ(r 0 )dr 0§¿é*ÿ:È©§ %Ñr?>³
§20.2稳定问题 Green!数的一般性质 第7页 对这个问題的回答要涉及到Gren函数的对称性。因为,如果像无界空间 的 Green函数那样,关系式 G(rr)=G(r; r) 成立的话,那么,上式就能改写成 (;r^)p(r)dr-eo//r(x)vG(r;r 体积分的物理意义就一清二楚了.第二项的面积分当然就是来自边界面上的感生 面电荷的贡献 证明(#)式.和第十一章中的做法一样,再引进G(r;r”),它满足的定解问题当然就是 T,T V (r;r 将两个方程分别乘以G(r;r")和G(r;T),相减,然后在区域V内积分,就得到 G(r; r")VG(; r)-G(r;r)V-G(r; r")di G(r; r)8(r-r)-G(r; r)8(r-r")dr :rI 根据 Green公式,将上式左端的体积分化为面积分,就有 G(r;r")-G(r";r') -Eo//(G(r;r")VG(r; r)-G(r;r)VG(r;r")].d> 代入边界条件,立即得出右端的面积分为0.这样就证明了 将r"改写为r,这就是(#)式 如果是第三类边界条件,上面的结论仍然正确 对于其他类型的稳定问题,它们的 Green函数是否仍然有对称关系(#),需要具体讨 论,从原则上说,这至少要求G(r;r)和G(r;η)都是同一方程的解,或者说,方程在变 换rsp下是不变的
§20.2 ½¯KGreen¼ê5 1 7 éù¯K£9Green¼êé¡5©Ï§XJÃ.m Green¼ê@§'Xª G(r 0 ; r) = G(r; r 0 ) (#) ¤á{§@o§þªÒUU¤ u(r) = ZZZ V 0 G(r; r 0 )ρ(r 0 )dr 0 − ε0 ZZ Σ0 f(Σ 0 )∇ 0G(r; r 0 ) ¯ ¯ Σ0 · dΣ0 , NÈ©Ôn¿ÂÒÙ ©1¡È©,Ò´5g>.¡þa) ¡>Öz© y²(#)ª©Ú1Ù¥{§2Ú?G(r; r 00)§§÷v½)¯K,Ò´ ∇ 2G(r; r 00) = − 1 ε0 δ(r − r 00), r, r 00 ∈ V, G(r; r 00) ¯ ¯ Σ = 0. òü§©O¦±G(r; r 00)ÚG(r; r 0 )§~§,3«V SÈ©§Ò ZZZ V £ G(r; r 00)∇ 2G(r; r 0 ) − G(r; r 0 )∇ 2G(r; r 00) ¤ dr = − 1 ε0 ZZZ V £ G(r; r 00)δ(r − r 0 ) − G(r; r 0 )δ(r − r 00) ¤ dr = − 1 ε0 £ G(r 0 ; r 00) − G(r 00 ; r 0 ) ¤ . âGreenúª§òþªàNÈ©z¡È©§Òk G(r 0 ; r 00) − G(r 00 ; r 0 ) = −ε0 ZZ Σ £ G(r; r 00)∇G(r; r 0 ) − G(r; r 0 )∇G(r; r 00) ¤ · dΣ. \>.^§á=Ñmà¡È©0©ùÒy² G(r 0 ; r 00) = G(r 00 ; r 0 ), òr 00Ur§ùÒ´(#)ª© XJ´1na>.^§þ¡(ØE,(© éuÙ¦a.½¯K§§Green¼ê´ÄE,ké¡'X(#)§IäN? Ø©lKþ`§ù¦G(r; r 0 )ÚG(r 0 ; r)Ñ´Ó§)§½ö`§§3C r r 0e´ØC©
§20.3三维无界空间 Helmholtz方程的 Greent函数 第8页 §20.3三维无界空间 Helmholtz方程的 Green函数 求三维无界空间中 Helmholtz方程的 Green函数,即在三维无界空间中求解方程 ⅴ2G(r;r3)+k2G(r;r) 6(-T),T,r∈V 关于无穷远处的边界条件,后面再讨论 这个方程是一个非齐次方程,因此,可以按照求解非齐次方程的标准做法 ★先求出方程的一个特解,而将方程齐次化; ★将G(r;r)按相应齐次问题的本征函数展开 这两种做法,特别是第二种做法,原则上没有什么困难,这里不作具体的介绍 ★这又是一个特殊的非齐次方程:只在=r点,非齐次项才不为0 ★而且,由于这是在无界空间,可以适当地安置坐标架,以充分发挥 Laplace算符的不变 性,使问题得到充分的简化 首先作坐标平移, y, c 即将点电荷所在点取为新坐标系的原点.令G(r;r)=9(5,n,(),于是,9(5,n,()满足方程 v,9(,n,()+k2g(,n,()=--6(5)6(m)6() 其中 是以直角坐标5,η,为自变量的 Laplace算符,容易看出,变换后的方程是旋转不变的 g(5,,()只是R=√F2+n2+2的函数,g(5,,()=f(R).因此,如果将直角坐标系(,n,) 转换为球坐标系,则方程将变为R≠0点处的齐次方程 1 d [pdf(r) +k2f(R)=0 (原因是在在R=0点只存在单侧导数)以及R=0点处的边界条件(在R=0点处有一单位点电 荷).此方程是零阶球 Bessel程,它的通解是① f(R)=A(k)-p+B(k) 根据R=0和无穷远处的边界条件定出常数A(k)和B(k) ①如果作变换f(B)=m(R)R,则方程化为 u"(B)+k2u(R)=0. 也容易写出通解
§20.3 nÃ.mHelmholtz§Green¼ê 1 8 §20.3 nÃ.mHelmholtz§Green¼ê ¦nÃ.m¥Helmholtz§Green¼ê§=3nÃ.m¥¦)§ ∇ 2G(r; r 0 ) + k 2G(r; r 0 ) = − 1 ε0 δ(r − r 0 ), r, r 0 ∈ V. 'uá?>.^§¡2?Ø© ù§´àg§§Ïd§±Uì¦)àg§IO{§ F k¦Ñ§A)§ ò§àgz¶ F òG(r; r 0 )UAàg¯K ¼êÐm© ùü«{§AO´1«{§Kþvko(J§ùpØäN0 © F ùq´AÏàg§µ3r = r 0:§àgâØ0© F §duù´3Ã.m§±·/SIe§±¿©uLaplace ÎØC 5§¦¯K¿©{z© ÄkI²£§ ξ = x − x 0 , η = y − y 0 , ζ = z − z 0 , =ò:>Ö¤3:#IX:©-G(r; r 0 ) = g(ξ, η, ζ)§u´§g(ξ, η, ζ)÷v§ ∇ 2 ξ,η,ζg(ξ, η, ζ) + k 2 g(ξ, η, ζ) = − 1 ε0 δ(ξ)δ(η)δ(ζ), Ù¥ ∇ 2 ξ,η,ζ ≡ ∂ 2 ∂ξ2 + ∂ 2 ∂η2 + ∂ 2 ∂ζ2 ´±Iξ, η, ζ gCþLaplaceΩN´wѧC§´^=ØC, g(ξ, η, ζ) ´R = p ξ 2 + η 2 + ζ 2 ¼ê, g(ξ, η, ζ) = f(R). Ïd§XJòIX(ξ, η, ζ) =¥IX§K§òCR 6= 0 :?àg§ 1 R2 d dR h R 2 df(R) dR i + k 2 f(R) = 0 (Ï´33R = 0:3üýê)±9R = 0:?>.^(3R = 0:?kü :> Ö)©d§´" ¥Bessel§§§Ï)´ f(R) = A(k) e ikR R + B(k) e −ikR R . âR = 0Úá?>.^½Ñ~êA(k)ÚB(k)© XJCf(R) = w(R)/R§K§z w 00(R) + k 2w(R) = 0. N´ÑÏ)©