下面的例子说明,在点态收敛的情况下,上述性质不一定成立。 例10.1.2设Sn(x)=x",则{S(x)}在区间(-1上收敛,极限函 数为 0,-1<x<1 S()=lim Sn(x) n→)0 虽然对一切n,Sx)在(-1上连续(也是可导的),但极限函数S(x) 在x=1不连续(当然更谈不上在x=1可导)
下面的例子说明，在点态收敛的情况下，上述性质不一定成立。 例 10.1.2 设 Sn (x) = x n ，则 { Sn (x)}在区间 − ]1,1( 上收敛，极限函 数为 S (x) = n ∞→ lim Sn (x) = ⎩ ⎨ ⎧ = <<− .1,1 ,11,0 x x 虽然对一切 n，Sn (x ) 在 − ]1,1( 上连续（也是可导的），但极限函数 S (x ) 在 x = 1 不连续 (当然更谈不上在 x = 1 可导 )
(2)将性质(b)推广到无限个函数的情况,是指当ln(x)在D上可 导时,和函数Sx)=∑un(x)也在D上可导,并且成立 n=1 d x ∑un(x)=∑ l(x), n=1 n=1 d x 即求导运算与无限求和运算可以交换次序(也称函数项级数∑n1(x) 可以逐项求导)
(2) 将性质(b)推广到无限个函数的情况，是指当 un (x)在 D 上可 导时，和函数 S(x) =∑ ∞ =1 )( n n xu 也在 D 上可导，并且成立 d x d ∑∞ =1 )( n n xu =∑ ∞ =1 )( dd n n xu x ， 即求导运算与无限求和运算可以交换次序（也称函数项级数∑ ∞ =1 )( n n xu 可以逐项求导）
(2)将性质(b)推广到无限个函数的情况,是指当ln(x)在D上可 导时,和函数Sx)=∑un(x)也在D上可导,并且成立 ∑un(x)=∑ l(x), d x n=1 d x 即求导运算与无限求和运算可以交换次序(也称函数项级数∑n1(x) 可以逐项求导)。 对于函数序列{Sx)}而言,相应的结论是极限函数S(x)= lim snf(x) 也在D上可导,并且成立 d lim Sn(r)=lim.d dx n+20dx(x), 即求导运算与极限运算可以交换次序
对于函数序列{Sn(x)}而言，相应的结论是极限函数 S(x)= n ∞→ lim Sn(x) 也在 D 上可导，并且成立 d x d n ∞→ lim Sn(x) = n ∞→ lim d x d Sn(x)， 即求导运算与极限运算可以交换次序。 (2) 将性质(b)推广到无限个函数的情况，是指当 un (x)在 D 上可 导时，和函数 S(x) =∑ ∞ =1 )( n n xu 也在 D 上可导，并且成立 d x d ∑∞ =1 )( n n xu =∑ ∞ =1 )( dd n n xu x ， 即求导运算与无限求和运算可以交换次序（也称函数项级数∑ ∞ =1 )( n n xu 可以逐项求导）
例10.12已说明在点态收敛情况下,和函数(或极限函数)可能不 可导;下例说明,即使和函数(或极限函数)可导,上述两等式也不 定成立。 例10.1.3设S(x)=,则S(x)在(-+x)上收敛,极限函 数为Sx)=0,从而导函数S'(x)=0。 由于 SH(x)=n cos nx, 因此Sx)的导函数所构成的序列{S(x)}并不收敛于S"(x)(例如当x =0,Sn(O)=vn→+∞)
例 10.1.2 已说明在点态收敛情况下，和函数(或极限函数)可能不 可导；下例说明，即使和函数(或极限函数)可导，上述两等式也不一 定成立。 例 10.1.3 设 Sn(x)= n sin nx ，则{Sn(x)}在 −∞ +∞),( 上收敛，极限函 数为 S(x) = 0，从而导函数S′(x) = 0。 由于 Sn′ (x) = n cos nx， 因此 Sn(x)的导函数所构成的序列{ n S′ (x)}并不收敛于S′(x) （例如当 x = 0，Sn′ (0) = n +∞→ ）
(3)将性质(c)推广到无限个函数的情况,是指当n(x)在闭区间 a,bD上可积时,和函数S(x)=∑un(x)也在[,b]上可积,并且成立 r∑ux)dx=∑ux)dx, 即求积分运算与无限求和运算可以交换次序(也称函数项级数∑un(x) 可以逐项求积分)
(3) 将性质 (c) 推广到无限个函数的情况，是指当 un (x)在闭区间 [a, b]⊂ D 上可积时，和函数 S(x) =∑ ∞ =1 )( n n xu 也在[a, b]上可积，并且成立 ∫ ∑ ∞ = b a n n d)( xxu 1 =∑∫ ∞ =1 d)( n b a n xxu ， 即求积分运算与无限求和运算可以交换次序（也称函数项级数∑ ∞ =1 )( n n xu 可以逐项求积分）