函数项级数(或函数序列的基本问题 设有限个函数u1(x),2(x),…,ln1(x)在D上定义且具有某种分 析性质,如连续性、可导性和 Riemann可积性(以下就称可积性)等, 则它们的和函数 l1(x)+2(x)+…+ln(x) 在D上仍保持同样的分析性质, 例如,其和函数的极限(或导数、积分)可以通过对每个函数分 别求极限(或导数、积分)后再求和来得到,即成立 (a) lim [u,(x)+u,(x)++u, (x)=lim u1(x)+ lim u2(x)+.+lim un(x) x→ x→x0 x→x x→>x0 d (b)[v(x)+u2(x)+…+ln(x)=-a1(x) l2(x)+…+-n(x) d x d x d x d x (C) [u, (x)+u2(x)+.+u, (x)]dx =u(x)dx+ u2(x)dx++u,(x)dx 这些性质给我们带来了很大的方便
例如，其和函数的极限（或导数、积分）可以通过对每个函数分 别求极限（或导数、积分）后再求和来得到，即成立 (a) 0 lim →xx )]()()([ 1 2 xuxuxu + + " + n = 0 lim →xx u1 (x ) + + + → 2 )(lim " 0 xu xx 0 lim →xx un (x) (b) d x d )]()()([ 1 2 xuxuxu + + " + n = d x d u1 (x ) + d x d 2 xu )( + " + d x d un (x) (c) ∫ +++ b a n d)]()()([ xxuxuxu1 2 " = ∫ b a d)( xxu1 + ++ ∫ " b a d)( xxu2 ∫ b a n d)( xxu 这些性质给我们带来了很大的方便。 函数项级数(或函数序列)的基本问题 设有限个函数 u1 (x )，u 2 (x )，…， un (x ) 在 D 上定义且具有某种分 析性质，如连续性、可导性和 Riemann 可积性（以下就称可积性）等， 则它们的和函数 u1 (x ) + u 2 (x )+…+ un (x) 在 D 上仍保持同样的分析性质
对于函数项级数,我们面对的是无限个n(x)(n=1,2,3;…),它 们的和函数Sx)大多是不知道的,因此只能借助vn(x)的分析性质来间 接地获得Sx)的分析性质。那么很自然地,我们希望在一定条件下 上述运算法则可以推广到无限个函数求和的情况
对于函数项级数，我们面对的是无限个 un (x ) （ n = 1,2,3,…），它 们的和函数 S (x )大多是不知道的，因此只能借助 un (x )的分析性质来间 接地获得 S (x )的分析性质。那么很自然地，我们希望在一定条件下 ．．．．．．， 上述运算法则可以推广到无限个函数求和的情况
对于函数项级数,我们面对的是无限个n(x)(n=1,2,3;…),它 们的和函数Sx)大多是不知道的,因此只能借助vn(x)的分析性质来间 接地获得Sx)的分析性质。那么很自然地,我们希望在一定条件下 上述运算法则可以推广到无限个函数求和的情况。 这个问题是函数项级数(或函数序列研究中的基本问题,其实质 是极限(或求导、求积分)运算与无限求和运算在什么条件下可以交 换次序(由于求导、求积分与无限求和均可看作特殊的极限运算,因 此更一般地,可将其统一视为两种极限运算的交换次序)。下面我们 将会看到,仅要求∑u(x)在D上点态收敛是不够的
这个问题是函数项级数(或函数序列)研究中的基本问题，其实质 是极限（或求导、求积分）运算与无限求和运算在什么条件下可以交 换次序（由于求导、求积分与无限求和均可看作特殊的极限运算，因 此更一般地，可将其统一视为两种极限运算的交换次序）。下面我们 将会看到，仅要求∑ ∞ =1 )( n n xu 在 D 上点态收敛是不够的。 对于函数项级数，我们面对的是无限个 un (x)（n = 1,2,3,…），它 们的和函数 S(x)大多是不知道的，因此只能借助 un (x)的分析性质来间 接地获得 S(x)的分析性质。那么很自然地，我们希望在一定条件下 ．．．．．． ， 上述运算法则可以推广到无限个函数求和的情况
(1)将性质(a)推广到无限个函数的情况,是指当ln(x)在D上连续 时,和函数S(x)=∑n(x)也在D上连续,并且成立 im∑n(x)=∑ x→>x0n=1 -Xoxo 即极限运算与无限求和运算可以交换次序(也称函数项级数∑un(x)可 以逐项求极限)
(1) 将性质(a)推广到无限个函数的情况，是指当 un (x)在 D 上连续 时，和函数 S(x) =∑ ∞ =1 )( n n xu 也在 D 上连续，并且成立 0 lim →xx ∑ ∞ =1 )( n n xu =∑ ∞ = → 1 )(lim 0 n n xx xu ， 即极限运算与无限求和运算可以交换次序（也称函数项级数∑ ∞ =1 )( n n xu 可 以逐项求极限）
(1)将性质(a)推广到无限个函数的情况,是指当ln(x)在D上连续 时,和函数S(x)=∑n(x)也在D上连续,并且成立 im∑n(x)=∑ lim u(x), x→>x0n=1 即极限运算与无限求和运算可以交换次序(也称函数项级数∑un(x)可 以逐项求极限)。 对于函数序列{Sx)}而言,相应的结论是极限函数S(x)= Flim sn(x) 也在D上连续,并且成立 m lim Sn(x)=lim lim Sn(x) 即两种极限运算可以交换次序
对于函数序列{Sn(x)}而言，相应的结论是极限函数 S(x)= n ∞→ lim Sn(x) 也在 D 上连续，并且成立 0 lim →xx n ∞→ lim Sn(x) = n ∞→ lim 0 lim →xx Sn(x)， 即两种极限运算可以交换次序。 (1) 将性质(a)推广到无限个函数的情况，是指当 un (x)在 D 上连续 时，和函数 S(x) =∑ ∞ =1 )( n n xu 也在 D 上连续，并且成立 0 lim →xx ∑ ∞ =1 )( n n xu =∑ ∞ = → 1 )(lim 0 n n xx xu ， 即极限运算与无限求和运算可以交换次序（也称函数项级数∑ ∞ =1 )( n n xu 可 以逐项求极限）