第1卷● 公理 1.等于同量的量彼此相等 2.等量加等量，其和仍相等 3.等减等封，其差仍相等 4.彼此能重合的物体是全等②的 5.整体大于部分 命题 裔薄远) 在一个已知有限直线上作一个等边三角形 设AB是已知有限直线 那么，要求在线段AB上作.个等 边三角形 以A为心，H以AB为距离画圆 BCD; [公设3] 冉以B为心，H以A为即离画 圆ACE; [公设3] 由两圆的交点C到A,B连线CA,CB. [公设11 因为，点A是圆CDB的圆心，AG等于AB [定义15] 义点B是圆CAE的圆心，BC等于BA. [定义15] 但是，已经证明了CA等于AB;所以线段CA,CB都等于AB ①这里的“量”与4中的“物体"在原文中是同一个学hig. ②为了区别面积相等与图形相等，译者将图形“相等“详为“全等” 3
●欧几甲得·儿何原木 而H等于同量的量彼此相等 [公理1] 二条线段CA,AB,BC彼此相等. 所以.角形A是等边的，即在已知有限直线AB上作出了这个 一角形 这就是所要求作的. 命瓶2) 由一个已知，点（作为端点）作一线段等于已知线段 设A是已知点，℃是已知线段， 那么，要求由点A(作为端点)作一线段 等于已知线段BC. H 由点A到点B连线段AB,[公设1] 而且在AB上.作等边二角形DAB,I.1]O 延长DA,DB成直线AE,BF,[公设2] 以B为心，以BC为距离画圆CGH. [公设3】 再以D为心，以DG为距离画圆G辽. 【公设31 因为点B是圆CGH的心，故BC等于BG [定义15] H点D是圆GL的心，故DL等于DG. [定义15] 又DA等于DB,所以余量AL等余世BG [公理31 但已证明了BC等于BG,所以线段AL、BC的每·个都等于BG 又因等丁同量的量彼此相等 [公理] 所以，AL也等JBC. 从附，由已知点A作出了线段AL等」已知线段BC. 这就是所要求作的. ①[.1]表示第I卷，第1个命题，此后均如此
第1卷● 已知两条不相等的线段，试由大的上边截取一条线段使 它等于另外一条. 设AB,C是两条不相等的线段，且AB大 下C. 这样要求由较大的AB上截取一段等于 较小的C. 由点A取AD等于线段C,[I.2] 且以A为心，以AD为距离画圆DEF, [公设3] 因为点A是圆DEF的圆心，故AE等于 AD. [定义15] 但C也等于AD,所以线段AE、C的每一条都等于AD;这样，AE 也等于C. [公理1] 所以，已知两条线段AB、C,由较大的AB上截取了AE等于C, 这就是所要求作的. 4 如果两个三角形中，一个的两边分别等于另一个的两边， 而且这些相等的线段所夹的角相等.那么，它们的底边等于底 边，三角形全等于三角形，这样其余的角也等于相应的角，即 那些等边所对的角」 设ABC,DEF是两个三角形，两边AB,AC分别等于边DE、DF, 即AB等于DE,且AC等于DH',以及角BAC等于角EDF. 5
●欧几甲得·儿何原本 则可证底BC也等于底，角形 ABC全等于：角形DEF,其余的角分别 等于其余的角，即这此等边所对的角，也 就是角ABC等于角DEF,H.角ACB等 于角DE. 如果移动三角形AB℃到二角形 DEF上.，若点A洛在点D上且线段AB落在DE上，因为AB等于DE. 那么，点B也就与点E重合. 又，AB与DB重合，因为角BAC等于角EDF,线段AC也与DF 重个. 囚为AC等于DF,故点C也与点F重合 但是，B也与E重合，故底BC也与底F重合 「事实上，当B与E重合月C与P重合时，底BC不与底EF重合 则二条直线就围成一块空间：这是不可能的，所以底O就与EF重 合]二者就相等 公理4] 这样，整个一三角形ABC与整个三角形DP重合，于是它们全等 且其余的角也与共余的角重合，是它」都相等，即角ABC等于 角DEF,且角ACB等于角DFE 这就是所要证明的 金题5之) 在等腰三角形中，两底角彼此相等，并且若向下延长两 腰，则在底以下的两个角也彼此相等 设ABC是一个等腰二角形，边AB等于边AC,H延长AB,AC成 直线BD,CE 公设2] 则可证角ABC等于角ACB,凡角CBD等于角BE, 在BD上任取·点F,且在较大的AE上截取一段AG等于较小的 AF, [1.3] 连接FC和GB。 [公设1] 6
第1卷意 因为AF等于AG,AB等于AC,两边FA、AC分 别等于边GA、AB,且它们包含着公共角FAG 所以底FC等于底GB,且一角形AFC仑等于三 角形AGB,其余的角也分别相等，即相等的边所对的 角，也就是角ACF等于角ABG,角AFC等于角 AGB. [1.4] 又因为，整体AF等于整体AG,且在它们中的 AB等于AC,余啦BF等于余量CG」 「公理3] 但是已经证明了FC等于GB; 所以，两边BF、C分别等于两边CG、GB,且角BFC等于角CGB. 这里底BC是公用的；所以，三角形BFC也全等于三角形CGB; 又，其余的角也分别相等，即等边所对的角 所以角FBC等于角GCB,且角BCF等于角CBG 出以上已经证明了整个角ABG等于角ACF,且角CBG等于角 BCF,其余的角ABC等于其余的角ACB [公理3] 又它们都在三角形ABC的底边以上。 从而，也就证明了角BC等于角GCB,且它]都在三角形的底边 以下. 证完 命瓶发 如果在一个三角形中，有两角彼此相等，则等角所对的边 也彼此相等 设在二角形ABC中，角ABC等于角ACB 则可证边AB也等于边AC. 若AB不等于AC,其中必有~个较大，设AB 是较大的：由AB上截取DB等于较小的AC. [1.3]