西安石油大学电子工程学院：《自动控制理论 Modern Control System》精品课程教学资源（各章节例题解析）第八章 非线性控制系统的分析

(a) 图8-27 (2)设图8-27(b)所示非线性系统,试绘制起点在c(0)=c0>1c(0)=C0=0的 相轨迹。 解:(1)原结构图转化为图8-28所示结构。 图8-28 2G(S G1(s) (s2+s+1) 当G(s)=1时 2G(s) G1(s)=_2 s(s2+s+1) G1() 2 2(1-o2) (1-o2)2oo2+(1-o2) Img, (jo)]=0 Re[g, (jo)] o2+(1-o2)2 XI 1 解得 X1=1.1 X2=2.3

·53· （a） （b） 图 8-27 （2）设图 8-27（b）所示非线性系统，试绘制起点在 (0) 1, 0 0 c  c0  c  c 0  的 相轨迹。 解：（1）原结构图转化为图 8-28 所示结构。 图 8-28 2 1 1 4 ( ) X X N X    ( 1) 2 ( ) ( ) 1 2    s s s G s G s 当G(s)  1时， ( 1) 2 ( ) ( ) 1 2    s s s G s G s [ (1 )] 2(1 ) (1 ) 2 ( ) 2 2 2 1 2 2 2                G j  j 令 ImG1 ( j)  0 得 1 2     1 因而   2 (1 ) 2 Re ( ) 1 2 2 2         G j 由 2 1 1 1 ( ) 4 1 2       X X N X  解得 X1=1.1 X2=2.3

由图8-29(a)可知,由于 曲线以一为自变量。以穿入为稳定自振点,穿 N(X 出为不稳定自振点。因此1.lsin是不稳定的周期运动,而2.3sin是稳定周期运动,故系 统在非线性部件入口处存在振幅为23、频率为1的自振 当G(s)=s时, 因为G1(s)幅频曲线与 曲线无交点,故系统不自振,且保持稳定,如图8-29 N(X (b)所示。 N(A) N(A) (c) 图8-29 (2)由图8-29(b)可得 l≤ 2 开关线为(=1。 当c>1时 dc =-2dc 积分可得 =-4C+ A 其中 A 在c>1区域内,相轨迹是一顶点在(c0,0),开口向左的抛物线 当(≤1时,E=0,cd=0,积分可得2=A2。A2由c>1区域内的相轨迹与开 关线C=1的交点(1,o1)决定 A2 由上式可见,在≤区域内,相轨迹为水平直线

·54· 由图 8-29（a）可知，由于 ( ) 1 N X  曲线以 X h 为自变量。以穿入为稳定自振点，穿 出为不稳定自振点。因此 1.1sint 是不稳定的周期运动，而 2.3sint 是稳定周期运动，故系 统在非线性部件入口处存在振幅为 2.3、频率为 1 的自振。 当G(s)  s 时， 1 2 ( ) 1 2    s s G s 因为 ( ) 1 G s 幅频曲线与 ( ) 1 N X  曲线无交点，故系统不自振，且保持稳定，如图 8-29 （b）所示。 （a） （b） （c） 图 8-29 （2）由图 8-29（b）可得       2 0 2 c 1 1 1     c c c 开关线为 c  1。 当 c  1时， c  2 cdc  2dc 积分可得 1 2 c  4c  A 其中 0 0 2 A1  c 0  4c  4c 4( ) 0 2 c   c  c 在 c  1区域内，相轨迹是一顶点在（c0，0），开口向左的抛物线。 当 c  1时， c  0, cdc  0 ，积分可得 2 2 c  A 。A2 由 c  1区域内的相轨迹与开 关线 c  1的交点 (1, ) 01 c 决定。 由 4(1 ) 0 2 01 c    c 故 4(1 ) 0 2 2 01 2 c  A  c    c 由上式可见，在 c  1区域内，相轨迹为水平直线