4Mh M 解:N(X)= 元X N0(X)=4N0(X),X>h其中 X 4;h=1,且 X X No() 4 h 其虚部Im =-=-0.7854,实部R 的计算数据如下 No(X) No(X) N(x)」00364035136-163182335+617816 由于G(s 10(s+1)(TS+1) Goo) -10(1+T)o+jl0(1-7e2) 当T 025时,G(O)= 125,10(1-0.250) 。其实部、虚部计算数据如下: 101215 Im G(o) 42142x4346a47102074314x142a6 利用上述数据,在复平面上作出4G(jm)曲线(T=0.25)和-1/N(X)曲线,如图 8-19所示。由图可见,B点对应自振,自振参数为X/h=1.1,=12。因h=1,所 以自振振幅X=1.1,频率O=12 将振幅X折算到输出端,考虑到: (Ts+1)s+1 X(s) 所以输出振幅 0.346 s+1)s+1) s=门12 故输出端振荡的振幅c=0346,频率=12.(0) 为讨论T对自振的影响,令
·48· 图 8-19 解： N X N X X h h M X Mh j X h X M N X ( ) 4 ( ), 4 1 4 ( ) 2 0 0 2 其中，M ＝4；h＝1，且 j h X N X X h j X h X h N X 1 ( ) 4 1 4 1 4 ( ) 2 0 2 2 0 其虚部 0.7854 ( ) 4 1 Im 0 N X ，实部 ( ) 1 Re N0 X 的计算数据如下： 由于 3 2 3 10(1 ) 10(1 ) , ( ) 10( 1)( 1) ( ) T j T G j s s Ts G s ，当 T＝ 0.25 时， 3 2 2 12.5 10(1 0.25 ) ( ) G j j 。其实部、虚部计算数据如下： 利用上述数据，在复平面上作出 4G( j) 曲线(T 0.25) 和 1/ ( ) N0 X 曲线，如图 8-19 所示。由图可见，B 点对应自振，自振参数为 X / h 1.1， 12 。因 h 1，所 以自振振幅 X 1.1，频率 12 将振幅 X 折算到输出端，考虑到： ( ) ( 1)( 1) ( ) C s s Ts s X s 所以输出振幅 0 346 1 1 1 1 12 . ( )( ) . X s j X X Ts s s c 故输出端振荡的振幅 cX＝0.346，频率 12 。 为讨论 T 对自振的影响，令 X/h 1 1．1 2 2 2.3 2.5 3 4 5 6 10 11 ( ) 1 Re 0 N x 0 -0.36 -0.785 -1.36 -1.63 -1.8 -2.22 -3.04 -3.85 -4.61 -7.81 -8.6 1.5 1.7 2.0 2.2 2.3 2.5 3 4 5 6 7 10 12 15 Re G ( j ) -5.56 -4.33 -3.13 -2.58 -2.36 -2 -1.39 -0.78 -0.5 -0.35 -0.26 -0.13 -0.09 0.06 Im G ( j ) 1.3 0.57 0 -0.2 -0.27 -0.36 -0.46 -0.47 -0.42 -0.37 -0.33 -0.24 -0.2 -0.16
y=ImGo)=101-7m2) 由=0得O2T=3,代入y得 令4y ,得T 320=0.138。此时对应4G(o)曲 线-l/N0(X)曲线相切 由上可见,T对系统自振的影响为:T<0.138,4G()与-1/N(X)无交点,系统 不产生自振,但系统不稳定:T0.138,4G(0)与-1/N(X)有两个交点A和B,如 图8-19所示。小扰动时自振,大扰动时发散。T越大,自振振幅越小,自振频率越高 例8-8设非线性系统结构图如图8-20所示,试分析系统的稳定性 0.1s+ 图8-20非线性系统结构图 解:设内回路输出为c’,原系统结构图经等效变换后如图8-21所示,其中,N代表 原结构图中的饱和非线性环节。线性部分的传递函数为 G(s)= (S+1)(0.1s+1) S(0.l+(s+1)+20 饱和特性的描述函数为 图8-21等效结构图 N(X)==arcsin + 1-(-) 丌 N(X) arcsin -+ 利用计算机,求出G(jo)与-1/N(X)曲线的交点参数为O=421,X=1.712,说明该
·49· 图 8-21 等效结构图 3 2 10(1 ) Im ( ) T y G j 由 0 d dy 得 3 2 T ，代入 y 得 3 / 2 min 3 20 T y 令 ( ) 4 1 4 Im 0 min N X y ，得 0.138 320 3 2 / 3 T 。此时对应 4G( j) 曲 线 1/ ( ) N0 X 曲线相切。 由上可见，T 对系统自振的影响为：T<0.138，4G( j) 与 1/ ( ) N0 X 无交点，系统 不产生自振，但系统不稳定：T>0.138， 4G( j) 与 1/ ( ) N0 X 有两个交点 A 和 B，如 图 8-19 所示。小扰动时自振，大扰动时发散。T 越大，自振振幅越小，自振频率越高。 例 8-8 设非线性系统结构图如图 8-20 所示，试分析系统的稳定性。 图 8-20 非线性系统结构图 解：设内回路输出为c，原系统结构图经等效变换后如图 8-21 所示，其中，N 代表 原结构图中的饱和非线性环节。线性部分的传递函数为 (0.1 )( 1) 20 ( 1)(0.1 1) ( ) s s s s s G s 饱和特性的描述函数为 2 2 ) 1 1 ( 1 1 arcsin 2 ( ) 1 ) , 1 1 1 ( 1 1 arcsin 2 ( ) X X X N X X X X X N X 利用计算机，求出G( j) 与 1/ N(X ) 曲线的交点参数为 4.21，X＝1.712，说明该
系统存在周期运动。为确定该周期运动是否稳定,需判断G(s)中正极点个数P。由G(s) 分母,画出等效系统 K G'(s) s(0.ls+1)(s+1) 的根轨迹,如图8-22所示。该等效系统的闭环极点(K=20)即为G(s)的极点。由根轨迹知 当K>11时,G(s)有两个极点在右半复平面,故P=2 k=1 图8-22 图8-23 将G(o)与-1/N(X)曲线绘在图8-23中,在两曲线交点M附近沿X增大方向取 一点Q,作为等效(-1,j0)点,G()曲线在该点以远有 N-N=0≠P/2=1 故该非线性系统的周期运动解是不稳定的 例8-9试求图8-24所示非线性系统的等效形 G(S) 图8-24非线性系统 解:()对图8-24(a),由于非线性的对称性,故只需要考虑x>0的情况。当y有 输出时,y=K2(x1-△2)。此时,x1=K1(x-△1),故 y=K2[K1(x-△1)-△2]=K1K2[x-(41+)=K(x-△) 其中,K=KK2:△=△1+ K
·50· 系统存在周期运动。为确定该周期运动是否稳定，需判断 G(s)中正极点个数 P。由 G(s) 分母，画出等效系统 (0.1 1)( 1) ( ) s s s K G s 的根轨迹，如图 8-22 所示。该等效系统的闭环极点(K=20)即为 G(s)的极点。由根轨迹知， 当 K>11 时，G(s)有两个极点在右半复平面，故 P＝2。 图 8-22 图 8-23 将G( j) 与 1/ N(X ) 曲线绘在图 8-23 中，在两曲线交点 M 附近沿 X 增大方向取 一点 Q，作为等效（-1，j0）点，G( j) 曲线在该点以远有 0 / 2 1 N N P 故该非线性系统的周期运动解是不稳定的。 例 8-9 试求图 8-24 所示非线性系统的等效形式。 （a） (b) 图 8-24 非线性系统 解：(1) 对图 8-24（a），由于非线性的对称性，故只需要考虑 x>0 的情况。当 y 有 输出时， ( ) 2 1 2 y K x 。此时， ( ) 1 1 1 x K x ，故 [ ( ) ] [ ( )] ( ) 1 2 2 1 1 2 1 2 1 K x K y K K x K K x 其中，K＝K1K2； 1 2 1 K
利用非线性环节的对称性,可得等效非线性特性如图8-25(a)所示。图8-25(b) 为非线性系统的等效形式。 (2)对图8-24(b),由于非线性的对称性,故只需要考虑x>0的情况。 c(s) 图8-25等效形式 当x1>Δ时,y=M,否则y=0;当x1>0时,x1=K(x-h)。令x=△,则 有△=K(x-h),故 即当x=+h时,x1>△,y=M。所以等效非线性特性如图8-25(c)所示 其中S4 +h K 例8-10已知非线性控制系统结 构如图8-26(a)所示。为使系统不 “年“ 产生自振,试利用描述函数法确定继 电特性参数a,b的值 图8-26(a) 解 NC 46 X≥a -X丌 N(X) 图8-26(b) 当X→>0时 当X→∞时, N(X-∞ 所以必然存在极值。由
·51· 图 8-26（b） 利用非线性环节的对称性，可得等效非线性特性如图 8-25（a）所示。图 8-25（b） 为非线性系统的等效形式。 （2）对图 8-24（b），由于非线性的对称性，故只需要考虑 x>0 的情况。 （a） （b） （c） 图 8-25 等效形式 当 x1 时， y M ，否则 y 0；当 0 x1 时， ( ) 1 x K x h 。令 x1 ，则 有 K(x h) ，故 h h x 即当 h h x 时， x1 ， y M 。所以等效非线性特性如图 8-25（c）所示， 其中 h K S 。 例 8-10 已知非线性控制系统结 构如图 8-26（a）所示。为使系统不 产生自振，试利用描述函数法确定继 电特性参数 a，b 的值。 解： 2 1 ( ) 4 ( ) X a X b N X X a 2 4 1 ( ) ( ) 1 X a b X N X 当 X 0时， ( ) 1 N X 当 X 时， ( ) 1 N X 所以必然存在极值。由 图 8-26（a）
N() X.-2Xa X>a dX N(X 令 0,得X=√2a,则 再求G(o) 与实轴的交点 s(0.8s+1)(s+1) ∠G(jo)=-丌 得 z g(0.80) 可以求得 1-0.8 G(jo)L.s (080)2+1*√o2+ 也就是G(m)和实轴交点为(-4/3,0)。G(s)正极点个数p=0。为使系统不产 生自振,应使-,、和G(o)两曲线无交点,如图8-26(b)所示。所以应有 a 也就是 例8-11本题共两小题。 (1)已知图8-27(a)所示非线性系统,图示中a=b=1,当G(s)=1,G(s)=s 时,试分析系统是否产生自振。若产生自振,求自振的振幅和频率;若不产生自振,试 判别系统的稳定性。 X
·52· 2 2 2 2 3 2 2 4 1 X a X a X Xa dX b N X d ( ) ( ) X a 令 0 ( ) 1 dX N X d ，得 X 2a ，则 b a N X x a ( ) 2 1 2 再求 (0.8 1)( 1) 3 ( ) s s s G j 与实轴的交点。 令 G( j) 得 － arctg(0.8 ) arctg 2 可以求得 1－0.8 0 2 2 5 3 4 (0.8 ) 1 * 1 1 ( ) 2 5 2 2 2 5 G j 也就是G( j) 和实轴交点为（－4/3， 0）。G（s）正极点个数 p=0。为使系统不产 生自振，应使 ( ) 1 N X 和G( j) 两曲线无交点，如图 8-26（b）所示。所以应有 3 4 2 b a 也就是 a b 3 8 例 8-11 本题共两小题。 （1）已知图 8-27（a）所示非线性系统，图示中 a b 1，当G(s) 1，G(s) s 时，试分析系统是否产生自振。若产生自振，求自振的振幅和频率；若不产生自振，试 判别系统的稳定性。 2 1 ( ) 4 ( ) X a X b N X