真空中恒定磁场 3.根据所选择的坐标系,按照Biot- Savart定律写出电流元产生的磁感应强度 4.由叠加原理求出磁感应强度的分布: 般说来,需要将磁感应强度的矢量积分变为标量积分,并选取合适的积分变量,来统一积分变量 由于数学上的困难,下面仅计算儿个基本而又典型的稳恒电流产生磁场问题 典型例题 两种基本电流周围的磁感应强度的分布:载流直导线;圆电流 例2载流长直导线的磁场 1)一段载流直导线的磁场 B≈0 61-cos62) 解:建立如图坐标系,在载流直导线上,任取一电流元,由dx 萨定律得元电流在P点产生的磁感应强度大小为: d B=lo ldrsin e 方向为⑧。所有电流元在P点产生的磁场方向相同,所以求总 感强度的积分为标量积分,即 Idxsin e (1) 由图得 x=actg(T-0)=-actgB, 因此:abx=-acsc2bu 此外,r= sin(I-6) 代入(1)可得 B=Ao 00 4 sin 8=dodf'sin &10=Ao (cose,-cose, 6 讨论 (1)无限长直通电导线的磁场:CBA1市向? (2)半无限长直通电导线的磁场:B=0 (3)其他例子
真空中恒定磁场 (4)解题的关键:确定电流起点的,和电流终点的, 例3圆形载流导线轴线上的磁场 设在真空中,有一半径为R,通电流为Ⅰ的细导线圆环,求其轴线上距圆心O为x处的P点的磁 感应强度 解:建立坐标系如图,任取电流元l∥,由毕—萨定律得: dB dB /B=Ho ldl sin 90%=Lo ldl 4丌r P dB. x 方向如图: dB⊥,M),所有形成锥面 将进行正交分解:=dB+B,则由由对称性分析得:B1=jdB1=0,所以有 B=B b,=dB sin e 因为sin r=常量 所以B=∫a=∠ 2r3 因为 x2+r, s=zR 所以 IS D21、2、3/2 2T(R 方向:沿x轴正方向,与电流成右螺旋关系。 讨论: (1)圆心处的磁场:x=0 01 2R (2)一段圆弧:,积分可得圆心处的磁感应强度为B=40b 2R2兀 (3)另一侧:B方向也是相同的
真空中恒定磁场 (4)对于无穷远点:x>R,(R2+x2)2x3,B=4R2,用圆电流的面积S=mR2表示,则 u,lS (5)用圆电流的磁矩(即磁偶极矩)表示 设平面圆电流,其面积为S,电流为,平面正法矢单位矢量为n,与电流成右螺旋关系: 定义圆电流的磁矩定义为: Pn=S=/S万 将磁矩的定义代入前式,则有 B=0 z(R2+x2) x=0时 Ho Pm 注意:只有当圆电流的面积很小时,或场点距圆电流很远时,才能把圆电流叫磁偶极子,这时m即为 磁偶极子的磁短,上式即为磁偶极子在极轴上所产生的磁感应强度。 例4载流直螺线管轴线上的磁场 问题:有一长为L,半径为R的载流密绕螺线管,总匝数为N,管中电流为,设把螺管放在直空中, 求管内轴线上一点磁感强度。 解:由于螺线管上线圈是密绕的,每匝线圈可近似当作闭合的圆形电流,于是轴线上任意一点P的磁 感应强度B可以认为是N个圆电流在该点各自产生的磁感应强度的迭加,现取轴线上点P为坐标原点O 并以轴线为OX轴,在线管上取长为dx的一小段,匝数为nd,其中n=M为单位长度的匝数,这一小段 载流线圈相当于通有电流为Ⅰndx的圆形电流 它在0x轴上P点的B大小为 B dB=lo RIndr 2丌(P2 ←dx ⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙o⊙⊙⊙⊙⊙⊙ d= indx 沿OX轴正向考虑螺线管上各小段载流在OX轴上点P所产生的B方向相同,均沿OX轴正向,所以 整个载流螺线管在P的B应为各小段载流线圈在该点B的迭加 b= dB=4o Indx 为了计算方便,用β代替x x=R·cgB dx=-Rcsc BdB
真空中恒定磁场 CB 代入上式: B=HonIPr r2 Rcsc BdB Hon sin BoB=onl R CSCB 2 (cos B,-cosB,) 讨论 (1)若P点位于管内轴线中点 JU: BI=B,, cosBI--cos B, l/2 (/2)2+R 代入得 o don cOS √(/2)2+R 若l>>R,即螺线管可视为无限长,则可得管内与轴线上中点处B大小为 B B 若螺线管为无限长,则有β1=兀,β2=0 B=uon/ zit B的方向:沿OX轴正向 (2)若点P位于半无限长载流螺线管一端β1=兀2,β2=0或β=兀2,β2=π 则 B= 其值为轴线上中点处的B值的一半 3)长直螺线管內轴线上磁感应强度分布如图所示。从图中可以看出,长直螺线管内中部的磁场可以 看成是均匀的 直电流、圆电流以及螺线管轴线上的磁场是几种典型的磁场,以它们为基础,只要对磁场的叠加原理 灵活运用,就可以进一步求出其它一些载流导线的磁场分布问题。 三、运动电荷的磁场 引言:通电导线中的电流是导线中大量自由电子作定向运动而形成的,因而电流产生磁场的实质,可 归结为大量运动电荷所产生的磁场的总和。运动电荷能够产生磁场已为人们所公认,并已得到许多实验验 证。本节讨论运动电荷产生的磁场。 运动电荷产生的磁场 出发点:Biot- savart定律 电流元d产生的磁场 8x4 oha×F dl dB 4
真空中恒定磁场 电流元:M=jSd=qmnS 其中=nqv—电流密度,——电荷运动速度, n—电荷数密度,q电荷(考虑正电荷),S截面积 而 Sdl.vxr 式中Sd=dV为电流元体积,ndV=dN为电流元中的电荷数,于是单个电荷产生的磁场为 B=2B=地9xF dN4丌 B的方向:垂直于ν与严所确定的平面 tgo 节 当q>0(正电荷),B的方向为v×F方向 当q<0(负电荷),B的方向为vxF相反方向 2.运动电荷产生磁场的验证 1911年,俄国物理学家约飞最早提供实验验证 运动电荷产生磁场,使小磁针偏转B∝ 例5一半径为r的圆盘,其电荷面密度为σ,设圆盘以角速度ω绕通过盘心垂直于盘面的轴转 求圆盘中心的磁感强度 解法1:设圆盘带正电荷,且绕轴O逆时针旋转,在圆盘上取一半径分别为ρ与ρtdρ的细环带,此 环带的电量为dqr=σds=σ2πρdρ,考虑到圆盘以角速度ω绕O轴旋转,周期为T=2π/ω,于是此环带 上的圆电流为: dl d q o2xpdp 已知圆电流在圆心处的磁感应强度为B=μ/2R,其中1为圆电流,R为圆电流半径,因此,圆盘转动 时,圆电流在盘心O的磁感应强度为: dB lodr 于是整个圆盘转动时,在盘心O的磁感应强度为: B= fuo gadp=fodor 如圆盘带上正电,则磁感应强度的方向垂直纸面向外 解法2:取小微元drd0,则此小微元所带的电荷为:dq= o rdrd0 运动速度为v=ωr,方向垂直于矢径,因而此小微元在盘心O点产生在磁场为