真空中恒定磁场 §11-2磁通量、磁场的高斯定理 Magnetic Flux, Gausss Theorem of Magnetic Field 、磁感应线: Line of Induction 引言:在静电场中可以用电场线来表示电场的分布情况,在稳恒磁场中,也可以用磁场线来表示磁场 的分布情况 1.磁感应线:用来描述磁场分布的一系列曲线。 规定:1)磁感应线上任一点切线的方向即为磁感应强度B的方向 2)磁感应强度B的大小可用磁感应线的疏密程度表示 磁感应线密度:在与磁感应线垂直的单位面积上的穿过的磁感应线的数目 规定:磁感应线密度等于该点磁感应强度的大小。 可见:磁感应强度B大的地方:磁感应线密 磁感应强度B小的地方:磁感应线疏 因而磁感应线的分布能形象地反映磁场的方向和大小的特征 说明:磁感应线是人为画出来的,并非磁场中确有这种线。但该线可借助小磁针或铁屑显示出来,如 右图所示。 2.介绍几种典型的磁感应线分布 载流长直导线 圆电流 载流长螺线管 B 磁感应线的饶行方向与电流流向之间的关系可用右手螺旋法则判定:用右手握载流导线,伸直的拇指 与导线平行,以拇指的指向表示电流的方向,则其余四指指向就是磁感应线环绕电流的方向,也即磁感应 强度的方向 3.磁感应线特性 1)磁感应线是环绕电流的无头尾的闭合曲线,无起点无终点—与电场线不同;原因:正负电荷可 以分离,而磁铁的两极不可分离。 2)磁感应线不相交—与电场线相同 磁通量 Magnetic Flux 1.磁通量定义:通过磁场中某一曲面的磁感应线的数目,用①n表示。 2.计算
真空中恒定磁场 )在均匀磁场中 设平面的面积为S,单位法线矢量n,n与磁感应强度B的夹角为0,则S在垂直于B的方向的投影 为S1=Scos6 所以Φn=BS1= BS cOs6 当0=0时,万∥B,①n=BS最大 当0=π/2时,n⊥B,Φ,=0最小,无磁通量通过。 2)非均匀磁场 取面元dS,其单位法线矢量n,n与磁感应强度B的夹角为,通过dS的磁通量为 do Bds cose 通过有限曲面的磁通量为 Bas cose 说明 (1)规定单位法线矢量n的方向垂直于封闭曲面向外 磁感应线从曲面内穿出时,磁通量为正(0<m/2,cos0>0) 磁感应线从曲面出穿入时,磁通量为负(0>/2,cos0<0) (2)穿过曲面通量可直观地理解为穿过该面的磁感应线条数 (3)单位:韦伯(wb) weber1Wb=1 三、磁场高斯定理 1.内容 通过任意闭合曲面的磁通量等于零,这就是磁场高斯定理。数学表达式为 磁场高斯定理又叫磁通量连续性原理。高斯定理表明,磁场是无源场. 2.解释 由于磁感应线是闭合的,因此对任意一闭合曲面来说,有多少条磁感应线进入闭合曲面,就一定有多 少条磁感应线穿出该曲面
真空中恒定磁场 3.说明: (1)磁场是有旋/无散场(非保守场):电场是有源场,保守场 2)磁极相对出现,不存在磁单极: 单独存在正负电荷 (3)在磁场中,以任一闭合曲线为边界的所有曲面都有相同的磁通量,根据上述性质,可以使用“穿 过闭合闭曲线的磁通量”的说法,指的是:以该曲线为边界的任一曲面的磁通量 磁场高斯定理说明磁感应线没有起点和终点,磁场是一个无源场,反映出自然界没有磁单极子存在 例1如图,已知:Ⅰ,a,b,l,求:通过矩形平面的磁通量。 解:取如图所示的微元,其磁场为B= ,方向为∞ 27r 又因为dS=ld,由磁通量公式得 dpm=B ds=Ho/ 两边积分得 druon a+b +b uol/ 四、思考题 有两根无限长的平行载流直导线,电流的流向相同,如果取一平面垂直这两根导线,此平面上的磁感线分 布大致是怎样的?
真空中恒定磁场 §11-3毕奥一萨伐尔定律 Biot-savart law 本节讨论稳恒电流产生磁场的规律 、毕奥一萨伐尔定律 在计算任意带电体在空间某点的电场强度时,可把带电体分成无限多个电荷元,先求出每个电荷元在 该点产生的电场强度,再按场强叠加原理就可以计算出带电体再该点产生的电场强度(c→lE→E)。 对于稳恒电流产生磁场的计算问题,可把稳恒电流分成无限多个电流元,先求出每个电流元在该点产生的 磁感应强度,再按玚强叠加原理就可以计算出带电体在该点产生的磁感应强度(l→dB→B) 问题:Ial→dB? 2.Bit- Savart定律 1820年10月30日(在距 Oersted报道电流磁效应不到三个月),法国的Biot和 Savart在法国科学院 发表文章,从实验中分析了电流和磁效应之间的关系。如图所示,小磁针转动强弱反应该点磁感应强度的 大小 实验发现: 1.a大,B小,B∝1/a 2.I大,B大,B∝I 结论:B=k 不久,拉普拉斯( P.S. Laplace假定,电流由电流元l组成 dl产生的磁感应强度dB与/成正比 磁感应强度dB的大小与电流元ld的表观长度din日成正比; 磁感应强度dB的大小与r的平方成反比 在实验上基础上经科学抽象得到:在载流导线上取电流元,空间任一点P,该点的磁感应强度为dB, d与矢径严的夹角为已,实验表明,真空中 dB=k IdI sin 8 在SI制中,k-04兀,其中=4x×10NA2为真空磁导率 d B= lo ldsin 6
真空中恒定磁场 dB的方向:即×F的方向(右手螺旋法则确定) dB lal 写成矢量形式为 d=AI×F dB 4丌 其中=F/r为矢径F方向上的单位矢量 这就是毕奥一萨伐尔定律,也称为Bot- Savart- Laplace定律。 3.任意载流导线在P点的磁感应强度B为 b=dB o 4丌 4.说明: )该定律是在实验的基础上抽象岀来的,不能由实验直接加以证明,但是由该定律岀发得出的一些 结果,却能很好地与实验符合。 2)电流元l的方向即为电流的方向 3)dB的方向由ld×F确定,即用右手螺旋法则确定 4)Biot- Savart定律是求解电流磁场的基本公式,利用该定律,原则上可以求解任何稳恒载流导线的 磁感应强度 Biot- Savart定律应用举例 解题步骤 根据已知电流的分布与待求场点的位置,选取合适的电流元l 2.选取合适的坐标系。要根据电流的分布与磁场分布的的特点来选取坐标系,其目的是要使数学运 算简单 10