fn→>fae.于E 对引理、叶果洛夫 定理及 Lebesgue 令m(∪∩∪E k=1N=1n=NJn-≥k )=0 定理的证明的说明 Nn10)=0(∨E)(2)叶果洛夫定理的证明 →m(∩∪E Lebesgue定理的证明 Nn=N2)=0 lmm(∪E (3) (5)+(6) 下证明由(3)推出(2) 引理:mE +00 v>0由m(E0a)(e(2)≥(3)=(4) m(∪un1x)→>0N→>∞ n=N 可知m(E ≥)=0 N=In=N
(1) (2) (3) (4) (5) (6) Lebesgue定理的证明 叶果洛夫定理的证明 引理：mE<+∞ 下证明 由(3)推出(2) ( ) 0 ( ) 0 0, ( ) [| | ] 1 [| | ] [| | ] 1 = → → − = = − = − = = f f N n N f f n N f f N n N n n n m E m E N m E 可知 （ ） 由 lim ( ) 0 (3) [| − | ] = → = f f N n N n m E 对引理、叶果洛夫 定理及Lebesgue 定理的证明的说明 ( ) 0 ( ) (2) ( ) 0 . . (1) [| | ] 1 [| | ] 1 1 1 = = → − = = − = = = f f N n N f f k N n N n n n k m E m E f f a e于E
对引理、叶果洛夫定理及 Lebesgue定理的证明的说明 叶果洛夫定理的证明 Nn=-1fn,-f2)=0 imm(∪E (3) lebesgue定理的证明 fn→>fau.于E(4) 引理:<+0 下证明由(4)推出(3) 由n→fau于E可知: (1)<(2)(3)=(4) V>0,3可测子集ecE,me<, VE>0,K>0.Vmn≥K,x∈E-e,有fx)-f(x)kE 从而当N≥时,mE)≤mUEn n=k Im-f2E]mek<8 N2mm=210-/12=0注:叶果洛夫定理的逆定理成立 即limm(∪E
(1) (2) (3) (4) (5) (6) Lebesgue定理的证明 叶果洛夫定理的证明 引理：mE<+∞ 下证明 由(4)推出(3) − − 0, 0, , , | ( ) ( )| 0, , , K n K x E e f x f x e E m e 有 n 可测子集 由f n → f a.u.于E可知： [| | ] [| | ] ( ) ( ) n n f f f f n N n K N K m E m E me − − = = 从而当 时， f f a.u. E (4) n → 于 lim ( ) 0 (3) [| − | ] = → = f f N n N n m E 对引理、叶果洛夫定理及Lebesgue定理的证明的说明 [| | ] lim ( ) 0 n f f N n N m E − → = 即 = 注：叶果洛夫定理的逆定理成立
注:a叶果洛夫定理的逆定理成立,无论mE<+或mE=+∞, 即:若/n→fan于E,则/n→>fae于E 几乎一致收敛 去掉某个小(任意小)测度集,在留下的集合上 Vo>0,可测子集ecE,me< 使得f在E=E-e上一致收敛于f(x) 几乎处处收敛 去掉某个零测度集,在留下的集合上处处收敛 Ln+fI 0
注：a.叶果洛夫定理的逆定理成立，无论mE<+∞或mE=+∞， 即：若f n → f a.u.于E，则f n → f a.e.于E 几乎一致收敛: 去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛 ( ) 0, , , f E E e f x e E m e 使得 n 在 上一致收敛于 可测子集 = − 几乎处处收敛: 去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛 [ f → f ] = 0 n E