20第一篇力学1(2)gt'cosay=uotsinβ-令y=0求得时间后再代入式（1）得2ugsinβOP =x(cos αcos β- sin αsin β)gcos'α20gsinBcos(α+β)gcos'a解2做出炮弹的运动失量图，如图（b）所示，并利用正弦定理，有18t?IrlVotsinβisir从中消去！后也可得到同样结果。（2）由分析知，如炮弹垂直击中坡面应满足y=0和=0，则(3)U, = ocos β- gtsin α=0由(2)（3)两式消去后得1tanβ=2tanα由此可知只要角α和β满足上式，炮弹就能垂直击中坡面，而与%的大小无关，讨论如将炮弹的运动按水平和竖直两个方向分解，求解本题将会比较困难，有兴趣读者不妨自己体验一下，6(a)(b)题1-19图1-20一直立的雨伞，张开后其边缘圆周的半径为R，离地面的高度为h，（1）当伞绕伞柄以勾角速旋转时，求证水滴沿边缘飞出后落在地面上半径为T=R+2ha/g的圆周上；（2）读者能否由此定性构想一种草坪上或农田灌溉用的旋转式酒水器的方案？
21第一章质点运动学分析选定伞边缘0处的雨滴为研究对象，当伞以角速度@旋转时，雨滴将以速度沿切线方向飞出，并作平抛运动.建立如图（a）所示坐标系，列出雨滴的运动方程并考虑图中所示几何关系，即可求证.由此可以想像如果让水从一个旋转的有很多小孔的喷头中飞出，从不同小孔中飞出的水滴将会落在半径不同的圆周上，为保证均匀喷酒对喷头上小孔的分布还要给子精心的考虑，解（1）如图（a)所示坐标系中，雨滴落地的运动方程为(1)x = v = Rot102g'=h(2)y="_2R"a"h由式(1)（2）可得g由图（a）所示几何关系得雨滴落地处圆周的半径为.2h2T=+R=RNg（2）常用草坪喷水器采用如图（b）所示的球面喷头（。=45°）其上有大量小孔.喷头旋转时，水滴以初速度从各个小孔中喷出，并作斜上抛运动，通常喷头表面基本上与草坪处在同一水平面上，则以角喷射的水柱射程为visin20R=g为使喷头周围的草坪能被均匀喷洒，喷头上的小孔数不但很多，而且还不能均匀分布，这是喷头设计中的一个关键问题Ra02O(a)(b)题1-20图1-21一足球运动员在正对球门前25.0m处以20.0m·s的初速率罚任意球，已知球门高为3.44m.若要在垂直于球门的竖直平面内将足球直接踢
22学第一篇力进球门，问他应在与地面成什么角度的范围内踢出足球？（足球可视为质点）分析被踢出后的足球，在空中作斜抛运动，其轨迹方程可由质点在竖直平面内的运动方程得到.由于水平距离x已知，球门高度又限定了在方向的范围，故只需将、值代入即可求出解取图示坐标系0xy，由运动方程1x=utcosg,y=utsingDF2消去得轨迹方程y=xtan @-(1 +tan* 0)x?2p以x=25.0m，=20.0m*s及3.44m=≥0代入后，可解得71.11°≥0,≥69.92027.92°6,≥18.890如何理解上述角度的范围？在初速一定的条件下，球击中球门底线或球门上缘都将对应有两个不同的投射倾角（如图所示）.如果以6>71.11°或18.89°踢出足球，都将因射程不足而不能直接射入球门；由于球门高度的限制，角也并非能取71.11°与18.89°之间的任何值.当倾角取值为27.92°<6<69.92°时，踢出的足球将越过门缘而离去，这时球也不能射入球门.因此可取的角度范围只能是解中的结果。25m题1-21图1-222一质点沿半径为R的圆周按规律s=-bt运动，u、b都是常7
23第一章质点运动学量.（1）求1时刻质点的总加速度：（2）t为何值时总加速度在数值上等于b？（3）当加速度达到6时，质点已沿圆周运行了多少圈？分析在自然坐标中，s表示圆周上从某一点开始的曲线坐标，由给定的运动方程S=s（），对时间t求一阶、二阶导数，即是沿曲线运动的速度和加速度的切向分量a.，而加速度的法向分量为a。=/R.这样，总加速度为a=a,e,+a,e..至于质点在t时间内通过的路程，即为曲线坐标的改变量As=s,-s.因圆周长为2元R，质点所转过的圜数自然可求得解（1）质点作圆周运动的速率为dsdi=g-bt.其加速度的切向分量和法向分量分别为2_ (uo-bt)2d's-b.a.=t.-R-Rdt?故加速度的大小为R"B +(n。-bt)*a=Va+a-R?其方向与切线之间的夹角为(vg-bt)a.=arctan0=arctanRbaR6+（0-bt）=b可得（2）要使lal=b,由一DUat=h（3）从t=0开始到t=/h时，质点经过的路程为$=S, -So= 26因此质点运行的開数为语Pn:2mR4mbR1-23一半径为0.50m的飞轮在启动时的短时间内，其角速度与时间的平方成正比.在t=2.0s时测得轮缘-点的速度值为4.0m·s-".求：（1）该轮在t=0.5s的角速度，轮缘一点的切向加速度和总加速度；（2）该点在2.0s内所转过的角度分析首先应该确定角速度的函数关系=ht.依据角量与线量的关系由特定时刻的速度值可得相应的角速度，从而求出式中的比例系数k，w=（)确
24学第一篇力定后，注意到运动的角量描述与线量描述的相应关系，由运动学中两类问题求解的方法（微分法和积分法），即可得到特定时刻的角加速度、切向加速度和角位移.解因R=v由题意αt得比例系数h=号-号=2 rad·s-3tRt@=0(t) =2t所以则t=0.5s时的角速度、角加速度和切向加速度分别为@ =2t" =0. 5 rad . s-l- de =4t' =2.0 rad · s**dta, =oR =1.0 m -s-2总加速度a=a, +a, =αRe, +w'Re.a=V(αR)2+(0R)=1.01m:s-2在2.0s内该点所转过的角度 2F dt=2 =5.33 rad0-00d-1-24一质点在半径为0.10m的圆周上运动，其角位置为6=2+43式中e的单位为rad，的单位为s.（1）求在=2.0s时质点的法向加速度和切向加速度（2）当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时，e值为多少？（3）t为多少时法向加速度和切向加速度的值相等？分析掌握角量与线量、角位移方程与位矢方程的对应关系，应用运动学求解的方法即可得到，典=12.在1=2s时，法向加速度解（1）由于9=2+4t，则角速度=d和切向加速度的数值分别为a. I,-2, =ro =2. 30 ×10° m -s -2=4. 80ms2a,-2,=1dt+α时，有3d=d,即(2)当a =a/2 =3(24rt)2 =r(12r)42=1得2/3此时刻的角位置为