15第一章质点运动学1x=2t21+0.75121-14一石子从空中由静止下落，由于空气阻力，石子并非作自由落体运动，现测得其加速度a=A-Bv,式中A、B为正恒量，求石子下落的速度和运动方程分析本题亦属于运动学第二类问题，与上题不同之处在于加速度是速度du的函数，因此，需将式du=a(u)d分离变量为=dt后再两边积分a(v)解选取石子下落方向为轴正向，下落起点为坐标原点，do=A-Bu（1）由题意知(1)adt用分离变量法把式(1)改写为de= dt(2)A-Bu将式(2)两边积分并考虑初始条件，有dedJ.A-BuA得石子速度.B合为一常量,通常称为极限速度或收尾速度，由此可知当，一→时，D_dy.A（2）再由：(1-e-"）并考虑初始条件有dtR-e-B)d得石子运动方程A.+A(e*-1)BB?1-15一质点具有恒定加速度a=6i+4j,式中α的单位为m·s2.在t=0时，其速度为零，位置矢量r。=10mi.求：（1）在1 y/m任意时刻的速度和位置失量；（2）质点在0xy平面上的轨迹方程，并画出轨迹的示意图20m分析与上两题不同处在于质点作平面曲=2x线运动，根据叠加原理，求解时需根据加速度的sy两个分量a,和a,分别积分，从面得到运动方程r人x/m的两个分量式x（t)和(t）.由于本题中质点加速10题1-15图
16第一篇力学at和度为恒矢量，故两次积分后所得运动方程为固定形式，即x=。+71a,t，两个分运动均为匀变速直线运动.读者不妨自己验证一下y=y, +vo,t.解由加速度定义式，根据初始条件=0时。=0，积分可得du=ad(6i +4j)dm=6+4j崇及初始条件t=0时,，。=(10 m),积分可得又由dtdr =wdt =(6ri +4t)dtr =(10 +3t)i +27j由上述结果可得质点运动方程的分量式，即x=10+32y=2?消去参数，可得运动的轨迹方程3y=2x-20m这是一-个直线方程.直线斜率=，2，α=33°41轨迹如图所示=tana3dx1-16质点在半径为R的圆周上以恒定的速率运动，质点由位置A运动到位置B,OA和OB所对的圆心角为A6.（1）试证位置A和B之间的平均加速度为=/2(1-c0s△0)/（RA0)：（2）当A分别等于9030°10°和1°时，平均加速度各为多少？并对结果加以讨论分析瞬时加速度和平均加速度的物理含义不间,它们分别表示为α=张dt2和=,在匀速率圆周运动中,它们的大小分别为 4。=号,_,式中nAtAt1Al可由图（b）中的几何关系得到，而A可由转过的角度A求出由计算结果能清楚地看到两者之间的关系，即瞬时加速度是平均加速度在At-0时的极限值.解（1）由图（b）可看到△=-,，故IAl =of +-2uuzcos A8
17第一章质点运动学=0 2(1 - cOS 4)而4IAs_RAO6UA所以a_lml=V2(1-cOS40)RAAAt（2）将A=90°30°10°，1°分别代人上式，102得82, ~0. 9003 "(a)az0.9886RR'2, ~0.9987 岁a1.000R:RAA以上结果表明，当△6-0时，匀速率圆周运动的平均加速度趋近于一极限值，该值即为法向加理度示An1-17质点在0xy平面内运动，其运动方程(b)为r=2.0+（19.0-2.0）j,式中r的单位为m，题1-16图的单位为s.求：（1）质点的轨迹方程；（2）在，=1.0s到,=2.0s时间内的平均速度；（3）t，=1.0s时的速度及切向和法向加速度：（4）t=1.0s时质点所在处轨道的曲率半径p分析根据运动方程可直真接写出其分量式x=x（)和y=y(t），从中消去参数t，即得质点的轨迹方程.平均速度是反映质点在一段时间内位置的变化率，即=Ar/△,它与时间间隔A的大小有关，当A-0时，平均速度的极限即瞬时速dr度=切向和法向加速度是指在自然坐标下的分矢量a，和。，前者只反映dtdye，后者只反映质点速度方向的变质点在切线方向速度大小的变化率，即a，=dt化，它可由总加速度a和a，得到.在求得t时刻质点的速度和法向加速度的大02小后，可由公式。=一求pp解（1）由参数方程x=2.0t,y=19.0-2.02消去，得质点的轨迹方程：y=19.0 -0.50x2
18第一篇力学（2）在t，=1.00s到t=2.0s时间内的平均速度- =2. 01 -6. 0jAt"t-t（3）质点在任意时刻的速度和加速度分别为e+j=2.0元-4.0%w(n) =vi+ujdttddx+dj=-4.0m.sja(t):dtdt则t,=1.00s时的速度v(t)l,-1.=2.0i-4.0j切向和法向加速度分别为ddα. ...-%e-( o++)e =3. 58 · .a.=ya-ae.=1.79m-s-2e（4）t=1.0s质点的速度大小为w=/u+w=4.47m·9-1=11.17m则p=a.1-18飞机以100m：s的速度沿水平直线飞行，在离地面高为100m时，驾驶员要把物品空投到前方某一地面目标处，问：（1）此时目标在飞机正下方位置的前面多远？（2）投放物品时，驾驶员看目标的视线和水平线成何角度？（3）物品投出2.0s后，它的法向加速度和切向加速度各为多少？分析物品空投后作平抛运动.忽略空气阻力的条件下，由运动独立性原理知，物品在空中沿水平方向作速直线运动，在竖直方向作自由落体运动，到达地面目标时，两方向上运动时间是相同的.因此，分别列出其运动方程，运用时间相等的条件，即可求解，此外，平抛物体在运动过程中只存在x竖直向下的重力加速度，为求特定时刻t时物体的切向加速度和法向加速度，只需求出该时刻它们与重力加速度之间的夹角α或β.由图可知，在特定时刻,物体的切向加速度和水平线之间的夹角α，可由此时刻的两速度分量求出，这样，也7771777777777717777777777就可将重力加速度的切向和法向分量题1-18图求得
19第一章质点运动学解（1）取如图所示的坐标，物品下落时在水平和竖直方向的运动方程分别为1x=w, y=2gt飞机水平飞行速度v=100m·s-，飞机离地面的高度y=100m，由上述两式可得目标在飞机正下方前的距离2y=452 mX二#Ng（2）视线和水乎线的夹角为= arctan =12.5°x（3）在任意时刻物品的速度与水平轴的夹角为" = arctan &tα=arctanU0取自然坐标，物品在抛出28时，重力加速度的切向分量与法向分量分别为a, = gsin α= gsin( arctan ) =1. 88 m s*2?a, =gcos Q= gcos( arctan ) =9. 62 m · s-21-19如图（a）所示，一小型迫击炮架设在一斜坡的底端0处，已知斜坡倾角为α，炮身与斜坡的夹角为β，炮弹的出口速度为"，忽略空气阻力.求：（1）炮弹落地点P与点0的距离0P；（2）欲使炮弹能垂直击中坡面.证明α和β必须满足tanβ=一并与%无关，2tanα分析这是一个斜上抛运动，看似简单，但针对题目所间，如不能灵活运用叠加原理，建立一个恰当的坐标系，将运动分解的话，求解起来并不容易，现建立如图（a）所示坐标系，则炮弹在和两个方向的分运动均为匀减速直线运动，其初速度分别为cosβ和uasinβ其加速度分别为gsinα和gcosα.在此坐标系中炮弹落地时，应有y=0，则=OP.如欲使炮弹垂直击中坡面，则应满足，0，直接列出有关运动方程和速度方程，即可求解。由于本题中加速度g为恒1矢量.故第一间也可由运动方程的矢量式计算,即=%。8，做出炮弹落地时的矢量图【如图（b所示】，由图中所示几何关系也可求得のP(即图中的r失量)(1)解1由分析知，炮弹在图(a)所示坐标系中两个分运动方程为12et'sin ax=v.fcos β(1)