10学第一篇力244.555.500.51.56t/s04048. 85558.86007.5-10-7.5x/m用描数据点的作图方法，由表中数据可作0~2s和4~6s时间内的×-t图.在2~4s时间内，质点是作=20m·s-的勾速直线运动，其x-t图是斜率=20的一段直线[图（c）]1-8已知质点的运动方程为r=2ti+（2-f)j,式中r的单位为m,t的单位为s.求:（1）质点的运动轨迹：（2）1=0及1=2s时，质点的位失；（3）由1=0到1=2s内质点的位移A和径向增量Ar;（4）2s内质点所走过的路程s分析质点的轨迹方程为y=f(x）,可由运动方程的两个分量式x()和()中消去：即可得到.对于r、Ar、Ar、As来说，物理含义不同，可根据其定义计算.其中对s的求解用到积分方法，先在轨迹上任取一段微元ds，则ds=/（dx）"+（dy），最后用ds积分求s.解（1）由x()和y(t)中消去1后得质点轨迹方程为y=2-x24这是一个抛物线方程，轨迹如图（a）所示（2）将t=s和t=2s分别代人运动方程，可得相应位失分别为ro=2j，「,=4i-2j图（a）中的P两点，即为t=0和t=2s时质点所在位置（3）函位移表达式，得Ar=- =(x-xo)i+(y-)=4i-4j其中位移大小IArl=（A）+（A）=5.66m而径向增量Ar=A1r=lr,1-r1=a+-+%=2.47m*（4）如图（B）所示，所求As即为图中PQ段长度，先在其问任意处取AB微元ds，则ds=/(ds)+(dy)，由轨道方程可得dy=-号dx,代人ds,则2s内路程为24+xdx=5.91m一ds
11第一章质点运动学y/mjy/mP2/PAdydrx/mx/mQ(a)(b)题1-8图1-9质点的运动方程为x= -10t+30t2y=15t-20f2式中x,y的单位为m,t的单位为 s.试求：（1）初速度的大小和方向；（2）加速度的大小和方向分析由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量，再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向，解（1）速度的分量式为dx-10+60t,""dt%=15-40tdt当t=0时，0=-10m·s，"0=15m·g""，则初速度大小为vs=o + =18.0m. s-1设与轴的夹角为α，则_%=-3tan =2Voxα=123°41（2）加速度的分量式为dudu,=60m·s40ma, =.dtd则加速度的大小为Va +a =72.1 ms-2=设a与轴的夹角为β,则
112学第一篇 力2a,tan β=3a,B=-33°41（或326°19")1-10一升降机以加速度1.22m·s上升，当上升速度为244m·s-时，有-螺丝自升降机的天花板上松脱，天花板与升降机的底面相距2.74m.计算：（1)螺丝从天花板落到底面所需要的时间：（2）螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离，分析在升降机与螺丝之间有相对运动的情况下，一种处理方法是取地面为参考系，分别讨论升降机竖直向上的匀加速度运动和初速不为零的螺丝的自由落体运动，列出这两种运动在同一坐标系中的运动方程y=y（t）和2=y（t)，并考虑它们相遇，即位矢相同这一条件，问题即可解；另一种方法是取升降机（或螺丝）为参考系，这时，螺丝（或升降机）相对它作匀加速运动，但是，此加速度应该是相对加速度.升降机厢的高度就是螺丝（或升降机）运动的路程解1（1）以地面为参考系，取如图所示的坐标系，升降机与螺丝的运动方程分别为1y, =Dut +-at21Y2 =h+v,t一当螺丝落至底面时，有y=y2，即1-at"=h+wt-ot+2a2h=0.705 sVg+a（2）螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为O1gt=0. 716 md-h-y2=-Vot +解2（1）以升降机为参考系，此时，螺丝相对它的加速度大小α=g+α，螺丝落至底面时，有10=h(g+a)2a2h=0.705 s题1-10图+（2）由于升降机在1时间内上升的高度为1h=+2ar则d=h-h=0.716m
13第一章质点运动学1-11~-质点P沿半径R=3.0m的圆周作勾速率运动，运动一周所需时间为20.0s，设t=0时，质点位于0点.按（a)图中所示0xy坐标系，求（1）质点P在任意时刻的位矢（2)5s时的速度和加速度分析该题属于运动学的第一类问题，即已知运动方程，=r（t）求质点运动的一切信息（如位置矢量、位移、速度、加速度）.在确定运动方程时，若取以点（0,3)为原点的0'xy坐标系，并采用参数方程x=（)和y=y（)来表示圆周运动是比较方便的.然后，运用坐标变换x=x+a和y=y+y,将所得参数方程转换至Oxy坐标系中，即得Oxy坐标系中质点P在任意时刻的位矢.采用对运动方程求导的方法可得速度和加速度，y/mly/mI y-mx/mx/mJo0x/m(b)(a)题1-11图21,则质点P的参数方程为解（1）如图(b)所示，在0'x坐标系中，因e=2元2Tx"=Rsiny'= -RcosTT坐标变换后，在0xy坐标系中有2㎡2㎡x=x=Rsiny=y'+yu=-Rcost+RTT则质点P的位矢方程为2+（-Rcos2T1+R)ir=Rsin2T=3sin (0. 1t)i +3[ 1 -cos (0. 1t) li（2）5：时的速度和加速度分别为=R2m2T2元ti+Rtj=(0.3mm.s-"))=CDssindtT
14学第一篇力—- （ (-007元1-12地面上垂直竖立一高20.0m的旗杆，已知正午时分太阳在旗杆的正上方，求在下午2：00时，杆顶在地面上的影子的速度的大小在何时刻杆影将伸展至20.0 m?分析为求杆顶在地面上影子速度的大小，必须建立影长与时间的函数关系，即影子端点的位失方程.根据几何关系，影长可通过太阳光线对地转动的角速度求得，由于运动的相对性，太阳光线对地转动的角速度也就是地球自转的角速度.这样，影子端点的位矢方程和速度均可求得.解设太阳光线对地转动的角速度为，从正午时分开始计时，则杆的影长为$=htgut，下午2:00时，杆顶在地面上影子的速度大小为dsho=1.94×10-3m.s~2:dtcosot当杆长等于影长时，即s=h，则1s=3×60×60sarctanh"4w6即为下午3:00时，1-13质点沿直线运动，加速度a=4-t,式中a的单位为m·8-2,的单位为s.如果当1=3s时，x=9m，=2m.9-1求质点的运动方程分析本题属于运动学第二类问题，即已知加速度求速度和运动方程，必须和=些可得du=adt 和 dx=d.如 a在给定条件下用积分方法解决.由=dtdt=a(t)或，="(），则可两边直接积分，如果α或不是时间的显函数，则应经过诸如分离变量或变量代换等数学操作后再做积分。解由分析知，应有dad得=4t+0(1)3由dx:edi得x=2t2_1+uot+xo(2)12将t=3g时,x9m,=2ms-代人(1)(2)得=-1ms-,%=0.75m.于是可得质点运动方程为