2物理意义非均匀变化量的瞬时变化率 变速直线运动:路程对时间的导数为物体的 瞬时速度 △sd v(t)=lim △→0△tdt 交流电路:电量对时间的导数为电流强度 (t)=lim △qdq →0△tdt 非均匀的物体质量对长度(面积体积)的导 数为物体的线面体)密度
2.物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率. 变速直线运动:路程对时间的导数为物体的 瞬时速度. ( ) lim . 0 dt ds t s v t t = = → 交流电路:电量对时间的导数为电流强度. ( ) lim . 0 dt dq t q i t t = = → 非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导 数为物体的线(面,体)密度
五、可导与连续的关系 定理凡可导函数都是连续函数 证设函数f(x)在点x可导, lim f∫(x0 △△ ∫(x)+a △ a→>0(△x→>0)y=f(x)x+aAx imy=limf(xAx+a△xl=0 △→>0 △r→0 函数∫(x)在点x连续
五、可导与连续的关系 定理 凡可导函数都是连续函数. 证 ( ) , 设函数 f x 在点 x0可导 lim ( ) 0 0 f x x y x = → = + ( ) x0 f x y y = f (x0 )x +x lim lim[ ( ) ] 0 0 0 y f x x x x x = + → → = 0 ( ) . 函数 f x 在点 x0连续 → 0 (x → 0)
注意:该定理的逆定理不成立 ★连续函数不存在导数举例 1.函数∫(x)连续,若f(x)≠f(x则称点x 为函数∫(x)的角点,函数在角点不可导 例如, y=x y=x x2,x≤0 ∫(x) ,x>0 在x=0处不可导,x=0为f(x)的角点
连续函数不存在导数举例 ( ) , . 1. ( ) , ( ) ( ) 0 0 0 为函数 的角点 函数在角点不可导 函数 连续 若 则称点 f x f x f − x f + x x x y 2 y = x 0 例如, y = x , , 0 , 0 ( ) 2 = x x x x f x 在 x = 0处不可导, x = 0为 f (x)的角点. 注意: 该定理的逆定理不成立. ★
2设函数∫(x)在点x连续,但 lim -=lim f(x0+△)-f(x0) 0△u △x→>0 △ 称函数f(x)在点x有无穷导数(不可导) 例如, 3x-1 f(x)=x 在x=1处不可导
3 y = x − 1 x y 0 1 ( ) .( ) , ( ) ( ) lim lim 2. ( ) , 0 0 0 0 0 0 称函数 在 点 有无穷导数 不可导 设函数 在 点 连 续 但 f x x x f x x f x xy f x x x x = + − = → → 例如 , ( ) 1, 3 f x = x − 在 x = 1处不可导
3函数f(x)在连续点的左右导数都不存在 (指摆动不定),则x点不可导 例如, …………斗……… f(x)=xSin,x≠0 0 在x=0处不可导
( ) , . 3. ( ) 指摆动不定 则 0点不可导 函数 在连续点的左右导数都不存在 x f x , 0, 0 , 0 1 sin ( ) = = xx x x f x 例如 , 在x = 0处不可导. 01 －1/π 1/π x y