例4求函数∫(x)=a2(>0,a≠1)的导数 x+h 解(aX)=lim h→0 =a lim h-→0b a"na 即(a2) ana e
例 4 求函数 f (x) = a (a 0,a 1)的导数. x 解 h a a a x h x h x − = + →0 ( ) lim h a a h h x 1 lim0 − = → a ln a . x =(a ) a ln a. x x 即 = ( ) . x x e = e
例5求函数y= loga x(a>0,≠1)的导数 解 ga(x+h)-loga x h→0 ga(1+ m h→0 h xg。(1+")h lim le oga e 即( (oga x) log e.(Inx)
例 5 求函数 y = log x(a 0,a 1)的导数. a 解 h x h x y a a h log ( ) log lim0 + − = → log . 1 (log ) e x a x = a 即 . 1 (ln ) x x = x xh xh a h 1 log (1 ) lim0 + = → hx a h xh x lim log (1 ) 1 0 = + → log . 1 e x = a
例6讨论函数f(x)=x在x=0处的可导性 解f(0+)-f(0)_h n∫(0+h)-fN=V h→0+ h h-→0t+ht ∫(0+)-∫(0) h h→0 h h→0 h 即f(0)≠f(0),:函数y=f(x)在x=0点不可导
例 6 讨论函数 f (x) = x 在x = 0处的可导性. 解 y = x x yo , (0 ) (0) hh h f h f = + − hh h f h f h h → + → + = + − 0 0 lim (0 ) (0) lim = 1 , hh h f h f h h − = + − → − → − 0 0 lim (0 ) (0) lim = − 1 . ( 0 ) ( 0), + − 即 f f 函数y = f (x)在x = 0点不可导
四、导数的几何意义与物理意义 1几何意义 f(xn)表示曲线y=∫(x) y=f(x) 在点M(xn,f(x)处的 切线的斜率即 f(xn)=tana,(a为倾角)° 切线方程为y-yo=f(x0)(x-x0) 法线方程为y-y0= x-x 0
四、导数的几何意义与物理意义 o x y y = f (x) T x0 M 1.几何意义 ( ) tan , ( ) , ( , ( )) ( ) ( ) 0 0 0 0 为倾角 切线的斜率 即 在点 处的 表示曲线 = = f x M x f x f x y f x 切线方程为 法线方程为 ( )( ). 0 x0 x x0 y − y = f − ( ). ( ) 1 0 0 0 x x f x y y − − = −
例7求等边双曲线y=-在点(,2处的切线的 斜率,并写出在该点处的切线方程和法线方程 解由导数的几何意义,得切线斜率为 k=y 所求切线方程为y-2=-4(x-3),即4x+y-4=0. 法线方程为y-2=(x-),即2x-8y+15=0
例7 , . ,2) 2 1 ( 1 斜率 并写出在该点处的切线方程和法线方程 求等边双曲线 在点 处的切线的 x y = 解 由导数的几何意义, 得切线斜率为 2 1 = = x k y 2 1 ) 1 ( = = x x 2 2 1 1 = = − x x = −4. 所求切线方程为 法线方程为 ), 2 1 y − 2 = −4(x − ), 2 1 ( 4 1 y − 2 = x − 即4x + y − 4 = 0. 即2x − 8 y + 15 = 0