★如果f(x)在开区间(a,b)内可导,且f(a)及 ∫(b)都存在,就说f(x)在闭区间a,b上可导 ★设函数(以=(x),xzx讨论在点x的 lv(),x< 可导性 若imf(x+△x)-f(x) Ar→》-0 △v =imy(x+△x)-g(x) f(x)存在, Ar→>-0
如果 f (x)在开区间(a,b)内可导，且 f (a) + 及 f (b) − 都存在，就说 f (x)在闭区间a,b上可导. ★ . , ( ), ( ), ( ) 0 00 可导性 设函数 讨论在点x 的 x x x x x x f x = x f x x f x x + − →− ( ) ( ) lim 0 0 若 0 x x x x x + − = →− ( ) ( ) lim 0 0 0 ( ) , = f − x0 存在 ★
若Iimf(xn+△)-f(x) △x→+0 △ =Iim%x+AD0(x)=f(x,)存在, 且∫(xn)=f(xn)=a, 则f(x)在点x0可导, 且∫(xn)=a
则 f (x)在点x0 可导， ( ) , = f + x0 存在 x f x x f x x + − →+ ( ) ( ) lim 0 0 若 0 x x x x x + − = →+ ( ) ( ) lim 0 0 0 ( ) ( ) , 且 f − x0 = f + x0 = a ( ) . 且 f x0 = a
三、由定义求导数 步骤:(1)求增量y=f(x+△x)-f(x); (2)算比4f(x+△x)-f(x) △ (3)求极限y′=im今 △x-0△v 例1求函数∫(x)=C(C为常数)的导数 #f(x)=limf(+h-f(r)C-C m h→0 h h→0 h 即(C)′=0
三、由定义求导数 步骤: (1)求增量 y = f (x + x) − f (x);; ( ) ( ) (2) x f x x f x x y + − = 算比值 (3) lim . 0 x y y x = → 求极限 例1 求函数 f (x) = C(C为常数)的导数. 解 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = → h C C h − = →0 lim = 0. 即 (C) = 0
例2设函数f(x)=smx,求(mx)及mx)x 解(sinx)'=im sin(x+ h)-sinx h→0 h SIn lim cos(x+).22 cos x h→0 2 即(sinx)=cosx ∴(sinx)x=c0sxx
例 2 ( ) sin , (sin ) (sin ) . 4 = = x 设函数 f x x 求 x 及 x 解 h x h x x h sin( ) sin (sin ) lim0 + − = → 2 2 sin ) 2 lim cos( 0 h h h x h = + → = cos x . 即 (sin x) = cos x. 4 4 (sin ) cos = = = x x x x . 22 =
例3求函数y=x"(m为正整数)的导数 解(x)=加in(x+b-x h→0 nn lim nx"+ x"h+…+h]=nx"-1 h→0 即(x")=nx 更一般地(x2)y=pux1.(u∈R) 例如,(√x)’=1x2 2 2√x (x-)=(-1)x
例3 求函数 y x (n为正整数)的导数. n = 解 h x h x x n n h n + − = → ( ) ( ) lim 0 ] 2! ( 1) lim[ 1 2 1 0 − − − → + + − = + n n n h x h h n n nx −1 = n nx ( ) . −1 = n n 即 x nx 更一般地 ( ) . ( ) 1 x = x R − 例如, ( x) 1 2 1 2 1 − = x . 2 1 x = ( ) 1 − x 1 1 ( 1) − − = − x . 1 2 x = −