第三章扭转 §3.1扭转的概念和实例 §3.2外力偶矩的计算，扭矩和扭矩图 §3.3纯剪切 §3.4圆轴扭转时的应力 §3.5圆轴扭转时的变形 §3.6圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 §3.7非圆截面杆扭转的概念 §3.1扭转的概念和实例 1.实例如： 〔车床的光杆 反应釜的搅拌轴 、汽车转向轴 2.扭转：在杆件的两端作用等值，反向且作用面垂直于杆件轴线的一对 力偶时，杆的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动，这种变形称为 扭转变形。 §3.2外力偶矩的计算，扭矩和扭矩图 1.M、m、P之间的关系 M。一一外力偶矩(Nm) n一一转速(r/min) P-功率(kW)(1kW=1000Nms)(马力)(1马力=735.5W〉 每秒钟内完成的功力 M号-10o0P或
第三章 扭 转 §3.1 扭转的概念和实例 §3.2 外力偶矩的计算，扭矩和扭矩图 §3.3 纯剪切 §3.4 圆轴扭转时的应力 §3.5 圆轴扭转时的变形 §3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 §3.7 非圆截面杆扭转的概念 §3.1 扭转的概念和实例 1．实例如： 车床的光杆 反应釜的搅拌轴 汽车转向轴 2．扭转：在杆件的两端作用等值，反向且作用面垂直于杆件轴线的一对 力偶时，杆的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动，这种变形称为 扭转变形。 §3.2 外力偶矩的计算，扭矩和扭矩图 1．Me、m、 P 之间的关系 Me——外力偶矩（N∙m） n——转速（r/min） P——功率（kW）（1kW=1000N∙m/s）（马力）（1 马力=735.5W） 每秒钟内完成的功力 P n M e 1000 60 2 · = 或
M,20=55 (=9549 ew r/min 仙wn=7024P9力 nr/min 2.扭矩和扭矩图 m e (b) (c) (1)截面法、平衡方程 ΣM=0T-M=0 T=M (2)扭矩符号规定：为无论用部分I或部分Ⅱ求出的同一截面上的 扭矩不但数值相同且符号相同、扭矩用右手螺旋定则确定正负号。 (3)扭矩图 例1主动轮A输入功率PA=50kW,从动轮输出功率PB=P=15kW Po=20kW,=300rmin,试求扭矩图. 解：(1) -%-9器-591Nm 15 MeB T1 Ma=Me=9549×300=477N-m () Mp =637N.m (2)求T ΣM=0T+MeB=0 T=-MeB=-477 T2-Me+Mo=0 T2=1115N 1115Nm T3-MeD=0 T;=MoF-63T e e 447N,m
P n M e 735.5 60 2 · = / min 7024 / min kW 9549 . . n r P M n r P M e N m e N m 马力 = = 2．扭矩和扭矩图 （1）截面法、平衡方程 ΣMx=0 T-Me=0 T=Me （2）扭矩符号规定：为无论用部分 I 或部分 II 求出的同一截面上的 扭矩不但数值相同且符号相同、扭矩用右手螺旋定则确定正负号。 （3）扭矩图 例 1 主动轮 A 输入功率 PA=50kW，从动轮输出功率 PB=PC=15kW， PD=20kW，n=300r/min，试求扭矩图. 解：（1） 1591 300 50 = 9549 = 9549 = n P M eA Nm 637N m 477N m 300 15 9549 = = = = eD eB eC M M M （2）求 T ΣMx=0 T1+MeB=0 T1=-MeB=-477 T2-MeA+MeB=0 T2=1115N T3-MeD=0 T3=Med=63T
例2主动轮与从动轮布置合理性的讨论主动轮一般应放在两个从动 轮的中间，这样会使整个轴的扭矩图分布比较均匀。这与主动轮放在从 动轮的一边相比，整个轴的最大扭矩值会降低。 0 N m 5 N.m 如左图a:Tma=50N·m 右图b:Tma=25N·m 二者比较图b安置合理。 §3.3纯剪切 (b (eh d 在讨论扭转的应力和变形之前，对于切应力和切应变的规律以及二 者关系的研究非常重要。 1.薄壁圆筒扭转时的切应力
例 2 主动轮与从动轮布置合理性的讨论主动轮一般应放在两个从动 轮的中间，这样会使整个轴的扭矩图分布比较均匀。这与主动轮放在从 动轮的一边相比，整个轴的最大扭矩值会降低。 如左图 a：Tmax=50N·m 右图 b：Tmax=25N·m 二者比较图 b 安置合理。 §3.3 纯剪切 在讨论扭转的应力和变形之前，对于切应力和切应变的规律以及二 者关系的研究非常重要。 1．薄壁圆筒扭转时的切应力
连接件的剪切面上非但有切应力，而且有正应 力，剪切面附近变形十分复杂。纯剪切是指截面上 只有切应力而无正应力。纯剪切的典型例子薄壁圆 筒的扭转。 (1)观察变形及分析 变形前纵线与圆周线形成方格。 变形后方格左右两边相对错动，距离保持不变，圆周半径长度保持 不变，这表示横截面上无正应力，只有切应力。由于切应变发生在纵截 面，故横截面上的切应力与半径正交。 对薄壁圆筒而言，切应力沿壁厚不变化。 (2)力矩平衡ΣM,=0 M。=2m6t t=2m8 M 2.切应力互等定理 取出单元体如左图 ”品 ΣF=0 ΣM=0 (r动h=(r' T/=T 在相互垂直的两个平面上，切应力必 M 然成对存在，且数值相等，其方向都垂直 于两平面交线，或共同指向或共同背离两 平面交线。这就是切应力互等定理，也称 为切应力双生定理。 3.切应变剪切胡克定律 上述单元体，属于纯剪切状态 P曲线 钢筋筒的扭转试验
连接件的剪切面上非但有切应力，而且有正应 力，剪切面附近变形十分复杂。纯剪切是指截面上 只有切应力而无正应力。纯剪切的典型例子薄壁圆 筒的扭转。 （1）观察变形及分析 变形前纵线与圆周线形成方格。 变形后方格左右两边相对错动，距离保持不变，圆周半径长度保持 不变，这表示横截面上无正应力，只有切应力。由于切应变发生在纵截 面，故横截面上的切应力与半径正交。 对薄壁圆筒而言，切应力沿壁厚不变化。 （2）力矩平衡ΣMx=0 2 2 2 ·· r M M r r e e = = 2．切应力互等定理 取出单元体如左图 2 2 r M e = ΣFx=0 τ′=τ′ ΣMz=0 (dy)dx = ( dx)dy τ′=τ 在相互垂直的两个平面上，切应力必 然成对存在，且数值相等，其方向都垂直 于两平面交线，或共同指向或共同背离两 平面交线。这就是切应力互等定理，也称 为切应力双生定理。 3．切应变剪切胡克定律 上述单元体，属于纯剪切状态
胡克定律：试验表明，当切应力不超过比例 T 极限时，切应力与切应变成正比。 t=GY G一一比例常数，材料的切变模量。单位GPa 4.三个弹性常数之间的关系 对各向同性材料 T、Y线 G=20+ 5.剪切应变能 0Y: TY曲线 对图示纯剪切单元体。右侧面上的剪力为Tydz。由于剪切变形， 右侧面向下错动位移为rdx。若切应力有一个增量dτ，切应变的相应增 量为dY,右侧面向下位移增量为dYdx。剪力tydz在位移dYdx上完 成的功力rdydz·dYdx。在切应力从零开始逐渐增加的过程中（如达到 可，则相应的切应变达到)右侧面上的剪力r dydz总共完成的功力。 d邮=tdt 单元体内储存的剪切应变能力 d业.=d咖==dh 式中：dv=dxdydz,则剪切应变能密度为 g品-地 v=t一r曲线下的面积。(tdY为阴影条面积)当切应力不超过剪
胡克定律：试验表明，当切应力不超过比例 极限时，切应力与切应变成正比。 τ= Gγ G——比例常数，材料的切变模量。单位 GPa 4．三个弹性常数之间的关系 对各向同性材料 ( + ) = 2 1 E G 5．剪切应变能 对图示纯剪切单元体。右侧面上的剪力为τdydz。由于剪切变形， 右侧面向下错动位移为 rdx。若切应力有一个增量 dτ，切应变的相应增 量为 dγ，右侧面向下位移增量为 dγdx。剪力τdydz 在位移 dγdx 上完 成的功力τdydz·dγdx。在切应力从零开始逐渐增加的过程中（如达到 可，则相应的切应变达到 r1）右侧面上的剪力τdydz 总共完成的功力。 = 1 0 d d d d d r w y z r x 单元体内储存的剪切应变能力 = = = 1 1 0 0 d d d d d d d d r r V w y z r x r v 式中：dv=dxdydz，则剪切应变能密度为 = = 1 0 d d d r r v v vε=τ－r 曲线下的面积。（τdγ为阴影条面积）当切应力不超过剪