第四章弯曲内力 §4.1弯曲的概念和实例 §4.2受弯杆件的简化 §4.3剪力和弯矩 §4.4剪力方程和弯矩方向，剪力图和弯矩图 §4.5载荷集度、剪力和弯矩间的关系 §4.6静定刚度及平面曲杆的弯曲内力 §4.1弯曲的概念和实例 1.实例 [@)桥式起重机大梁 (2)火车轮轴 (3)镗刀刀杆 (4)轧板机的轧辊 2.弯曲变形 作用于杆件上的垂直于杆件的轴线，使原为直线的轴线变形后成为 曲线，这种变形称为弯曲变形。 3.梁一一凡以弯曲变形为主的杆件，习惯上称为梁 4.对称弯曲： 「（①横截面有一根对称轴 (2)整个杆件有一个包含对称轴的纵向对称面 3)所有外力都作用于纵向对称面内 (4)弯曲变形后轴线成为纵向对称面内的一条平面曲线
第四章 弯曲内力 §4.1 弯曲的概念和实例 §4.2 受弯杆件的简化 §4.3 剪力和弯矩 §4.4 剪力方程和弯矩方向，剪力图和弯矩图 §4.5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 §4.6 静定刚度及平面曲杆的弯曲内力 §4.1 弯曲的概念和实例 1．实例 ( ) ( ) ( ) ( ) 轧板机的轧辊 镗刀刀杆 火车轮轴 桥式起重机大梁 4 3 2 1 2．弯曲变形 作用于杆件上的垂直于杆件的轴线，使原为直线的轴线变形后成为 曲线，这种变形称为弯曲变形。 3．梁——凡以弯曲变形为主的杆件，习惯上称为梁 4．对称弯曲： ( ) ( ) ( ) ( ) 弯曲变形后轴线成为纵向对称面内的一条平面曲线 所有外力都作用于纵向对称面内 整个杆件有一个包含对称轴的纵向对称面 横截面有一根对称轴 4 3 2 1 F 1 2
§4.2受弯杆件的简化 根据支座及载荷简化，最后可以得出梁的计算简图。计算简图以梁 的轴线和支承来表示梁。 )简支梁 梁的基本形式：2)外伸梁 3)悬臂梁 1称为梁的跨度 §4.3剪力和弯矩 (1)求反力： ΣMB=0 F M4=0 (2)求内力（截面法） 一般来说截面上有剪力Fs和弯矩M(为平衡) EF,=0 F,-F-F=0 Fs=F-F (a】 M。=0 M+F(x-a)-Fx=0 M=Fx-F(x-a) (b) F F F (3)讨论
§4.2 受弯杆件的简化 根据支座及载荷简化，最后可以得出梁的计算简图。计算简图以梁 的轴线和支承来表示梁。 ( ) ( ) ( ) 悬臂梁 外伸梁 简支梁 梁的基本形式 3 2 1 : l 称为梁的跨度 §4.3 剪力和弯矩 （1）求反力： A B B A F F 0 0 = = （2）求内力（截面法） 一般来说截面上有剪力 FS 和弯矩 M（为平衡） Fy = 0 FA − F1 − Fs = 0 FS = FA − F1 （a） 0 ( ) 0 M0 = M + F1 x − a − FA x = M F x F(x a) = A − 1 − （b） 1 2 F 1 2 F （3）讨论
一般说，在梁的截面上都有剪力Fs和弯矩M,从式(a)式(b)可 以看出，在数值上，剪力Fs等于截面以左所有外力在梁轴线的垂线(y 轴)上投影的代数和；弯矩M等于截面以左所有外力对截面形心取力矩 的代数和，即： M=∑M, 同理，取截面右侧部分为研 究对象： F.-ZE 右 M=2M五 (4)剪力Fs和弯矩M符号 (+) (-) 规定 无论取左侧，或者取右侧，所得同一截面上的剪力Fs和弯矩M,不 但数值相同，而且符号也一致，符号规定如左图示。 Examplel试求图示梁D截面的Fs、 M I Solution: (1)求反力 Mg=0F4·3a-(g2aa=0 F-9 ΣM4=0 Fa·3a-(g-2aj-(2a)=0 (2)求剪力和弯矩
一般说，在梁的截面上都有剪力 FS 和弯矩 M，从式（a）式（b）可 以看出，在数值上，剪力 FS 等于截面以左所有外力在梁轴线的垂线（y 轴）上投影的代数和；弯矩 M 等于截面以左所有外力对截面形心取力矩 的代数和，即： = = = = 左 左 n i i n i S i M M F F 1 1 同理，取截面右侧部分为研 究对象： = = = = 右 右 n i i n i S i M M F F 1 1 （4）剪力 FS 和弯矩 M 符号 规定 无论取左侧，或者取右侧，所得同一截面上的剪力 FS 和弯矩 M，不 但数值相同，而且符号也一致，符号规定如左图示。 Example1 试求图示梁 D 截面的 FS、 M Solution： （1）求反力 MB = 0 FA 3a − (q 2a) a = 0 3 2qa FA = M A = 0 FB 3a − (q 2a)(2a)= 0 3 4qa FB = （2）求剪力和弯矩
(设正法)将截面上的剪力Fs和弯距M,按符号规定设为正的方向。 2F,=0 F4-g0-Fs=0 5=R,-909-90=-号 (负号说明剪力Fs所设方向与实际方向相反，截面上产生负剪力)。 M。=0 M-F2a+ga-0 326 (正号说所设方向与实际方向一致，截面上产生正弯矩)。 Exemple22试求图示梁1-l,2-2截 面上的剪力和弯矩 F Solution: ①求反力： 2MB=0 F1-Fb=0 F.- EM,=0 Fs1-Fa=0 ②求剪力和弯矩，1-1截面 F=0 F-Fs=0 EM。=0 M,-F4·a=0 M,-F,a=Fba 2-2截面 F,=0 F4-F-F2=0 =R,-F=中-F- (负号说明剪力方向与实际方向相反，在截面上剪力为负值) M。=0 M2-F4·a=0
（设正法）将截面上的剪力 FS 和弯距 M，按符号规定设为正的方向。 Fy = 0 FA − qa − FS = 0 3 3 2 qa qa qa FS = FA − qa = − = − （负号说明剪力 FS 所设方向与实际方向相反，截面上产生负剪力）。 0 2 = 0 − 2 + = a M D M FA a qa 6 5 3 2 4 2 2 2 2 2 2 2 qa qa qa qa M = FA a − = − = （正号说所设方向与实际方向一致，截面上产生正弯矩）。 Exemple2 试求图示梁 1-1，2-2 截 面上的剪力和弯矩 Solution： ①求反力： MB = 0 FA l − Fb = 0 l Fb FA = M A = 0 FB l − Fa = 0 l Fa FB = ②求剪力和弯矩，1-1 截面 Fy = 0 FA − FS1 = 0 l Fba M1 = FA a = 2-2 截面 Fy = 0 FA − F − FS 2 = 0 l Fa F l Fb FS 2 = FA − F = − = − （负号说明剪力方向与实际方向相反，在截面上剪力为负值） M0 = 0 M2 − FA a = 0 M0 = 0 M1 − FA a = 0 2 1 2 1 1 1 o o 2 2 F 2
站-Ra Example3试求图示梁1-1、2-2截面上的剪力和弯矩 Solution ①求反力： 2MB=0 F41-M.=0 F EM=0 FBI+M。=0 (负号说明，所设反力方向与实际 方向相反) ②求剪力和弯矩 1-1截面：设Fs1,M F=0 F4-F1=0 F=5,= M。=0 F4a-M1=0 M-a-a 2-2截面：设Fs2,M(设正法) F.=0 Fs2+FB=0 5=-f=4 ΣM。=0 M2-FB·b=0 站-月6-华b (所设方向与实际方向相反，为负弯矩) Example4试求梁1-1、2-2截面上的剪力和弯矩 Solution::根据前面剪力和弯矩的求代数和的规则来求剪力和弯矩
l Fba M 2 = FA a = Example3 试求图示梁 1-1、2-2 截面上的剪力和弯矩 Solution ①求反力： M B = 0 FA l − Me = 0 l M F e A = M A = 0 FB l + Me = 0 l M F e B = − （负号说明，所设反力方向与实际 方向相反） ②求剪力和弯矩 1-1 截面：设 FS1，M1 Fy = 0 FA − FS1 = 0 l M F F e S1 = A = M0 = 0 FA a − M1 = 0 a l Me M1 = FA a = 2-2 截面：设 FS2，M2（设正法） Fy = 0 FS 2 + FB = 0 l M F F e S 2 = − B = M0 = 0 M2 − FB b = 0 b l Me M2 = FB b = − （所设方向与实际方向相反，为负弯矩） Example4 试求梁 1-1、2-2 截面上的剪力和弯矩 Solution：根据前面剪力和弯矩的求代数和的规则来求剪力和弯矩。 1 1 2 2 o o 1 1 o 2 2 2