控制原理电子教案 而使整个闭环系统稳定,因此,称这样的系统为能镇定的或能稳定的系统 定理线性连续或离散系统{LBC能镇定的充分必要条件是系统的不能 控极点都是稳定极点。 8.2.2单输入系统的极点配置方法 对于线性(连续或离散)单输入系统{bd},按指定极点配置设计状态反 馈增益矩阵的基本方法,是选择状态反馈增益矩阵使系统的特征多项式 det-(A+bk)等于期望的特征多项式∫'(4),即 de-(4+b)=f"(A) (8.17) 例83设连续系统的动态方程如下,试计算系统的状态反馈增益矩阵。 x2(1)」[00x2(1) 解(1)按连续系统设计 取状态反馈控制律为 k x,+k 系统的特征方程为 k a-k 设期望的闭环特征多项式为 f'( 则得状态反馈增益矩阵为 1k2]= (2)按离散系统设计 离散化后的状态方程 x(k+1)7 x2(k+1)701x2(km)T m 其中T是采样周期。取状态反馈为 (kn)=[1k2 x2(7)=x()+k2x2(k7 闭环系统方程为 1+-K1T- T+k2T c(kT) KIT 闭环特征多项式为 -4-b1=2-(k172+k2T+2)-k72+7k2+1 设期望的闭环特征多项式为 令闭环特征多项式等于期望的闭环特征多项式,即令它们的对应系数值相等, 浙江工业大学自动化研究所
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 而使整个闭环系统稳定，因此，称这样的系统为能镇定的或能稳定的系统。 定理 线性连续或离散系统{A,B,C}能镇定的充分必要条件是系统的不能 控极点都是稳定极点。 8.2.2 单输入系统的极点配置方法 对于线性（连续或离散）单输入系统{A,b,c}，按指定极点配置设计状态反 馈增益矩阵的基本方法，是选择状态反馈增益矩阵使系统的特征多项式 det[λ I − (A+ bK)]等于期望的特征多项式 ( ) ，即 * f λ det[λ ( )] ( ) （8.17） * I − A+ bK = f λ 例 8.3 设连续系统的动态方程如下,试计算系统的状态反馈增益矩阵。 ( ) 1 0 ( ) ( ) 0 0 0 1 ( ) ( ) 2 1 2 1 u t x t x t x t x t ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ + ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ & & [ ] ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ( ) ( ) ( ) 1 0 2 1 x t x t y t 解 （1）按连续系统设计 取状态反馈控制律为 [ ] 1 1 2 2 2 1 1 2 k x k x x x u k k ⎥ = + ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 系统的特征方程为 [ ] 2 1 2 1 2 1 det det k k k k I A BK ⎥ = − − ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − = λ λ λ λ λ 设期望的闭环特征多项式为 1 0 * 2 f (λ) = λ + a λ + a 则得状态反馈增益矩阵为 [ ] [ 1 2 a0 a1 K = k k = − − ] （2）按离散系统设计 离散化后的状态方程 ( ) / 2 ( ) ( ) 0 1 1 [( 1) ] [( 1) ] 2 2 1 2 1 u kT T T x kT T x kT x k T x k T ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ + ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + 其中 T 是采样周期。取状态反馈为 [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 1 1 2 k x kT k x kT x kT x kT u kT k k ⎥ = + ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = 闭环系统方程为 ( ) 1 2 1 2 1 1 [( 1) ] 1 2 2 2 2 1 x kT k T k T k T T k T x k T ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + = 闭环特征多项式为 1 2 1 2) 2 1 ( 2 2 2 1 2 1 2 λI − A− bK = λ − k T + k T + λ − k T +Tk + 设期望的闭环特征多项式为 1 0 * 2 f (λ) = λ + a λ + a 令闭环特征多项式等于期望的闭环特征多项式，即令它们的对应系数值相等， 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所
自动控制原理电子教案 得到两个联立方程 (Tk2+k1T-+2)=a1 解得状态反馈系数为 (1+a1+a0) 离散时间系统的闭环系统结构图如图84所示 NINTH 川T} ≯;被控对象 了一 状态反馈 图84离散系统的状态反馈 按指定极点配置设计状态反馈增益阵的一般步骤为: )求将被控对象的状态方程变换为能控标准型的变换矩阵r T l TA 2)求出被控对象的特征多项式 ∫(λ)=deta-(A+b=An+an-1An-+…+a1λ+ao 3)根据指定的闭环极点求出期望的闭环特征多项式 4)写出对于能控标准型下的状态x反馈增益阵K 5)将K化为对于给定状态x的反馈增益阵K=KT 5)状态反馈下的控制律为=Kx+r 浙江工业大学自动化研究所
自 动 控 制 原 理 电 子 教 案 得到两个联立方程 1 2 2 1 2) 2 1 − (Tk + k T + = a 2 0 2 1 1 2 1 − k T +Tk + = a 解得状态反馈系数为 (1 ) 1 1 0 2 1 a a T k = − + + (3 ) 2 1 2 1 0 a a T k = − + − 离散时间系统的闭环系统结构图如图 8.4 所示。 ( ) 1x k T -1 -1 ( 1) x1 k + ( ) 2x k 图8.4 离散系统的状态反馈 −1 z 2 k 1k r u 被控对象 状态反馈 −1 T z 2 2 1 T ( 1) x2 k + 按指定极点配置设计状态反馈增益阵的一般步骤为： 1） 求将被控对象的状态方程变换为能控标准型的变换矩阵T [ ] [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = = − − − 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 n C n C T A T A T T T S S b Ab A b M L L 2） 求出被控对象的特征多项式 1 0 1 1 f ( ) det[ I ( A bK )] a a a n n n = − + = + + + + − λ λ λ − λ L λ 3） 根据指定的闭环极点求出期望的闭环特征多项式 * 0 * 1 1 1 f ( ) a a a n n n = + + + + ∗ − − ∗ λ λ λ L λ 4） 写出对于能控标准型下的状态 x 反馈增益阵 K [ ] ∗ − − ∗ ∗ = 0 − 0 1 − 1 n 1 − n 1 K a a a a L a a 5）将 K 化为对于给定状态 x 的反馈增益阵 K = KT ； 5） 状态反馈下的控制律为u = Kx + r 。 浙 江 工 业 大 学 自 动 化 研 究 所