1. Einfuhrung FLM 1.3 Ursachen fur das Auftreten von Stromungen Krafte in einer druckgetriebenen, stationaren und voll ausgebildeten Rohrstromung mit konstanter Dichte 1. Impulskraft F Impuls mc · Impulskraft d i dc dm F1 0+c·m P2<P1 F m=p·A·c MODELL F=pAc2, A= 2. Druckkrat Fp Druck p auf die flache a Druckkraft F=(P-P)A=ApA 3. Reibungskraft Fp Schubspannung an den wanden C1=C2=C= u=pv S Kap. 1.4.2 W =dynamische Viskosit tat v=kinematische Viskositat Reibungskraft FR=TS s=nd Charakteristische GroBen: Ap, c, d, l, p,v Abhangigk Ap=ft, d,l,,vy
11 FLM Kräfte in einer druckgetriebenen, stationären und voll ausgebildeten Rohrströmung mit konstanter Dichte 1. Impulskraft FI • Impuls • Impulskraft 2. Druckkraft FP • Druck p auf die Fläche A • Druckkraft 3. Reibungskraft FR • Schubspannung an den Wänden Newton s. Kap. 1.4.2 • Reibungskraft ; • Charakteristische Größen: • Abhängigkeit : 2 2 4 ; ; 0 F A c A d F m c m A c c m dt dm c dt dc m dt dI F I m c I I I π ρ ρ = ⋅ ⋅ = = ⋅ = ⋅ ⋅ = = ⋅ + ⋅ = + ⋅ = ⋅ τ = µ ⋅ µ = ρ ⋅ν = ; o r r W dr dc 1 2 c1 c2 τ F p FR τ 1 2 c1 c2 Fp FR τ 1 2 2 4 d Q c c c ⋅ π = = = l, ∆p l A d p1 MODELL 1 2τ l A d p1 MODELL 1 2τ c(r) 2 1 p < p µ ν FR =τ S S = π d l Wτ Fp = (p1 − p2 )A = ∆pA 1. Einführung 1.3 Ursachen für das Auftreten von Strömungen = dynamische Viskosität = kinematische Viskosität { ρ ν } ρ ν , , , , , , , , , p f c d l p c d l ∆ = ∆
1. Einfuhrung FLM 1.3 Ursachen fur das Auftreten von Stromungen Eine druckgetriebene, stationare und voll ausgebildete rohrstromung entsteht, wenn sich ein Gleichgewicht einstellt zwischen der resultierenden Druckkraft Fp und der resultierenden Reibungskraft Fp. Unter dieser Voraussetzung weist die Impulskraft f in allen Querschnitten den Chen betrag a Gleichgewicht FP=FR 4p·A=rmS S丌·d·l W=T =m4 Konstanter Impulstransport durch die Impulskraft FI F=p A c=mC=const.; m=const c=const Aus den drei Kraften F, FR und Fi lassen sich zwei Krafteverhaltnisse bilden
12 FLM Eine druckgetriebene, stationäre und voll ausgebildete Rohrströmung entsteht, wenn sich ein Gleichgewicht einstellt zwischen der resultierenden Druckkraft FP und der resultierenden Reibungskraft FR. Unter dieser Voraussetzung weist die Impulskraft FI in allen Querschnitten den gleichen Betrag auf. • Gleichgewicht FP=FR • Konstanter Impulstransport durch die Impulskraft FI Aus den drei Kräften FP,FR und FI lassen sich zwei Kräfteverhältnisse bilden = ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ∆ = ⋅ = ⋅ ∆ ⋅ = ⋅ d l d d l A S p p A S W W W W 4 4 2 τ π π τ τ τ c const F A c m c const m const I = = ⋅ ⋅ = ⋅ = . ; = 2 ρ 1. Einführung 1.3 Ursachen für das Auftreten von Strömungen
1. Einfuhrung FLM 1.3 Ursachen fur das Auftreten von Stromungen Kennzahlen fur druckgetriebene stromungen Aus den Krafteverhaltnissen ergeben sich die Kennzahlen die diesen Stromungsvorgang charakterisieren Eu Fr p A c pc d = Fp.A p.d4.c2 1 d cd 1 d FR TS 2·c Wahlt man die betrachtete Lange des rohrstucks =d 8. dann erhalt man die zwei das problem charakterisierenden ahnlichkeitskennzahlen Ap.d pg JEu=FRe] cd Reynolds-Zahl Re Fur alle Kombinationen der StromungsgroBen(, Ap), GeometriegroBen(d, D) und StoffgroBen(., o) erhalten wir ahnliche Stromungsverhaltnisse, wenn die Euler-und Reynolds- Zahl gleich sind Durch den Ubergang von einer dimensionsbehafteten Betrachtung mit insgesamt 6 Parametern auf dimensionslose groben mit nur mehr zwei ahnlichkeitsparametern lasst sich dieses problem erheblich vereinfachen
13 FLM Kennzahlen für druckgetriebene Strömungen Aus den Kräfteverhältnissen ergeben sich die Kennzahlen, die diesen Strömungsvorgang charakterisieren. Wählt man die betrachtete Länge des Rohrstücks l = d/8, dann erhält man die zwei das Problem charakterisierenden Ähnlichkeitskennzahlen: Für alle Kombinationen der Strömungsgrößen , Geometriegrößen (d, l) und Stoffgrößen erhalten wir ähnliche Strömungsverhältnisse, wenn die Euler- und Reynolds - Zahl gleich sind. Durch den Übergang von einer dimensionsbehafteten Betrachtung mit insgesamt 6 Parametern auf dimensionslose Größen mit nur mehr zwei Ähnlichkeitsparametern lässt sich dieses Problem erheblich vereinfachen. Re l c d d l d d l d c d c S A c F F Eu c p A c p A F F R I I P = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = = ⋅ ∆ = ⋅ ⋅ ∆ ⋅ = 8 1 8 1 2 4 2 2 2 2 2 ν ρ ν π π ρ τ ρ ρ ρ {Re} Reynolds Zahl Euler Zahl Eu F d c d 4 Q Re Q S d c 4 S Eu 2 2 4 2 = ⋅ ⋅ = ⋅ − = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ − = 2 0 d c r r dr dc ≈ = (c,∆p) (ρ,υ) 1. Einführung 1.3 Ursachen für das Auftreten von Strömungen
1. Einfuhrung FLM 1.3 Ursachen fur das Auftreten von Stromungen Anwendung der ahnlichkeitsbetrachtung Es ist eine messung des druckabfalls in einer rohrleitung( Prototyp) mit folgenden Daten geplant Stromung 0=0.1 S A=01052 m Geometrie d=0.1m 1=10m p.c=10 Stoff Wasser: P=10 kg Euler-Zahl Eu 0.1 V=10 pc Reynolds-alhe、c10°
14 FLM Anwendung der Ähnlichkeitsbetrachtung Es ist eine Messung des Druckabfalls in einer Rohrleitung (Prototyp) mit folgenden Daten geplant: s m m kg m N p s m 2 6 10 3 3 Stoff Wasser : 10 l 1.0m Geometrie : d 0.1m 2 5 0.1 10 3 4 Strömung : Q 0.1 − = = = = ∆ = ⋅ = ⋅ ν ρ π 2 2 5 10 10 m N c s m c ⋅ = = ρ 6 Reynolds Zahl 10 Euler Zahl 0.1 = ⋅ − = = ⋅ − = c l Re c S Eu 2 1. Einführung 1.3 Ursachen für das Auftreten von Strömungen
1. Einfuhrung FLM 1.3 Ursachen fur das Auftreten von Stromungen Aus messtechnischen Grunden sollen die messungen weiterhin mit Wasser, jedoch an einem im MaBstab 2 1 vergroBerten Modell vorgenommen werden. d h. d M=2dP und MM=2/P Wie groB muss dann der Volumenstrom und die druckdifferenz eingestellt werden, um hydrodynamisch ahnliche verhaltnisse zu gewahrleisten? Re"→Q=2Q"→cM=0.5·c 2EuM=Eu"→4p=0254p Der Volumenstrom muss verdoppelt werden, wahrend die antreibende druckdifferenz um den Faktor 4 verringert werden kann P: Prototyp Modell
15 FLM Aus messtechnischen Gründen sollen die Messungen weiterhin mit Wasser, jedoch an einem im Maßstab 2:1 vergrößerten Modell vorgenommen werden, d.h. dM=2dP und lM=2lP. Wie groß muss dann der Volumenstrom und die Druckdifferenz eingestellt werden, um hydrodynamisch ähnliche Verhältnisse zu gewährleisten? Der Volumenstrom muss verdoppelt werden, während die antreibende Druckdifferenz um den Faktor 4 verringert werden kann. P M P P M P M P p p Q Q c c = ⇒ ∆ = ⋅ ∆ = ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ 2.Eu Eu 0.25 1.Re Re 2 0.5 M M P: Prototyp M: Modell 1. Einführung 1.3 Ursachen für das Auftreten von Strömungen