《代数与几何》第六讲 群环域

第五讲群环域 HWS-P5751(2),54,56,59,60,64 EX551(1)(3),57,58,66,补11 复习P41-=51,预习P64-75 重点:1.半群,群,交换群的定义,性质,例子;2环,域的定义, 性质,例子。 1-10基本代数结构——群、环、域的基本概念 非空集Ⅹ上定义的若干代数运算f1,…,f组成的系统称为代数 系统(简称代数系),记作<X:f,…,f>。代数系统的数学结构是由 其运算性质决定的。集不同,代数运算方法不同,但运算的性质却 有可能相同。如代数系统<Z:+>与<R{(O}:·有以下相同的 性质 (1)加法和乘法都满足结合律和交换律; (2)彐0∈Z,使k∈Z,均有0+k=k;彐1∈R\{0},使va∈R 均有1a=a.这里0和1分别称为加法和乘法的单位元 (3)Vk∈Z,3-k∈Z,使得k+(-k)=0(0是加法单位元) k叫做k关于加法的逆元 va∈R{0},彐a-l=1/a∈R{0},使得a·a-l=1(1是乘法 单位元)。a1叫做a关于乘法的逆元。 这些性质的共同点概括起来为:(1)运算满足结合律和交换律 (2)集合关于运算存在单位元;(3)集合中每个元素关于运算都有 逆元。具有上述性质的代数系统称为“交换群”。 1.10.1半群和群 在19世记30年代,年青的法国数学家伽罗瓦( Galois)开创性 地用群论方法建立了方程的可解性理论,群论的发现使代数的研究 进入了新时代,从局部性研究转向整体结构的分析研究。 群是具有一个代数运算的代数系统。 定义1.27代数系统<G>称为群,如果: (1)运算“。”满足结合律,即va,b,c∈G,ao(boc)=(aob)oc (2)G关于运算“。”存在单位元,即彐eeG,使va∈G,有 ao e=eo a=a, (3)va∈G,a关于“。“有逆,即彐b∈G使得ab=ba=e(单位 元),并称a为可逆元,b为a的逆元,记作b=a-1 当<G。o>满足结合律时,称为半群;存在单位元的半群,称为 含么半群。运算满足交换律的群,即va,b∈G,有ab=boa,称为交

第五讲群环域 HW5-P57—51(2)，54, 56, 59, 60, 64 EX5—51(1),(3), 57, 58, 66, 补 11 复习 P41-=51,预习 P64-75 重点：1.半群，群，交换群的定义，性质，例子；2.环，域的定义， 性质，例子。 1-10 基本代数结构 —— 群、环、域的基本概念 非空集 X 上定义的若干代数运算 f1,,fk组成的系统称为代数 系统(简称代数系), 记作< X: f1,,fk >。代数系统的数学结构是由 其运算性质决定的。集不同，代数运算方法不同，但运算的性质却 有可能相同。如代数系统 < Z: + > 与 < R\{0}：•> 有以下相同的 性质： (1) 加法和乘法都满足结合律和交换律； (2)  0Z, 使 kZ, 均有 0 + k = k ;  1 R\{0}, 使 aR 均有 1•a = a. 这里 0 和 1 分别称为加法和乘法的单位元； (3) kZ ,  − k Z， 使得 k + (−k) = 0 （0 是加法单位元）， − k 叫做 k 关于加法的逆元 ; a R\{0} , a −1 =1 / a R\{0}, 使得a • a −1 =1 (1是乘法 单位元)。a −1 叫做 a 关于乘法的逆元。 这些性质的共同点概括起来为：(1) 运算满足结合律和交换律； (2) 集合关于运算存在单位元；(3) 集合中每个元素关于运算都有 逆元。具有上述性质的代数系统称为“交换群”。 1.10.1 半群和群 在 19 世记 30 年代，年青的法国数学家伽罗瓦(Galois)开创性 地用群论方法建立了方程的可解性理论，群论的发现使代数的研究 进入了新时代，从局部性研究转向整体结构的分析研究。 群是具有一个代数运算的代数系统。 定义 1.27 代数系统<G:>称为群，如果： (1) 运算“”满足结合律，即 a, b, c  G, a (b c) = (a b)  c ; (2) G 关于运算“”存在单位元，即  eG , 使aG, 有 a e = e a = a ; (3) aG, a 关于““有逆，即  bG 使得 ab=ba=e(单位 元)，并称 a 为可逆元，b 为 a 的逆元，记作 b= a−1 . 当<G:> 满足结合律时，称为半群；存在单位元的半群，称为 含么半群。运算满足交换律的群，即a, bG,有 ab = ba , 称为交

换群,也称Abel群。 如果群G的子集H关于G的运算也构成群,则称H为G的子 群,记作H≤G 例1设+,·分别为数的加法和乘法,则 <Z:●>都是交换半群; <Q:·>,<R∵:·>都是交换群(其中Q是正有理数集,RR\{0)}),且 Q是R'关于乘法运算的子群;而<{1,-1}:●是仅有两个元素的交 换群。一般,仅含有限个元素的群称为有限群,否则叫无限群 例2设G=P(X)是集X的幂集,则<G:∩>,<G:∪都是含幺 半群,其中运算∪的单位元,运算⌒的单位元是X。 例3开关电路的状态集G={0,1}关于运算∧,V都构成含幺 半群。(G关于∧,封闭;满足结合律:关于运算∧,y的单位元分 别为1和0;非单位元不可逆)。 例4设G为某班学生集,运算“·”为比高矮,规定a比b 高,则a*b=b*a=a,且a*a=a(va∈G)。 运算是G的代数运算,且满足结合律,运算的单位元为最矮的 学生,因此G关于该运算构成含幺半群 例5设G={1,2,…,12},在G上定义时钟加法⊕为 b.a+b≤12 la+b-12,a+b≥l3 则<G⊕是交换群(G关于运算⊕封闭,运算满足结合律和交换律, G关于⊕的单位元e=12,小于12的任何元素a的逆元为12-a, 例6设R是全体空间几何向量组成的集合,则R3对于向量 的加法构成一个交换群。其中单位元ε为零向量,任一向量α的 逆元为 例7集合R同上,在其中定义二元运算*为:a*B表示a 在β上的投影向量。显然R关于该运算封闭,但运算不 满足结合律, B)*y=00,*y=OP (阝*y)=a*OO2 般OP≠O,所以R关于这个运算不构成一个半群 例8设RX]={aoax+a2x1a,a,a∈R;R[Ⅺ]是由所有实系 数多项式组成的集合,则它们关于多项式的加法都构成交换群,单 位元e都是零多项式对于多项式乘法,RⅨX]是含幺半群(其单位元 e=1);而R[X]不是半群,因为它关于乘法不封闭 例9°设Zn是Z关于模n同余关系的商集,即 Z=Z/R={0.1…,n-1}

换群，也称 Abel 群。 如果群 G 的子集 H 关于 G 的运算也构成群，则称 H 为 G 的子 群，记作 HG. 例 1 设 + , • 分别为数的加法和乘法，则<N: +>, <N: •>, <Z: •>都是交换半群； <Q+ : •>, <R* : •>都是交换群(其中 Q +是正有理数集, R* =R\{0}) , 且 Q +是 R *关于乘法运算的子群; 而<{1,−1}: •>是仅有两个元素的交 换群。一般，仅含有限个元素的群称为有限群，否则叫无限群。 例 2 设 G=P(X) 是集 X 的幂集，则<G: >, <G: >都是含幺 半群，其中运算的单位元, 运算的单位元是 X。 例 3 开关电路的状态集 G = {0,1}关于运算 ,  都构成含幺 半群。（G 关于, 封闭；满足结合律；关于运算 , 的单位元分 别为 1 和 0；非单位元不可逆）。 例 4 设 G 为某班学生集，运算“*”为比高矮，规定 a 比 b 高，则 a * b = b* a = a，且 a* a = a （a  G）。 运算是 G 的代数运算，且满足结合律，运算的单位元为最矮的 学生，因此 G 关于该运算构成含幺半群。 例 5 设 G={1, 2,…, 12}，在 G 上定义时钟加法为 ab =    + − +  + +  12, 13 , 12 a b a b a b a b 则<G; >是交换群（G 关于运算封闭，运算满足结合律和交换律， G 关于的单位元 e =12 , 小于 12 的任何元素 a 的逆元为 12−a , e −1= e）。 例 6 设 R 3是全体空间几何向量组成的集合，则 R 3对于向量 的加法构成一个交换群。其中单位元 e 为零向量，任一向量  的 逆元为 −。 例7 集合 R 3 同上，在其中定义二元运算为： 表示  在上的投影向量。显然 R 3关于该运算封闭，但运算不 满足结合律， (   )  =OQ1   =OP1   (  )=   OQ2 =OP2 一般 OP1  OP2 ，所以 R 3关于这个运算不构成一个半群。 例 8 设 R[X]3 ={a0+a1x+a2x 2  a0,a1,a2R}; R[X]是由所有实系 数多项式组成的集合，则它们关于多项式的加法都构成交换群，单 位元 e 都是零多项式,对于多项式乘法, R[X] 是含幺半群(其单位元 e = 1)；而 R[X]3不是半群，因为它关于乘法不封闭。 例 9 * 设 Zn是 Z 关于模 n 同余关系的商集，即 Zn = Z/R = {0,1,  ,n −1},        P1 P2 Q2 Q1 o

在Z上定义加法⊕为 abb=atb 由于等价类a的代表元不是唯一的,即a=kn+a(k∈2Z),因此首先 要证明a,b不管取怎样的代表元,其运算的结果是唯一的 设a=an,b=b,则a=pn+a,b=qn+b,其中p,q∈Z, 于是 a+b=(p+g)n+(a+b) 因此,(a1+b1)=(a+b)(modn),即(a1+b)R(a+b),从而 a,+6=a+b 这就证明了加法⊕是Z上的二元运算。Zn对加法⊕显然封闭,而且 满足结合律和交换律,Zn关于⊕的单位元e=0,Zn中任一元素a的 逆元为n-a,因为, aen-a=n-aba=a+n-a=n=0=e 所以<Zn:⊕>是个交换群,叫做模n剩余类加群 容易验证:03},0,24关于⊕都构成群,所以它们都是Z的子 群。 例10*从集A到自身的所有映射(变换)A,关于映射的乘法 (合成)运算构成一个含幺半群<A,o>,其单位元为恒等映射。集A 到自身的所有双射(一一变换)E(A关于映射的乘法构成一个 群,<E(A),。称为A的一一变换群。E(A)是A的一个子群,E(A) 的子群称为变换群。例如,E2(I)={f(x)=Xa0<a∈R,x∈I=[0,1] 是区间I上的一个变换群,这个变换群是可交换的,但一般变换群 是不可交换的 例如,集X={1,2,3}到自身的一个是双射(一一变换) I I2 73 1J2J3 即σ(i)=,其中ik,i∈X,(k=1,2,3),且k≠m时,ik≠l J≠Jm 此时也把σ称为X的一个置换,也称三元置换,集X上的三 元置换共有3!个,即 213 312 我们把全体三元置换组成的集合记作S3,容易验证S3关于变换(即 映射)的乘法构成一个群,称为置换群,它的单位元为恒等置换σ1

在 Zn上定义加法为 a  b = a + b 由于等价类 a 的代表元不是唯一的，即 a = kn+ a (kZ)，因此首先 要证明 a , b 不管取怎样的代表元，其运算的结果是唯一的。 设 a = a1 , b = b1 , 则 a1=pn+a, b1=qn+b, 其中 p,qZ, 于是 a1+b1=(p+q)n+(a+b) 因此，(a1+b1)(a+b)(mod n)，即 (a1+b1)R(a+b)，从而 a1 +b1 = a +b 这就证明了加法是 Zn上的二元运算。Zn对加法显然封闭，而且 满足结合律和交换律，Zn关于的单位元 e = 0 ，Zn 中任一元素 a 的 逆元为 n − a，因为， a n − a = n − a a = a + n − a = n = 0 = e 所以<Zn: >是个交换群，叫做模 n 剩余类加群。 容易验证: {0,3},{0,2,4} 关于 都构成群，所以它们都是 Z6的子 群。 例 10* 从集 A 到自身的所有映射(变换)AA，关于映射的乘法 (合成)运算构成一个含幺半群<AA , >,其单位元为恒等映射。集 A 到自身的所有双射(一一变换)E(A)关于映射的乘法构成一个 群,<E(A), >称为 A 的一一变换群。E(A)是 A A的一个子群，E(A) 的子群称为变换群。例如, Ef(I)={f(x)=X0<R, xI=[0,1]} 是区间 I 上的一个变换群, 这个变换群是可交换的，但一般变换群 是不可交换的。 例如，集 X={1,2,3}到自身的一个是双射（一一变换）         = 1 2 3 1 2 3 j j j i i i  即 (ik )=jk ,其中 ik ,jk  X, (k=1,2,3), 且 km 时，ik im， jk jm 。 此时也把  称为 X 的一个置换，也称三元置换，集 X 上的三 元置换共有 3!个，即 , 1 2 3 1 2 3 1          = , 2 1 3 1 2 3 2          = , 3 2 1 1 2 3 3          = , 1 3 2 1 2 3 4          = , 2 3 1 1 2 3 5          = , 3 1 2 1 2 3 6          = 我们把全体三元置换组成的集合记作 S3 ，容易验证 S3关于变换(即 映射)的乘法构成一个群，称为置换群，它的单位元为恒等置换 1;

σ2-=02,σ3=03,σ1l=o4,os=0s,o6-=o5。但这个置换群是不 可交换的,例如, o30 321八(132)(312 因为:σG4(1)=o3(1)=3;;(2)=G3(3)=1;o:σ(3)=03(2)=2 ≠O30 例11·四元素( Klein)克莱因群 设G={e,a.b,c},如果对于运算“。”构成一个群,并假定 是单位元,a,b,c的逆元分别是自身,则必有ab=c,这是因为 ab≠e,否则由aob=e,可推出a=b-=b ab≠a,否则由aob=a,可推出b=e aob≠b,否则由ab=b,可推出a=e 同理必有:ba=c;aoc=coa=b;boc=cob=a(运算“。”满足交换 律)。因此,关于“。”的运算如下表所示: C b a 由运算表可验证运算“。”满足结合律(验证略去),所以,这四个 元素构成一个交换群,称为克莱因群 关于群的定义1.27还需指出以下两点 (1)群的单位元是唯一的,如果e1,e2都是群G的单位元,则 (2)群的每个元的逆元也是唯一的,如果b,c都是a的逆元 则由 ab=ba=e和aoc=coa=e 即得 群的简单性质(群的运算“。”通常叫做乘法,aob简记为ab)

2 −1 =2 , 3 −1 =3 , 4 −1 =4 , 5 −1 =6 , 6 −1 =5 。但这个置换群是不 可交换的，例如， 34=         3 2 1 1 2 3         1 3 2 1 2 3 =         3 1 2 1 2 3 因为: 34(1)=3(1)=3 ; 34(2)=3(3)=1 ; 34(3)=3(2)=2 . 而 43=         =                2 3 1 1 2 3 3 2 1 1 2 3 1 3 2 1 2 3 34 例 11* 四元素（Klein）克莱因群 设 G={e,a.b,c}，如果对于运算“”构成一个群，并假定 e 是单位元，a,b,c 的逆元分别是自身，则必有 ab=c，这是因为： abe，否则由 ab=e, 可推出 a=b−1 =b ; aba，否则由 ab=a, 可推出 b=e ; abb，否则由 ab=b, 可推出 a=e . 同理必有：ba=c ；ac=ca=b ；bc=cb=a (运算“”满足交换 律)。因此，关于“”的运算如下表所示：  e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e 由运算表可验证运算“”满足结合律（验证略去），所以，这四个 元素构成一个交换群, 称为克莱因群 。 关于群的定义 1.27 还需指出以下两点： (1) 群的单位元是唯一的，如果 e1,e2 都是群 G 的单位元，则 e1=e1e2=e2 (2) 群的每个元的逆元也是唯一的，如果 b,c 都是 a 的逆元， 则由 ab=ba=e 和 ac=ca=e 即得 b=be=b(ac)=(ba)c=ec=c 群的简单性质(群的运算“”通常叫做乘法, ab 简记为 ab)

1在群G中消去律成立,即va,b∈G,若ax=ay,则x=y:若 xb=yb,则 证用a-左乘等式ax=ay的两边,得a(ax)=a(ay),于是 (aa)x=(aa)y,即ex=ey,故x=y 同样,在xb=yb两边都右乘b,也可推出x=y 如果有限群G={a,a,…,an},则aa,aa2,…,aan1互不相同, 因为若aa=aa(j≠k)由消去律即得a=a,这与假设矛盾 2对va,b∈G,方程ax=b在群G中有唯一解x=ab;ya=b在 群G中有唯一解和y=ba'。 证将ax-b两边左乘a,即得x=a"b∈G。如果ax=b有两个解 x,,则ax1=ax,由消去律即得x=x,故x=ab是其唯一解。同 理y=ba是方程ya=b的唯一解。 3在群G中,定义元素a的方幂为 (1-21) 则a的方幂满足以下指数律: aa -a 在交换群中,指数律a"b=(ab)"也成立。 我们还可以定义: a=e, a 如此,(1-22),(1-23)式,Vm,n∈Z都成立。 4.逆元的性质: (ab)=b 'a (1-26) 事实上,由aa=a-a=e即得(1-25)式;由 (ab)(ba)=a(bb )a=aa=e (b a)ab=b(a a)b=b"b=e 即得(1-26)式。 1.10.2环与域 环与域都是有两个代数运算“⊕,。”(通常称为“加法,乘法”) 的代数系,a④b和aob简记为a+b和ab。 定义128代数系<R+,。>称为环,如果 (1)<R:+>是交换群(加法群),其单位元记作0 (2)<R:。>是半群; (3)运算“。”对“+满足左、右分配律,即va,b,c∈R, a(b+cAbac (b+c)a=atca 定义中的(3)是重要的,没有它,R只是对“+”和“o”分别构

1 在群 G 中消去律成立，即a,bG, 若 ax=ay, 则 x=y；若 xb=yb，则 x=y。 证 用 a -1 左乘等式 ax=ay 的两边，得 a -1 (ax)=a-1 (ay)，于是 (a-1 a)x=(a-1 a)y，即 ex=ey，故 x=y。 同样，在 xb=yb 两边都右乘 b -1，也可推出 x=y 如果有限群 G={a1,a2,,an }，则 aia1, aia2 ,,aian 互不相同， 因为若 aiaj=aiak(jk)由消去律即得 aj=ak，这与假设矛盾。 2 对a,bG, 方程 ax=b 在群 G 中有唯一解 x=a -1 b;ya=b 在 群 G 中有唯一解和 y=ba-1。 证 将 ax=b 两边左乘 a -1，即得 x=a -1 bG。如果 ax=b 有两个解 x1,x2,，则 ax1=ax2, 由消去律即得 x1=x2, 故 x=a -1 b 是其唯一解。同 理 y=ba-1是方程 ya=b 的唯一解。 3 在群 G 中，定义元素 a 的方幂为 a 1 =a , a n+1 =a n a (1-21) 则 a 的方幂满足以下指数律： a n a m =a n+m (1-22) (an ) m =a mn (1-23) 在交换群中, 指数律 a n b n =(ab)n也成立。 我们还可以定义： a 0 = e; a -n =(a-1 ) n , (n > 0) (1-24) 如此，(1-22),(1-23)式 ,  m,nZ 都成立。 4. 逆元的性质： (a-1 ) -1 =a ; (1-25) (ab)-1 =b-1 a -1 (1-26) 事实上，由 aa -1 =a -1 a=e 即得(1-25)式；由 (ab)( b -1 a -1 )= a(bb-1 )a-1 =aa -1 =e , (b-1 a -1 )ab=b-1 (a-1 a)b=b-1 b=e 即得(1-26)式。 1.10.2 环与域 环与域都是有两个代数运算“, ”(通常称为“加法, 乘法”) 的代数系, a  b 和 a  b 简记为 a+b 和 ab 。 定义 1.28 代数系 < R: +,  > 称为环，如果 (1) < R: + > 是交换群(加法群)，其单位元记作 0； (2) < R:  > 是半群； (3) 运算 “”对“+ ”满足左、右分配律，即a, b, c R， a(b+c)=ab+ac (b+c)a=ba+ca 定义中的(3)是重要的，没有它，R 只是对“+”和“”分别构