2-2线性子空间 例R中过原点的平面x1-3x2+5x3=0上的全体起点在原点向量 W1={(x,x2,x3)|x1-3x2+5x3=0} 不过原点的平面x1-x2+2x3=1上的全体向量 W2={(x,x2,x)|x1-x2+2x3=1} W1关于向量的加法和数乘是封闭的,而W2不封闭。 定义2.3设W是线性空间V(F)的非空子集,如果W对V中的运算也构成 域F上的线性空间,则称W为V的线性子空间(简称子空间)。 定理21线性空间V(F)的非空子集W为V的子空间的充分必要条件是W 对于V(F)的线性运算封闭。 证V(F)中数乘满足的4条性质及加法的交换律与结合律对W都成立 对数乘封闭,所以取λ=0和-1,即得 0a=0∈W,(-1)=-a∈W, 故W是V(F)的线性子空间 例1{0}是V的一个子空间,叫做零子空间;V本身也是V的一个子空间。 它们称为V的平凡子空间,V的其它子空间称为非平凡子空间。 例解空间S是R"的一个子空间。R[x]3是Rx]的一个子空间,R[x {ao+ax|a,a∈R}是Rx]的一个子空间。 例R的下列子集 W1={(x,y,z)|2x=3y=z W2={(x,y,z)|x+y+z= W1是R的一个子空间,而W2不是子空间 定义2.4设S是线性空间V(F)的非空子集,S中所有有限子集在域F上的 切线性组合所组成的V(F)的子集合,称为S的线性扩张,记作L(S),即 L(S)=(λα1+…+λa|λ,…,λ∈F,α,…,a∈S,keN} 定理2.2线性空间V(F)的非空子集S的线性扩张L(S)是V中包含S的最小 子空间 证L(S)显然包含S。先证L(S)是V的一个子空间 设α,β∈S,则存在αn…,a;β1,,Bn∈S,使得 0=入1+22+…+aCn,β=uβ1+…+μa阝n 其中λ,λ2…,λ-;μ,…,μ∈F,于是 α+=(a1+a2+…+An+μuB1+…+μB1∈L(S) yλ∈F,也有 入a=λa1+λ入a2+…+入aa∈L(S) L(S)对加法和数乘封闭,是V的一个子空间。 设W是V中包含S的任一子空间,则对任意的
2-2 线性子空间 例 R 3中过原点的平面 x1 −3 x2 + 5x3 = 0 上的全体起点在原点向量 W1 = {(x1, x2, x3) x1 −3 x2 + 5x3 = 0} 不过原点的平面 x1 − x2 + 2x3 = 1 上的全体向量 W2 = {(x1, x2, x3) x1 − x2 + 2x3 = 1} W1关于向量的加法和数乘是封闭的，而 W2不封闭。 定义 2.3 设 W 是线性空间 V(F)的非空子集，如果 W 对 V 中的运算也构成 域 F 上的线性空间，则称 W 为 V 的线性子空间(简称子空间)。 定理 2.1 线性空间 V(F)的非空子集 W 为 V 的子空间的充分必要条件是 W 对于 V(F)的线性运算封闭。 证 V(F)中数乘满足的 4 条性质及加法的交换律与结合律对 W 都成立。W 对数乘封闭，所以取 = 0 和 −1，即得 0 = 0 W , (−1) = − W , 故 W 是 V(F)的线性子空间。 例 1 {0}是 V 的一个子空间，叫做零子空间；V 本身也是 V 的一个子空间。 它们称为 V 的平凡子空间，V 的其它子空间称为非平凡子空间。 例 解空间 S 是 R n的一个子空间。 R[x]3是 R[x] 的一个子空间， R[x]2 ={a0 +a1xa0,a1R}是 R[x]3的一个子空间。 例 R 3的下列子集 W1 ={(x,y,z)2x=3y=z}, W2 ={(x,y,z)x+y+z=1 } W1是 R 3的一个子空间，而 W2不是子空间。 定义 2.4 设 S 是线性空间 V(F)的非空子集，S 中所有有限子集在域 F 上的 一切线性组合所组成的 V(F)的子集合，称为 S 的线性扩张，记作 L(S)，即 L(S)={11++kk1,,kF, 1,,kS, kN } 定理 2.2 线性空间 V(F)的非空子集 S 的线性扩张 L(S)是 V 中包含 S 的最小 子空间。 证 L(S)显然包含 S。先证 L(S)是 V 的一个子空间。 设 ,S，则存在 1,, m,；1,, n S，使得 =11+22 ++ mm ， =11 + + nn 其中1, 2,,r ; 1,, n F，于是 +=11+22 ++ mm+11 + + nn L(S) F, 也有 = 11+22 ++ mm L(S) L(S)对加法和数乘封闭，是 V 的一个子空间。 设 W 是 V 中包含 S 的任一子空间，则对任意的
=入1a1+入2a2+…+λaa∈L(S) 由于α,a2,…,an∈ScW,所以a∈W,从而LS)cW。因此L(S)是V中包含S的最 小子空间 称L(S)是由S“张成”的子空间(或生成的子空间)。如果S是有限子集{(,a,…, an},就称L(a,2:…,a)是由向量组{a,a2,…,aa}“张成”的子空间。 相反的问题:对一个代数结构(线性空间)是否能找到在所给运算下“扩张” 成这个结构的一组元素,当然这种元素越少越好。如用红、黄、蓝三种颜料按 定比例混合可以配成各种颜色的颜料,所以红、黄、蓝三种颜料可以“张成”各 种颜料为元素组成的集合A 定义25V(F)称为有限维线性空间,如果V中存在一个有限子集S,使得 L(S)=V:否则,称为无穷维线性空间 例5R是一个实数域上的有限维线性空间,因为R中存在有限子集S={ ,es},其中e={1,0,0},e2={0,1,0},e3={0,0,1}.使得L(S)=R。事实上,显 然有L(S)cR:又R中任一向量 α=(a,a,a)=aen+ae2+aea∈L(S) 所以RcL(S),因此L(S)=R。 例6R[xJ也是一个实数域上的有限维线性空间。有限子集S={1,x,x}, 使得L(S)=R[x] 同理,R[x]也是实数域上的一个有限维线性空间。而全体实系数多项色构成 的线性空间R区x则是实数域上的一个无穷维线性空间,因为它不存在一个有限子 集S,使得L(S)=R|x]。 有限维的线性空间是指存在有限个元素能张成这个空间,但有限个元集“至 少”要多少个?如R是3个;R"是n个。 如果B={α.a2…,an}使得L(B)=W,可否去掉B中一部份元素,使余下 的元素仍可张成W呢? 2-3线性相关性 R中的几何背景 若三个非零向量α,α2∝3共面(起点皆 在原点,则至少有一个向量可由另两个 向量线性表示(例如a3可由a2a2线性表 示),这等价于:存在不全为零的数入,A2λ3使入a1+02+03=0成立。这时如 果W=L(α,a,a),则W中任一向量也可由a,a2线性表示,从而a,2也可张成 W,即W=L(αx,a2)。若∝,a2,a3不共面(如R中基本向量e,e,e),则任一个向 量都不能由另两个向量线性表示,即只有入1=入2=3=0,才使λ1a1+λ202+303= 0。这表明a,2,a3中缺少任一个都不能张成W=L(x,a2,a3)
=11 + 22 ++ mm L(S) 由于1, 2, …, m SW，所以W，从而 L(S)W。因此 L(S)是 V 中包含 S 的最 小子空间。 称 L(S)是由 S“张成”的子空间(或生成的子空间)。如果 S 是有限子集{1, 2, …, m }, 就称 L(1, 2,…, m)是由向量组{1, 2, …, m }“张成”的子空间。 相反的问题：对一个代数结构（线性空间）是否能找到在所给运算下“扩张” 成这个结构的一组元素，当然这种元素越少越好。如用红、黄、蓝三种颜料按一 定比例混合可以配成各种颜色的颜料，所以红、黄、蓝三种颜料可以“张成”各 种颜料为元素组成的集合 A。 定义 2.5 V(F)称为有限维线性空间，如果 V 中存在一个有限子集 S，使得 L(S) = V；否则, 称为无穷维线性空间。 例 5 R 3是一个实数域上的有限维线性空间，因为 R 3中存在有限子集 S = {e1, e2, e3}，其中 e1={1,0,0}, e2 = {0, 1, 0}, e3 ={0, 0, 1}, 使得 L(S) = R3。事实上，显 然有 L(S) R 3；又 R 3中任一向量 = (a1, a2, a3) = a1e1+ a2e2 + a3e3L(S). 所以 R 3 L(S)，因此 L(S) = R 3。 例 6 R[x]3也是一个实数域上的有限维线性空间。有限子集 S = {1, x, x2 }， 使得 L(S) = R[x]3。 同理, R[x]n也是实数域上的一个有限维线性空间。而全体实系数多项色构成 的线性空间 R[x]则是实数域上的一个无穷维线性空间，因为它不存在一个有限子 集 S, 使得 L(S) = R[x]。 有限维的线性空间是指存在有限个元素能张成这个空间，但有限个元集“至 少”要多少个？如 R 3是 3 个；R n是 n 个。 如果 B = {1, 2,…,n}使得 L(B) = W，可否去掉 B 中一部份元素，使余下 的元素仍可张成 W 呢？ 2-3 线性相关性 R 3中的几何背景： 若三个非零向量1, 2, 3 共面 (起点皆 在原点，则至少有一个向量可由另两个 向量线性表示(例如3 可由1, 2 线性表 示)，这等价于：存在不全为零的数1, 2, 3使11 +22 + 33 = 0 成立。这时如 果 W=L(1, 2, 3)，则 W 中任一向量也可由1, 2线性表示，从而1, 2也可张成 W, 即 W = L(1, 2)。若1, 2, 3不共面(如 R 3中基本向量 e1, e2, e3)，则任一个向 量都不能由另两个向量线性表示，即只有1 = 2 = 3 = 0，才使11 +22 + 33 = 0。这表明1, 2, 3中缺少任一个都不能张成 W = L(1, 2, 3)。 3 2 2 3 3 2 1
图2-1 图2-2 定义2.6设V(F)是一个线性空间,a,α2…,aa∈V,如果存在不全为零的7 ∈F,使 入1a1+入22+…+λa=0 成立,则称∝,2,…,a线性相关,否则线性无关。 线性无关,即“没有不全为零的λ,λ2…,∈F,使得(2-5)式成立”,也就是 “对任何不全为零的λ,λ2…,∈F,(2-5)式都不成立”,这等价于“如果(2-5) 式成立,则λ,2…,必须全为零”,即“仅当λ,2…^全为零时,才使(2-5) 式成立”。 线性相关性:向量组线性相关还是线性无关的性质。 向量a,a2…,an(m≥2)线性相关的等价定义是:若α,a2…,aa中有一个向 量可由其余向量在域F上线性表示,则称α,a2…,a线性相关。 定理2.3V(F)中的向量组a22…n(m22)线性相关的充分必要条件是 α,2…n中有一个向量可由其余向量在域F上线性表示。 证必要性:设α,ax2…,Ox线性相关,则存在不全为零的λ,^2…,λ∈F,使 得 入1a1+入2C aL.=0 为表述简便,不妨设λ1≠0,于是 a1=-入22-…-1-入an 充分性:若α,Q2…,an中的一个向量 μ-1C-1 则 uax+…+H-10-1-a+pax1+…+Haa=0 其中μ,…,μ,-1,μ#,…,μ不全为零,得证
图 2-1 图 2-2 定义 2.6 设 V(F)是一个线性空间，1, 2,, mV, 如果存在不全为零的1, 2,…, mF,使 11 + 22 ++ mm = 0 (2-5) 成立，则称1, 2,, m线性相关，否则线性无关。 线性无关，即“没有不全为零的1, 2,,mF, 使得(2-5)式成立”，也就是 “对任何不全为零的1, 2,,mF, (2-5)式都不成立”，这等价于“如果(2-5) 式成立，则1, 2,,m 必须全为零”，即“仅当1, 2,,m 全为零时，才使(2-5) 式成立”。 线性相关性：向量组线性相关还是线性无关的性质。 向量1, 2,, m(m 2)线性相关的等价定义是：若1, 2,, m中有一个向 量可由其余向量在域 F 上线性表示，则称1, 2,, m线性相关。 定理 2.3 V(F)中的向量组1,2,,m(m2)线性相关的充分必要条件是 1,2,,m中有一个向量可由其余向量在域 F 上线性表示。 证 必要性：设1, 2,, m线性相关，则存在不全为零的1, 2,,mF, 使 得 11 + 22 + + mm = 0 为表述简便，不妨设 1 0 , 于是 1= −1 −1 22 − − 1 −1 mm 充分性：若1, 2,, m中的一个向量 j = 11 ++ j−1j−1 + j+1j+1 ++ mm 则 11 ++ j−1j−1 − j + j+1j+1 ++ mm = 0 其中1,, j−1, −1, j+1,, m不全为零，得证。 1 1 O O
定理2.3的等价命题α1,ax2…,a(m≥2)线性无关的充分必要条件是其中 任一个向量都不能由其余向量线性表示 例1R中的e,ea,…,en是线性无关的,其中e=(0,…,0,1,0,…0)是第i个 分量为1,其余分量全为零的向量。因为,由 λe1+λ2e2+…+λea=0 必有λ1=入2 例2线性空间中向量a线性相关的充分必要条件是a为零向量。 例3含零向量的任何向量组{0,a,,…,a-}都线性相关。因为彐λ≠0使 入0+0 0an=0 例4判别R中向量组{a1,a2,ax3和{B,B2B3}的线性相关性,其中 (1,0,-1); 阝1=(1,-3,1) 阝2=( β3=(1,1,3 解a=01-02,∝1,a2,a3线性相关。 对β,β2β3,按定义判别。设 β1+x2B2+x3B3= 3,1)+x2(-1,2,-2)+x3(1,1,3)=(0,0,0) 这个向量方程等价于下面的三元线性齐次方程组 万一+与=0 -2+3 这个方程组只有零解x1=x2=x3=0。即只有全为零的x,x2,X3才使成立,故 β,βB2,B3线性无关。 般若β=(a1,b,c1),β2=(a2,b,c2),B3=(a,b3,c3),则β,B2B3线性相 关(线性无关)的充要条件是三元线性齐次方程组 a1+a2与+a31=0 +b2巧+b3百 +c+ 有非零解(只有零解)。由此得R中任何4个向量,R"中任何n+1个向量都线 性相关。 例5p(x)=1+x,p(x)=1-x,p(x)=x+x2是线性无关的。因为设
定理 2.3 的等价命题 1, 2,, m(m 2)线性无关的充分必要条件是其中 任一个向量都不能由其余向量线性表示。 例 1 R n中的 e1, e2,, en 是线性无关的, 其中 ei =(0,, 0, 1, 0,,0)是第 i 个 分量为 1，其余分量全为零的向量。因为，由 1e1 + 2e2 ++ mem = 0 即 (1, 2,, n) =(0,0,,0) 必有 1 = 2 == n = 0. 例2 线性空间中向量 线性相关的充分必要条件是 为零向量。 例 3 含零向量的任何向量组{0, 1, 2,, m}都线性相关。因为 使 0 + 0 1 + 02 ++ 0 n = 0. 例 4 判别 R 3中向量组{1, 2, 3}和{1, 2,3}的线性相关性, 其中 1 = (1, 1, 0) , 2 = (0, 1, 1) , 3= (1, 0, −1) ; 1 = (1, −3, 1) , 2 =(−1, 2, −2) , 3 =(1, 1, 3). 解 3=1−2, 1, 2, 3线性相关。 对 1, 2, 3，按定义判别。 设 x1 1 + x2 2 + x3 3 = 0 即 x1(1, −3, 1) + x2 (−1, 2, −2) + x3 (1, 1, 3) = (0, 0, 0) 这个向量方程等价于下面的三元线性齐次方程组: x x x x x x x x x 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0 3 2 0 2 3 0 − + = − + + = − + = 这个方程组只有零解 x1 = x2 = x3 = 0。 即只有全为零的 x1 , x2 , x3才使 成立，故 1, 2, 3线性无关。 一般若 1 = (a1 , b1 , c1 ) , 2 = (a2 , b2 , c2 ), 3 = (a3 , b3 , c3 ), 则1, 2, 3线性相 关(线性无关)的充要条件是三元线性齐次方程组 a x a x a x b x b x b x c x c x c x 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 0 0 0 + + = + + = + + = 有非零解（只有零解)。由此得 R 3中任何 4 个向量 , Rn中任何 n + 1 个向量都线 性相关。 例 5 p1(x) = 1+x, p2(x) = 1− x, p3(x) = x + x2 是线性无关的。因为设
+3(x+x2)=0(零多项式) 即 (1+2)+(1-+3)x+3x2=0 于是 (1+12)=0; 从而得1=λ2=A3=0。故p(x),p(x),p(x)线性无关 例6如果向量组{α,α2…,aa}线性无关,则其任一子集也线性无关:如果 向量组{a,a2,…,ah}线性相关,则任何包含它的向量组也线性相关 设{α,αx…α}线性无关,子集为{α,αx,…,ax},如果 入1a1+202+…+λk=0 则必有入1=2=…=k=0(否则有不全为零的λ1,λ2…λ,使 入a1+202+…+λk+00gx1+00k2+…+00n=0 成立,这与假设矛盾),所以{α1,a2…,4线性无关。 定理2.4若向量组{α,αx2…,a}线性无关,而向量组{β,a1a2…,a}线 性相关,则β可由α,α2,…,ax线性表示,且表示法唯 证{β,∝,2,…,a线性相关,存在不全为零的数量λ,λ,λ,…,λ使得 入阝+2x1+x2+…+2axn=0 其中λ必不等于零(如果λ=0,则由{α1,αx2…,a-}线性无关又得λ1,λ2…,λn 必全为零,与题设矛盾),于是 B=--a1-2x2-…-x 再证表示法唯一,设有两种表示法: 阝=ba+ba2+…+b β=c1tc22+…+caOn 于是 (b-c1)a+(b2-c2)x2+…+(bn-c)=0 而{αx,αx2…,∝h}线性无关,所以b-c=0.,即b=c(i=1,2,…,n),故β由a 2…,an的表示法唯
1 (1+x)+ 2 (1− x) + 3 ( x + x2 ) = 0 (零多项式) 即 (1 + 2 ) + (1 −2+3 ) x + 3 x 2 = 0 于是 (1 + 2 ) = 0; 1 −2+3 = 0; 3 = 0 从而得 1 = 2 = 3 = 0 。 故 p1(x) , p2(x), p3(x)线性无关 例 6 如果向量组{ 1, 2,, n}线性无关，则其任一子集也线性无关；如果 向量组{ 1, 2, … , n}线性相关，则任何包含它的向量组也线性相关。 设{ 1, 2,, n}线性无关，子集为{ 1, 2,, k},如果 11 + 22 ++ kk = 0 则必有1 = 2 ==k = 0 （否则有不全为零的 1 , 2 ,,k ,使 11 + 22 ++ kk + 0k+1 + 0k+2 ++ 0n = 0 成立，这与假设矛盾），所以{ 1, 2,, k}线性无关。 定理 2.4 若向量组{ 1, 2,, n}线性无关 , 而向量组{, 1, 2,, n}线 性相关 , 则 可由1, 2,, n线性表示，且表示法唯一。. 证 {, 1, 2,,n}线性相关，存在不全为零的数量 ,1, 2,,n使得 +11 + 22 ++ nn = 0 其中 必不等于零(如果 = 0,则由{ 1, 2,, n}线性无关又得 1 , 2 ,, n 必全为零，与题设矛盾), 于是 = − -1 11 − -1 22 −− -1 nn 再证表示法唯一，设有两种表示法： = b11+b22 ++bnn = c11+c22 ++cnn 于是 ( b1 − c1)1+(b2 − c2)2++(bn − cn)n=0 而{ 1, 2,, n}线性无关，所以 bi − ci = 0, 即 bi = ci ( i = 1, 2,, n ), 故由1, 2,, n的表示法唯一