集中在有限个零体积的曲面（可类似于零面积那样定义)上,则f(x,,z)在V上必三重可积后页返回前页
前页 后页 返回 集中在有限个零体积的曲面 (可类似于零面积那样 定义) 上, 则 f x y z ( , , ) 在V 上必三重可积
二、化三重积分为累次积分1.积分区域为长方体若函数f(x,y,z)在长方体定理21.15V =[a, b]x[c, d]x[e, f]上的三重积分存在,且对任何x E[a,b],二重积分I(x) = [I f(x, y,z) dy dzD存在,其中 D=[c,d]×[e,f],则积分后页返回前页
前页 后页 返回 二、化三重积分为累次积分 1. 积分区域为长方体 定理21.15 若函数 f x y z ( , , ) 在长方体 V a b c d e f = [ , ] [ , ] [ , ] 上的三重积分存在, 且对任何 x a b [ , ], 二重积分 ( ) ( , , ) d d D I x f x y z y z = 存在, 其中 D c d e f = [ , ] [ , ], 则积分
'dx[f f(x,y,z) dy dzD也存在,且JJ f(x,y,z) dy dz =' dx JJ f(x,y,z) dy dz. (1)D证用平行于坐标面的平面网T作分割，它把V分成有限个小长方体Vijk =[xi-1 , x,]x[yj-1,y,Ix[zk-1, zr].设 Mjk,mijik分别为f(x,y,z)在vijk上的上、下确界.前页后页返回
前页 后页 返回 d ( , , ) d d b a D x f x y z y z 也存在, 且 ( , , ) d d d ( , , ) d d . (1) b a V D f x y z y z x f x y z y z = 证 用平行于坐标面的平面网T 作分割, 它把 V 分成 有限个小长方体 1 1 1 [ , ] [ , ] [ , ]. i j k i i j j k k v x x y y z z = − − − , ( , , ) 设 分别为 M m f x y z i jk i jk 在 上的上、下确界. i jk v
V5; e[x;-1,x;1,在 D;k =[yj-1,y,]x[3k-,z] 上有mijxAy,Az, ≤ J f(5,y,z)dydz≤ MijxAy,Azr.Djk现按下标i,k相加，则有Z JJ f(5,y,z)dydz =J[ f(5,y,z)dydz =I(5)j,k DjkD及Emjnax;Ay ,Az, ≤EI(5,)Ax, ≤E M jAx,Ay Azr.i,j,ki,j,k(2)后页返回前页
前页 后页 返回 1 [ , ] i i i x x − 1 1 [ , ] [ , ] ， 在 上有 D y y z z jk j j k k = − − ( , , )d d . j k i jk j k i i jk j k D m y z f y z y z M y z 现按下标 j k, 相加, 则有 , ( , , )d d ( , , )d d ( ) j k i i i j k D D f y z y z f y z y z I = = 及 , , , , ( ) . i jk i j k i i i jk i j k i j k i i j k m x y z I x M x y z (2)
上述不等式两边是分割T的上和与下和,由于f在V上可积,当 T→0 时,下和与上和具有相同的极限,所以由(2)式得I(x)在[a,b]上可积,且 I(x)dx = [] f(x, y,z)dxdydz.CV有时为了计算上的方便，也可采用其他计算顺序2.积分区域为xy型区域xy型区域V是指可以用以下方式表示的区域：后页返回前页
前页 后页 返回 上述不等式两边是分割 T 的上和与下和, 由于 f 在 V 上可积, 当 T → 0 时, 下和与上和具有相同的极 限, 所以由(2)式得 I x( ) 在 [ , ] a b 上可积, 且 ( )d ( , , )d d d . b a V I x x f x y z x y z = 有时为了计算上的方便, 也可采用其他计算顺序. 2. 积分区域为 xy 型区域 xy 型区域 V 是指可以用以下方式表示的区域: