线性规划问题的数学模型 Page 11 (2)如何化标准形式 ●目标函数的转换 如果是求极小值即miz=∑c,x,则可将目标函数乘以(-1)， 可化为求极大值问题。 即maxz=-z=-∑c,x 也就是：令z'=-z,可得到上式。 ●变量的变换 若存在取值无约束的变量x,可令x,=)-x 其中：x),x≥0
线性规划问题的数学模型 Page 11 （2）如何化标准形式 目标函数的转换 如果是求极小值即 ，则可将目标函数乘以(-1)， 可化为求极大值问题。 = j xj minz c 也就是：令 z = −z ，可得到上式。 = − = − j xj 即 maxz z c 若存在取值无约束的变量 ，可令 其中： x j j j j x = x − x x j , x j 0 变量的变换
线性规划问题的数学模型 Page 12 ●约束方程的转换：由不等式转换为等式。 ∑4，x,≤b→∑ax,+x=b x4,≥0 称为松弛变量 ∑0，≥b→∑4，x,-x=b xH,≥0 称为剩余变量 ●变量x,≤0的变换 可令x,=-x,显然x≥0
线性规划问题的数学模型 Page 12 约束方程的转换：由不等式转换为等式。 ij j i a x b 0 + = + + n i ij j n i i x a x x b 称为松弛变量 ij j i a x b 0 − = + + n i ij j n i i x a x x b 称为剩余变量 变量 的变换 可令 ，显然 x j 0 j j x = −x 0 j x
线性规划问题的数学模型 Page 13 例13将下列线性规划问题化为标准形式 min Z=-2x+x,+3.x3 5x1+x2+x3≤7 x1-x2-4x3≥2 -3x1+x2+2x3=-5 x1,x2≥0，x3无约束 解：(1)因为x3无符号要求，即x取正值也可取负值，标准 型中要求变量非负，所以 用x?-x替换x3,且X,x≥0
线性规划问题的数学模型 Page 13 例1.3 将下列线性规划问题化为标准形式 − + + = − − − + + = − + + , 0, 3 2 5 4 2 5 7 min 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x 无约束 x x x x x x x x x Z x x x 用 替换 ，且 解:（１）因为x3无符号要求，即x3取正值也可取负值，标准 型中要求变量非负，所以 3 3 x − x x3 , 0 x 3 x 3
线性规划问题的数学模型 Page 14 (2)第一个约束条件是“≤”号，在“≤”左端加入松驰变量x4, x≥0，化为等式； (3)第二个约束条件是“≥”号，在“≥”左端减去剩余变量x, x≥0； (4)第3个约束方程右端常数项为-5，方程两边同乘以(1)，将右 端常数项化为正数； (⑤)目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z=-z,得到max z'=-Z,即当z达到最小值时z'达到最大值，反之亦然；
线性规划问题的数学模型 Page 14 (2) 第一个约束条件是“≤”号，在“≤”左端加入松驰变量x4， x4 ≥0,化为等式； (3) 第二个约束条件是“≥”号，在“≥”左端减去剩余变量x5， x5 ≥0； (4) 第3个约束方程右端常数项为-5，方程两边同乘以(-1),将右 端常数项化为正数； (5) 目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z′=-z,得到max z′=-z，即当z达到最小值时z′达到最大值，反之亦然;
线性规划问题的数学模型 Page 15 标准形式如下： maxZ=2x1-x2-3(x;-x)+0x4+0x 5x,+x2+(x-x)+x4=7 x-x2-(x3-x3) 一x5=2 5x,-x2-2(xg-x) =5 x1,x2,x3,x,x4,x5≥0
线性规划问题的数学模型 Page 15 − − − = − − − − = + + − + = = − − − + + , , , , , 0 5 2( ) 5 ( ) 2 5 ( ) 7 max 2 3( ) 0 0 1 2 3 3 4 5 1 2 3 3 1 2 3 3 5 1 2 3 3 4 1 2 3 3 4 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Z x x x x x x 标准形式如下：