华中师范大学：《数学分析》课程PPT教学课件（讲稿）第四章（4.2）换元积分法

§4.2换元积分法 、第一类换元法 二、第二类换元法 自

§4. 2 换元积分法 一、第一类换元法 二、第二类换元法 首页 上页 返回 下页 结束 铃

一、第一类换元法 ◆定理1(换元积分公式) 设()具有原函数,且l=ax)可导,则有换元公式 fl(x)lo()dx=[ f(udu]=p(x) 证设f()的原函数为F(n),则 f(udu= F(u)+C 又因为dF(x)}=F[ox)](x)lbx=o(x)](x)dx, 所以「10x)(x) dx= dFlp()=F(对+C [F(u)+C] = 积分表 首页上页返回 页结束铃

积分表 首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、第一类换元法 下页 ❖定理1(换元积分公式) 设f(u)具有原函数, 且u=j(x)可导, 则有换元公式 ( ) [ ( )] ( ) [ ( ) ] u du u x  f j x j x dx =  f =j   设f(u)的原函数为F(u), 则 f u du = F u +C  ( ) ( )  又因为 f x  x dx= dF x =F x +C   [j( )]j ( ) [j( )] [j( )] 证 所以 dF[j(x)]=F [j(x)]j(x)dx=f[j(x)]j(x)dx, f x  x dx= dF x =F x +C   f[j(x)]j(x)dx= dF[j(x)]=F[j(x)]+C   [j( )]j ( ) [j( )] [j( )] ( ) ( ) [ ( ) ] [ ( ) ] u x u du u x F u C f = + =j =  =j  ( ) ( ) [ ( ) ] [ ( ) ] u x u du u x F u C f = + =j =  =j 

一、第一类换元法 ◆定理1(换元积分公式) 设()具有原函数,且l=ax)可导,则有换元公式 ∫/o(oy(x)k=1/)hdn= ☆换元积分过程 设(4)具有原函数f(un),则 ∫/(x(x女=10x)0()=n [F()+C]a=0(x)=F[0(x)]+C 积分表 首页上页返回 页结束铃

积分表 首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、第一类换元法 ❖定理1(换元积分公式) 设f(u)具有原函数, 且u=j(x)可导, 则有换元公式 ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) [ ( ) ] u du u x  f j x j x dx =  f j x dj x =  f =j  =[F(u)+C] u=j(x) = F[j(x)]+C  设f(u)具有原函数F(u),则 ❖换元积分过程 ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) [ ( ) ] u du u x  f j x j x dx =  f j x dj x =  f =j  ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) [ ( ) ] u du u x  f j x j x dx =  f j x dj x =  f =j  =[F(u)+C] u=j(x) = F[j(x)]+C  ( ) [ ( )] ( ) [ ( ) ] u du u x  f j x j x dx =  f =j  

∫八o(x)(xk=」mx)1(x)=J()m=F()+C=F(x)+C 例1∫2cos2x=eo2x(2x)=Jcos2xd(2x) cosudu=sinu+c=sin 2x+c 例2 3+2x (3+2x)dx=2!3+2 d(3+2x) 3+2x x In Ju+C=nIn 3+2x +C 例3∫2x2k=Je(x2)ak=Jed(x2)=Jeht el +c=er+c 积分表 首页上页返回 页结束铃

积分表 首页 上页 返回 下页 结束 铃    f[j(x) ]j(x)dx= f[j(x) ]dj(x)= f (u)du=F(u)+C=F[j(x) ]+C 例 1    例1 2cos2xdx= cos2x(2x)dx= cos2xd(2x) =  cosudu =sinu+C =sin 2x+C  例 2    + + +  = + = + (3 2 ) 3 2 1 2 1 (3 2 ) 3 2 1 2 1 3 2 1 d x x x dx x dx x 例2 dx u C u = = +  ln | | 2 1 1 2 1 = ln |3+2x|+C 2 1  例 3     xe dx = e x dx = e d x = e du x x x u 2 ( ) ( ) 2 2 例 2 2 2 3 e C e C u x = + = + 2  例 1    例 1 2cos2xdx= cos2x(2x)dx= cos2xd(2x)    2cos2xdx= cos2x(2x)dx= cos2xd(2x) =  cosudu = sinu + C =sin 2x+C   cos sin =sin 2x+C  例 2    + + +  = + = + (3 2 ) 3 2 1 2 1 (3 2 ) 3 2 1 2 1 3 2 1 d x x x dx x dx x 例 2    + + +  = + = + (3 2 ) 3 2 1 2 1 (3 2 ) 3 2 1 2 1 3 2 1 d x x x dx x dx x dx u C u = = +  ln | | 2 1 1 2 1 = ln |3+2x|+C 2 1 dx u C  u = = +  ln | | 2 1 1 2 1 = ln |3+2x|+C 2 1  例 3     xe dx = e x dx = e d x = e du x x x u 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 例 3     xe dx = e x dx = e d x = e du x x x u 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 例 3     xe dx = e x dx = e d x = e du x x x u 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 e C e C u x = + = + 2  下页

∫八o(x)(xk=」mx)1(x)=J()m=F()+C=F(x)+C 例4=xa=小=x(1-x)=-x(-x2 1 l2+C=-(1-x2)2+C 例5「 tanxdx= osdx d cosx COSX ∫Mm=-+C=hos+Cc 积分公式: jtanxdx=-Inlcosxl+,jcotxdx=In(sinxl+C 积分表 首页上页返回 页结束铃

积分表 首页 上页 返回 下页 结束 铃 例 4. 1 (1 ) 2 1 1 (1 ) 2 1 1 2 2 2 2 2 x −x dx=− −x −x dx=− −x d −x    例 5.    = =− d x x dx x x xdx cos cos 1 cos sin tan 例4 du u C u =− =− +  ln | | 1 =−ln|cos x|+C  例5 =−  u du=− u +C=− −x 2 +C 3 2 2 3 2 1 (1 ) 3 1 3 1 2 1   tan xdx=−ln|cosx|+C ,  cotxdx =ln |sin x|+C  积分公式： 例 4. 1 (1 ) 2 1 1 (1 ) 2 1 1 2 2 2 2 2 x −x dx=− −x −x dx=− −x d −x    例 4. 1 (1 ) 2 1 1 (1 ) 2 1 1 2 2 2 2 2 x −x dx=− −x −x dx=− −x d −x    =−  u du=− u +C=− −x 2 +C 3 2 2 3 2 1 (1 ) 3 1 3 1 2 1 =− u du=− u +C=− −x +C   2 3 2 2 3 2 1 (1 ) 3 1 3 1 2 1  例 5.    = =− d x x dx x x xdx cos cos 1 cos sin 例 5. tan    = =− d x x dx x x xdx cos cos 1 cos sin tan du u C u =− =− +  ln | | 1 du u C =−ln|cos x|+C  u =− =− +  ln | | 1 =−ln|cos x|+C     f[j(x) ]j(x)dx= f[j(x) ]dj(x)= f (u)du=F(u)+C=F[j(x) ]+C 下页