§3.3泰勒公式 一、泰勒公式 二、麦克劳林公式 自
二、麦克劳林公式 一、泰勒公式 §3.3 泰勒公式 首页 上页 返回 下页 结束 铃
一、泰勒公式 c问题的提出 根据函数的微分,有 f(x)=(x)+f(x(x-x)+0(x-x0￥x-x很小时) 略掉o(x-x),得到求(x)的近似公式 f(x)≈(x)+f'(x0)(x-x0当x-x很小时), 其误差为 R(=f(x)(xo-f(o(x-xo 近似公式的不足:精确度不高,误差难于估计 为了达到一定的精确度要求,可考虑用n次多项式 Px)来近似表达x) 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、泰勒公式 •问题的提出 根据函数的微分, 有 f(x)=f(x0 )+f (x0 )(x-x0 )+o(x-x0 )(当|x-x0 |很小时), 略掉o(x-x0 ), 得到求f(x)的近似公式 f(x)f(x0 )+f (x0 )(x-x0 )(当|x-x0 |很小时), 其误差为 R(x)=f(x)-f(x0 )-f (x0 )(x-x0 ). 近似公式的不足: 精确度不高, 误差难于估计. 为了达到一定的精确度要求, 可考虑用n次多项式 Pn (x)来近似表达f(x). 下页
多项式Pn(x)的确定 设函数(x)在含x0的开区间内具有直到(n+1)阶导数, 我们希望找出一个关于(x-x0)的n次多项式 P(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+ …+an(xx0 来近似表达x.我们自然希望Pn(x)与x)在x的各阶导数 (直到(n+1)阶导数)相等: fxo=P(o) f(o=Pn(ro) f( xo=Pn(xo), f(o=Pn(o) 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 设函数f(x)在含x0的开区间内具有直到(n+1)阶导数, 我们希望找出一个关于(x-x0 )的n次多项式 Pn (x)=a0+a1 (x-x0 )+a2 (x-x0 ) 2+ +an (x-x0 ) n 来近似表达f(x). 我们自然希望Pn (x)与f(x)在x0的各阶导数 (直到(n+1)阶导数)相等: f(x0 )=Pn (x0 ), f (x0 )=Pn (x0 ), f (x0 )=Pn (x0 ), f (x0 )=Pn (x0 ), , f (n) (x0 )=Pn (n) (x0 ). •多项式Pn (x)的确定 下页
多项式系数的确定 f(ro=Pn(o)=ao f f(x0)=Pn(x)=a1, a=f(ro f"(o=P(xo)=2! a2, a2=f"(x), f(xo=Pm( X0=3ld fn(xo=P n(o)=nla x=nla 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 Pn (x)=a0+a1 (x-x0 )+ a2 (x-x0 ) 2+ + an (x-x0 ) n P , n (x)= a1+2a2 (x-x0 ) + +nan (x-x0 ) n-1 P , n (x)=2a2 +32a3 (x-x0 ) + +n(n-1)an (x-x0 ) n-2 P , n (x)=3!a3+432a4 (x-x0 ) + + n(n-1)(n-2)an (x-x0 ) n-3 P , n (n) (x)=n!an . •多项式系数的确定 =a0 , a0 = f(x0 ), =a1 , a1 = f (x0 ), =2!a2 , =3!a3 , , f(x0 )=Pn (x0 ) f (x0 )=Pn (x0 ) f (x0 )=Pn (x0 ) f (x0 )=Pn (x0 ) f (n) (x0 )=Pn (n) (x0 ) = n!an . , ( ) 2! 1 2 0 a = f x , ( ) 3! 1 3 0 a = f x , ( ) ! 1 0 ( ) f x n a n n = . 下页
多项式系数的确定 ak=6(C)(k=0,1., 于是所求多项式为 Pn(x)=ao+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+……+an(x-x0)y f(x0)+f(x0)(x0)+f(x0xx0) +fon(o(r 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 Pn (x)=a0+a1 (x-x0 )+a2 (x-x0 ) 2+ +an (x-x0 ) n 于是所求多项式为 ( ) ! 1 0 ( ) f x k a k k = (k=0,1,2, ,n). = f(x0 )+ f (x0 )(x-x0 ) (x-x0 ) 2 ( ) 2! 1 0 + f x ( ) ! 1 0 ( ) f x n + + n (x-x0 ) n . 下页 •多项式系数的确定