§3.5函数的极值与最大值最小值 、函数的极值及其求法 最大值最小值问题 自
§3.5 函数的极值与最大值最小值 首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、函数的极值及其求法 二、最大值最小值问题
、函数的极值及其求法 今函数的极值 设函数x)在点x0的某邻域U(xo)内有定义,如果对于任意 x∈U(x0)有 f(x)<f(x0)(或八x)>(x0) 则称f(x0是函数f(x)的一个极大值(或板小值) 函数的极大值与极小值统称为函数的极值,使函数取得 极值的点称为极值点 y=(x) 提问: fa)和f(b)是极值吗? 观察与思考: 观察极值与切线的关系.Oax1x2x3x4x5bx 首员”上员”这回负结東
首页 上页 返回 下页 结束 铃 提问： f(a)和 f(b)是极值吗？ ❖函数的极值 下页 一、函数的极值及其求法 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0 )内有定义 如果对于任意 xU(x0 )有 f(x)f(x0 ) (或f(x)f(x0 )) 则称f(x0 )是函数f(x)的一个极大值(或极小值) 。 x1 x2 x3 x4 x5 函数的极大值与极小值统称为函数的极值 使函数取得 极值的点称为极值点 观察与思考： 观察极值与切线的关系
今定理1(必要条件) 设函数八(x)在点x处可导,且在x处取得极值 那么∫'(x)=0.> 驻点 使导数f(x)为零的点(方程f(x)=0的实根)称为函数 f(x)的驻点 讨论: 极值点是否一定是驻点? y=(x) 驻点是否一定是极值点? 考察x=0是否是函数y=x3的 驻点,是否是函数的极值点 a x1 x2 x3 x4 x 首”上”返回”结束”铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 设函数f(x)在点x0处可导 且在x0处取得极值 那么f (x0 )=0 •驻点 使导数f (x)为零的点(方程f (x)=0的实根)称为函数 f(x)的驻点 ❖定理1(必要条件) 下页 >>> 讨论： 极值点是否一定是驻点？ 驻点是否一定是极值点？ 考察x=0是否是函数y=x 3的 驻点 是否是函数的极值点 x1 x2 x3 x4 x5
今定理1(必要条件) 设函数八(x)在点x处可导,且在x处取得极值 那么∫'(x)=0 驻点 使导数f(x)为零的点(方程f(x)=0的实根)称为函数 f(x)的驻点 观察与思考: (1)观察曲线的升降与极值 y=(x) 之间的关系 (2)观察曲线的凹凸性与极 值之间的关系 a x1 x2 x3 x4 x 首”上”返回”结束”铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 设函数f(x)在点x0处可导 且在x0处取得极值 那么f (x0 )=0 •驻点 使导数f (x)为零的点(方程f (x)=0的实根)称为函数 f(x)的驻点 ❖定理1(必要条件) 下页 观察与思考： (1)观察曲线的升降与极值 之间的关系 (2)观察曲线的凹凸性与极 值之间的关系 x1 x2 x3 x4 x5
今定理2(第一充分条件) 设函数x)在x处连续,且在(a,x0)(x0b)内可导 (1)如果在(a,x)内f(x)>0,在(x0b)内f(x)<0,那么函数fx) 在x处取得极大值 (2)如果在(a,x0)内f(x)<0,在(x0,b)内f(x)>0,那么函数fx) 在x处取得极小值 (3)如果在(a,x0)及(x,b)内f(x)的符号相同,那么函数fx) 在x处没有极值 y=(x) a x1 x2 x3 x4 x 首”上”返回”结束”铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 设函数f(x)在x0处连续且在(a x0 )(x0 b)内可导 (1)如果在(a x0 )内f (x)0 在(x0 b)内f (x)0 那么函数f(x) 在x0处取得极大值 (2)如果在(a x0 )内f (x)0 在(x0 b)内f (x)0 那么函数f(x) 在x0处取得极小值 (3)如果在(a x0 )及(x0 b)内 f (x)的符号相同 那么函数f(x) 在x0处没有极值 下页 ❖定理2(第一充分条件) x1 x2 x3 x4 x5