§4.3分部积分法 分部积分公式 设函数v=l(x)及v=v(x)具有连续导数那么, (uvy'=u'v+uv 移项得 uv=(uv)-uv 对这个等式两边求不定积分,得 ∫ntx=n-J'x,或ja uav=uv-vau, 这两个公式称为分部积分公式 分部积分过程 ∫mnhk=h=mn-Jv=mn-hv=… 自
§4.3 分部积分法 •分部积分公式 设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数.那么, (uv)=uv+uv , 移项得 uv=(uv)−uv. 对这个等式两边求不定积分, 得 •分部积分过程 这两个公式称为分部积分公式. 首页 上页 返回 下页 结束 铃 uv dx =uv− u vdx , 或 udv=uv− vdu , uv dx =uv− u vdx , 或 udv=uv− vdu , = = − = − = uv dx= udv=uv− vdu=uv− u vdx= . uv dx= udv=uv− vdu=uv− u vdx= . uv dx= udv=uv− vdu=uv− u vdx= . uv dx udv uv vdu uv u vdx
分部积分过程:Jntx=ja Lc=v-va=n-vax=…… 15 J1 xcosxdx=xd sinx=xsinx-sinxdx x sin x+cos x+C 例2「xedx -xae=re dx=xex-e+C 153x2e dx=xde =xe -e-dx2 x2ex-2 dx=x2ex-2 xdex xdex-2xex+2exdx =x2ex-2xex+2ex+c =e(x2-2x+2)+C 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 例1 =x sin x+cos x+C . 例2 例3 =x 2e x−2xex+2e x+C =e x (x 2−2x+2 )+C. = = − = − = 分部积分过程： uv dx udv uv vdu uv u vdx . 例 1 例 1 xcosxdx = xd sin x = xsin x− sin xdx 例 1 xcosxdx = xd sin x = xsin x− sin xdx 例 1 xcosxdx = xd sin x = xsin x− sin xdx xcosxdx = xd sin x = xsin x− sin xdx 例 2 xe dx xde xe e dx xe e C x x x x x x = = − = − + 例 2 xe dx xde xe e dx xe e C . x x x x x x = = − = − + 例 2 xe dx xde xe e dx xe e C . x x x x x x = = − = − + 例 2 xe dx xde xe e dx xe e C . x x x x x x = = − = − + 例 2 xe dx xde xe e dx xe e C . x x x x x x = = − = − + . 例 3 = = − 2 2 2 2 x e dx x de x e e dx x x x x = − = − x x x x x e 2 xe dx x e 2 xde 2 2 = x e − xe + e dx x x x 2 2 2 例 3 = = − 2 2 2 2 x e dx x de x e e dx x x x x 例 3 = = − 2 2 2 2 x e dx x de x e e dx x x x x 例 3 = = − 2 2 2 2 x e dx x de x e e dx x x x x = − = − x x x x x e 2 xe dx x e 2 xde 2 2 = x e − xe + e dx x x x 2 2 2 = − = − x x x x x e 2 xe dx x e 2 xde 2 2 = x e − xe + e dx x x x 2 2 2 下页
分部积分过程:Jntx=ja Lc=v-va=n-vax=…… 例4∫ xIn xdx= In xdx=-x Inx x nx 2 x nx x+c 例5a arccosxax=rarccosr-xa arccos xarccosx+x arccos xarccosx-√1-x2+C. 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 例4 例5 = = − = − = 分部积分过程： uv dx udv uv vdu uv u vdx . 例 4 = = − dx x x xdx xdx x x x 1 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 2 2 = x x− xdx = x x− x +C 2 2 2 4 1 ln 2 1 2 1 ln 2 1 . 例 4 = = − dx x x xdx xdx x x x 1 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 2 2 例 4 = = − dx x x xdx xdx x x x 1 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 2 2 例 4 = = − dx x x xdx xdx x x x 1 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 2 2 = x x− xdx = x x− x +C 2 2 2 4 1 ln 2 1 2 1 ln 2 1 . 例 5 arccosxdx = xarccosx− xd arccosx dx x x x x − = + 2 1 1 arccos (1 ) (1 ) 2 1 arccos 2 2 1 2 = x x− −x d −x − = x x− −x +C 2 arccos 1 . 例 5 例 5 arccosxdx = xarccosx− xd arccosx arccosxdx = xarccosx− xd arccosx 下页
分部积分过程:mbx=ohn-Jv=ndk= 例6 xarctanxdx= arctanxd2 x arctan 21+x x arctan )dx 2J1+x o x arctanx-x+arctan+C 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 例6 = = − = − = 分部积分过程： uv dx udv uv vdu uv u vdx . 例 6 = 2 arctan 2 1 xarctanxdx xdx + = − dx x x x x 2 2 2 1 1 2 1 arctan 2 1 + = − − dx x x x ) 1 1 (1 2 1 arctan 2 1 2 2 = x x− x+ arctanx+C 2 1 2 1 arctan 2 1 2 . 例 6 = 2 arctan 2 1 xarctanxdx xdx + = − dx x x x x 2 2 2 1 1 2 1 arctan 2 1 + = − − dx x x x ) 1 1 (1 2 1 arctan 2 1 2 2 下页
分部积分过程:Jntx=ja Lc=v-va=n-vax=…… 例7求[ ex sin xd 解因为 ∫e sin xdx= sin xde=esinx-erdsinx exsinx-excosxdx=exsinx-cosxde-x exsinx-excosx+exdcosx exin cosx+exd cosx e"sinx-er cosx-Je-sinxdx 所以2smx=e(snx=cosx)+C 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 因为 例 例 7 7 求 e xdx x sin . e xdx = xde =e x− e d x x x x x sin sin sin sin = − = − x x x x e sin x e cosxdx e sin x cosxde =e x−e x+ e d x x x x sin cos cos =e x−e x+ e d x x x x sin cos cos =e x−e x− e xdx x x x sin cos sin , 所以 e xdx e x x C x x = − + (sin cos ) 2 1 sin . e xdx = xde =e x− e d x x x x x sin sin sin sin e xdx = xde =e x− e d x x x x x sin sin sin sin = − = − x x x x e sin x e cosxdx e sin x cosxde = = − = − = 分部积分过程： uv dx udv uv vdu uv u vdx . 下页