§3.2洛必达法则 未定式 在函数商的极限中,如果分子和分母同是无穷小或 同是无穷大,那么极限可能存在,也可能不存在,这种极 限称为未定式,记为①或 0 还有其它类型的未定式:0.∞、∞0-∞0、0、1、∞ 定式举例首页
§3.2 洛必达法则 还有其它类型的未定式 0、−、0 0 、1 、0 在函数商的极限中 如果分子和分母同是无穷小或 同是无穷大 那么极限可能存在 也可能不存在 这种极 0 0 －或 限称为未定式 记为 － 未定式举例 首页 上页 返回 下页 结束 铃 •未定式
令定理(洛必达法则) 如果函数f(x)和g(x)满足如下条件 (1)fx)和g(x)都是当x-xa时的无穷小(或无穷大); (2)x)和g(x)在点a的某去心邻域内都可导且g(x)0; (3)lim f(x) 存在(或为无穷大) x→ag(x 那么lm(x)=lm x→a g(x) x→a g 说明: 把定理中的“x>a”换成“x→>∞”,把条件(2)换成 “当>N时八x)和g(x)都可导且g(x)≠03),结论仍然成立 是定理证明”首负”上”返回”下结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 如果函数f(x)和g(x)满足如下条件 (1) f(x)和g(x)都是当x→a时的无穷小(或无穷大) (2) f(x)和g(x)在点a的某去心邻域内都可导且g(x)0 定理证明 说明： 把定理中的“ x→a ”换成“ x→ ” 把条件(2)换成 “当|x|>N时f(x)和g(x)都可导且g(x)0” 结论仍然成立 ❖定理(洛必达法则) (3) ( ) ( ) lim g x f x x a → 存在(或为无穷大) 那么 ( ) ( ) lim g x f x x→a ( ) ( ) lim g x f x x a = → 下页
☆“零比零”型未定式的定值法 例1求ma(b≠0 解 im sin ax=im(smax lim acosax a x>osin bx x-o(sin bx) x>0 bcosbx b 例2求m-3-3x+2 x1x3-x2-x+1 解 Ⅷ3-3x+2(x3-3x+2) x→1x3-x2-x+1x-1(x3-x2-x+1) 3x2-3 lin 6x3 x13x2-2x-1x16x-22 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖“零比零”型未定式的定值法 解 解 例 例 1 1．求 bx ax x sin sin lim →0 (b 0) 解 b a b bx a ax bx ax bx ax x x x = = = → → → cos cos lim (sin ) (sin ) lim sin sin lim 0 0 0 例 例 2． 2 求 1 3 2 lim 3 2 3 1 − − + − + → x x x x x x 解 ( 1) ( 3 2) lim 1 3 2 lim 3 2 3 1 3 2 3 1 − − + − + = − − + − + → → x x x x x x x x x x x x 2 3 6 2 6 lim 3 2 1 3 3 lim 1 2 2 1 = − = − − − = → → x x x x x x x 解 b a b bx a ax bx ax bx ax x x x = = = → → → cos cos lim (sin ) (sin ) lim sin sin lim 0 0 0 解 b a b bx a ax bx ax bx ax x x x = = = → → → cos cos lim (sin ) (sin ) lim sin sin lim 0 0 0 解 b a b bx a ax bx ax bx ax x x x = = = → → → cos cos lim (sin ) (sin ) lim sin sin lim 0 0 0 解 ( 1) ( 3 2) lim 1 3 2 lim 3 2 3 1 3 2 3 1 − − + − + = − − + − + → → x x x x x x x x x x x x 2 3 6 2 6 lim 3 2 1 3 3 lim 1 2 2 1 = − = − − − = → → x x x x x x x 2 3 6 2 6 lim 3 2 1 3 3 lim 1 2 2 1 = − = − − − = → → x x x x x x x 下页
☆“零比零”型未定式的定值法 例3求 lim im 解 lim x-sinx 1-cOSx SInx ->0 X x>03x2x-06x6 arctan 例4求lim 解 lm arctan lm、1+x lim t2 y→)+00 1+x 上页 返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 解 例 例 3 3 求 3 0 sin lim x x x x − → 解 3 0 sin lim x x x x − → 2 0 3 1 cos lim x x x − = → x x x 6 sin lim →0 = 6 1 = 例 例 4 4 求 x x x 1 arctan 2 lim − →+ 解 x x x 1 arctan 2 lim − →+ 2 2 1 1 1 lim x x x − + − = →+ 1 1 lim 2 2 = + = →+ x x x 解 3 0 sin lim x x x x − → 2 0 3 1 cos lim x x x − = → x x x 6 sin lim →0 = 6 1 解 = 3 0 sin lim x x x x − → 2 0 3 1 cos lim x x x − = → x x x 6 sin lim →0 = 6 1 解 = 3 0 sin lim x x x x − → 2 0 3 1 cos lim x x x − = → x x x 6 sin lim →0 = 6 1 = 解 x x x 1 arctan 2 lim − →+ 2 2 1 1 1 lim x x x − + − = →+ 1 1 lim 2 2 = + = →+ x x x 解 x x x 1 arctan 2 lim − →+ 2 2 1 1 1 lim x x x − + − = →+ 1 1 lim 2 2 = + = →+ x x x 解 x x x 1 arctan 2 lim − →+ 2 2 1 1 1 lim x x x − + − = →+ 1 1 lim 2 2 = + = →+ x x x 下页 ❖“零比零”型未定式的定值法
☆“无穷比无穷”型未定式的定值法 例5求imhx(n>0) x→)+∞X 解imhx=im_x=lim1=0 x→>+00X x-)+∞xn-1 x→>+∞X 例6求im(n为正整数,x>0) 解1imx lum nrn-1 - lin n-1)x x→>+∞ ax x→>+0e x→>+00 22 0 ane 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖“无穷比无穷”型未定式的定值法 解 解 例 例 5 5 求 n x x ln x lim →+ (n>0) 解 n x x ln x lim →+ 1 1 lim − →+ = n x nx x 0 1 = lim = →+ n x nx 例 例 6 6 求 x n x e x →+ lim (n 为正整数 >0) 解 x n x e x →+ lim x n x e nx 1 lim − →+ = x n x e n n x 2 2 ( 1) lim − →+ − = = 0 ! = lim = →+ n x x e n 解 n x x ln x lim →+ 1 1 lim − →+ = n x nx x 0 1 = lim = →+ n x nx 解 n x x ln x lim →+ 1 1 lim − →+ = n x nx x 0 1 = lim = →+ n x nx 解 n x x ln x lim →+ 1 1 lim − →+ = n x nx x 0 1 = lim = →+ n x nx 解 x n x e x →+ lim x n x e nx 1 lim − →+ = x n x e n n x 2 2 ( 1) lim − →+ − 解 = = x n x e x →+ lim x n x e nx 1 lim − →+ = x n x e n n x 2 2 ( 1) lim − →+ − 解 = = x n x e x →+ lim x n x e nx 1 lim − →+ = x n x e n n x 2 2 ( 1) lim − →+ − = = 0 ! = lim = →+ n x x e n 下页