又因为f(x)在点x,连续，故对上述 8 >0存在s>0,当x-x,<8 时,有I f(x)-f(x,)/-u-u, /<s于是1 g(f(x)-g(f(x, ))/=1g(u)-g(u.)/<这就证明了g(f(x))在点x连续后页返回前页
前页 后页 返回 0 1 又因为 在点 连续 故对上述 f x x ( ) , 0 , 0 存在 − 0, | | , 当 x x 时 有 0 0 1 | ( ) ( ) | | | , f x f x u u − = − 0 0 | ( ( )) ( ( )) | | ( ) ( ) | , g f x g f x g u g u − = − 于是 0 这就证明了 g f x x ( ( )) . 在点 连续
例1 求 lim sin(1-x)x-→1解 sin(1-x")可视为 g(u)=sinu, u=(1-x')的复合，所以lim sin(1 - x") = sin(lim(1 - x') = 0.x-→>1x-返回前页后页
前页 后页 返回 limsin(1 ) sin(lim(1 )) 0. 2 1 2 1 − = − = → → x x x x limsin(1 ). 2 1 x x − → 例1 求 2 2 解 sin(1 ) ( ) sin , (1 ) − = = − x g u u u x 可视为 的复 合，所以
注:若g(u)在u.连续,lim f(x)=uo，则有x-→xolim g(f(x)= g(uo)=g(lim f(x),(*)x-→xox-Xo事实上，只要补充定义（或者重新定义）f(x）=u使得f(x)在点x，连续，应用定理4.5，就得到所需要的结论. 若将 lim f(x)=u,改为x-xolim f(x)=uo, lim f(x)=u, 或 lim f(x)=uo ,x-→+8X>8（*）式相应的结论仍旧是成立的后页返回前页
前页 后页 返回 lim ( ( )) ( ) (lim ( )). 0 0 g f x g u0 g f x x→x x→x = = (*) 使得 f x x ( ) . 在点 0 连续 应用定理4.5,就得到所 (*)式相应的结论仍旧是成立的. 0 0 0 ( ) , lim ( ) , x x g u u f x u → 注:若 在 连续 = 则有 0 0 lim ( ) x x f x u → 需要的结论.若将 = 改为 lim ( ) , x u0 f x = →+ 0 lim f (x) u x = →− lim ( ) , x u0 f x = → 或 事实上,只要补充定义（或者重新定义） 0 0 f x u ( ) =
sin x求lim,2例2x-0x解 因为g(u)=Vu在u=1连续,所以sinxsinX)=~2-1=1.limlim(2x-0x-1x例3 求 lim sin(1 + 1)X-0解因为lim(l+l)"=e,sinu在点u=e连续,所以X00lim sin(1 + l)* = sin e.x-→00后页返回前页
前页 后页 返回 例2 . sin lim 2 0 x x x − → 求 解 因为 g u u u ( ) 1 , = = 在 连续 所以 ) 2 1 1. sin lim(2 sin lim 2 0 1 − = − = − = → → x x x x x x 例3 ) . 1 lim sin(1 x x x + → 求 解 1 lim(1 ) e , sin e , x x u u → x 因为 + = = 在点 连续 所以 ) sine. 1 lim sin(1+ = → x x x