阳马术注 刘微在证明从一般情形下的一个堑堵（斜割长方体后所得 的直三棱柱)中分割出来的阳马（一棱垂直于底的四棱锥 和鳖臑（各面为直角三角形的四面体），其体积之比为2 比1的定理（吴文俊称之为刘微原理）时，采取这样的步骤 堵和鳖臑，然后重新组合，便得到在原堑堵的四分之三 歌不是 其余弥细，至细口微，微则无形，由是言之，安取余哉？ 无限进行分割的结果最后得到一个“至细”“无形”的东 西，它刘徽认为可以舍弃不要了！
阳马术注 • 刘徽在证明从一般情形下的一个堑堵（斜割长方体后所得 的直三棱柱）中分割出来的阳马（一棱垂直于底的四棱锥） 和鳖臑（各面为直角三角形的四面体），其体积之比为2 比1的定理(吴文俊称之为刘徽原理)时，采取这样的步骤 ： 首先，把堑堵的三度分割成两半，成为一些小的阳马、堑 堵和鳖臑，然后重新组合，便得到在原堑堵的四分之三中 阳马和鳖臑所占体积之比为2比1，那就只要考虑余下的四 分之一部分中情况了，由于这四分之一部分又是二个与原 堑堵结构完全一样的堑堵，于是刘徽又可以进行同样的分 割，然后重新组合这些更小的形体，这样他又证明了在这 四分之一部分的四分之三中，阳马和鳖臑的体积之比为2 比1，这个过程可以不断地进行下去，他说“半之弥少， 其余弥细，至细曰微，微则无形，由是言之，安取余哉？” 无限进行分割的结果最后得到一个“至细”“无形”的东 西，它刘徽认为可以舍弃不要了!
刘徽证明这个问题的过程大概是这样：将一个直角四面体ADEF和一个直角方锥ABCDF 合成一个直角三棱柱ABCDEF(如图)，按纵横垂直 平分这三棱柱，则原直角四面体被分成两个小直角四 面体AHLM和MPRF,两个小直角三棱柱LMPODH 和LMPOER原直角方锥被分成一个小长方体 IJCKPQNM,两个小直角方锥AGIHM和MNOPF, 两个小直角三棱柱DHIKPM和MNOPRF。AHLM与 AGIHM,MPRF与MNOPF合成两个与原直角三梭 柱ABCDEF相似的小直角三棱柱，这两个小三棱柱 Q 又合成一个小长方体。其余部分合成三个相等的小长 方体。在这三个相等的小长方体中，原直角四面体占 一，原直角方锥占二。按同样的方法，继续剖分两个 小直角三棱柱AGIHLM和MNOPRF,可以证明在 E R 它们的体积中，小直角四面体占一，小直角方锥占
二。余下四个更小的直角三棱柱，按同样方法无限地剖分下去，就可以证明在整个直角 三棱柱中，直角四面体占一，直角方锥占二。从而证明前者的体积为行。，后者的体积为 abh。刘徽在证明中虽然取a,b,h相等，但他指出，a,b,h不等时，也是成立的。 可见在刘徽的观念里把分割到最后得到的“至 细”“无形”的东西弃而不取不存在什么困难 这不仅因为刘徽在任何地方都没有表现出他对自 己的处理有什么疑虑，这还可以从他的思想渊源 上得到解释
可见在刘徽的观念里把分割到最后得到的“至 细”“无形”的东西弃而不取不存在什么困难。 这不仅因为刘徽在任何地方都没有表现出他对自 己的处理有什么疑虑，这还可以从他的思想渊源 上得到解释
割圆术 刘徽用割圆术证明“半周半径相乘得积步”的圆面积公式时，从内接 就型中彗高盖翠 二十四边形(“二十四觚”、 一个和圆重合的正无穷多边形。他把这个和圆重合的多边形(“瓢之 者”分割成无限多个小三角形（有人认为刘徽是把多边形分割成筝 ,这似是而非。诚然，在求正6边形面积时，刘徽分割成3个筝形来 ， 求正12边形面积时他也是分割成6个筝形来处理，等等：但是 业足中”毫要 的，此一边色是 实为具 式，从而也就得到了圆的面积公式
割圆术 • 刘徽用割圆术证明“半周半径相乘得积步”的圆面积公式时，从内接 正六边形(“六觚”)开始割圆，依次得到内接正十二边形(“十二觚”)、 正二十四边形(“二十四觚”)、……， “割之弥细，所失弥少。割之又 割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ，认为割圆到最后得 到一个和圆重合的正无穷多边形。他把这个和圆重合的多边形(“觚之 细者”)分割成无限多个小三角形(有人认为刘徽是把多边形分割成筝 形，这似是而非。诚然，在求正6边形面积时，刘徽分割成3个筝形来 处理，求正12边形面积时他也是分割成6个筝形来处理，等等；但是 刘徽说“以一面乘半径，觚而裁之” ，这个“觚”是不可再割的极限 状态下与圆重合的觚， “一面”乃是此觚之一边，它乘半径，当然不 会是另一个由两个更小的三角形组成的筝形的面积，否则此觚就还可 再割了。而从行文来看，也是按此觚之一边来“裁”的，此一边已是 分割到最后所得的一边。至于6边形分成3个筝形来处理之类，实为具 体计算之方便)，由于每个三角形的面积的是其底边与圆半径乘积的 一半，于是，刘徽就可以合并求和而得到这个正无穷多边形的面积公 式，从而也就得到了圆的面积公式