面势能分布应服从静力学方程。由式（1-13）可知，在均匀流段截面上各点的总势能均相等。截面1-1各点的位能不同，压强能也不同，但各点的/β相等。如果所考察的流体属理想流体，黏度为零，则截面上流速分布均匀，各点上的动能也相等。因此，对于理想流体，截面上各点的总势能与动能都相同，即经过截面各点的每一条流线具有相同的机械能。所以。对于理想流体，柏努利方程可以不加修改地推广应用于管流。此时，式（1-33）可写成gZ+pi+u?P+=gZ2++些(1-35)P+2下标1、2分别代表管流中位于均匀流段的截面1和2。实际流体管流的机械能衡算如果所考察的是黏性流体，那么，只要所考察的截面处于均勾流段，则截面上各点的总势能仍然相等。但是截面上各点的速度却不相等，近壁处速度小，而管中心处速度最大，也即各条流线的动能不再相等。因此要将柏努利方程推广应用到黏性流体，必须用该截面上的平均动能代替原柏努利方程中的动能项。此外，黏性流体流动时因内摩擦而导致机械能损失，常称阻力损失。外界也可对控制体内流体加人机械能，如用流体输送机械等。此两项在作机械能衡算时均必须计人。这样，对截面1-1与2-2间作机械能衡算可得+(2)+α-号+(3)+h(1-36)+(2)2式中一某截面上单位质量流体动能的平均值；2h截面1至截面2间外界对单位质量流体加人的机械能；hr一单位质量流体由截面1流至截面2的机械能损失（即阻力损失）。单位质量流体的平均动能应按总动能相等的原则用下式求取。()[u1f1.PvaudA=ou3dA2)(1-37)MAJA2显然(S)+(1-38)即平均速度的平方不等于速度平方的平均值。但在工程计算中希望使用平均速度来表达平均动能，故引入一动能校正系数α，使()=(1-39)2令式（1-37）与式（1-39）相等可得1u3dAα=AJ(1-40)这样，式（1-36）可写成taiuii+h.=++h(1-41)p+20+2校正系数α值与速度分布形状有关。在应用式（1-41)时，必须先由速度分布曲线计算出α值（参看1.4.4）。若速度分布较均匀，如图1-13所示情况，则作工程计算时α可近似地取为1。工程上经常遇到的是这种情况，因此以图1-13较均匀的速度分布15
后应用式（1-41）时不再写上α，面近似写为幼tui+h一逸+十h(1-42)罐0+21p+2柏努利方程的应用举例（1）重力射流如图1-14所示，某容器中盛以液体，液面A维持不变。距液面h处开有一小孔，液体在重力作用下成自由射流，自小孔流出，液面A处及小孔出口处的压强均为大气压P。必须注意，液体自小孔流出时由于流体的惯性造成液流的收缩现象，液流的最小截面位于C处。在最小截面C处液流满足均匀流条件，故列柏努利图1-14重力射流方程应取A与C作为考察截面。设截面A的流速为uA，截面C的流速为uc，并取图中水平面o-o作为位能基准面，则根据柏努利方程可得pa+u+ghp+up122pusur因ua《uc远较一为小而可路去，于是22ucV2gh(1-43)为计算小孔流出时的流量，必须已知流动截面积。C处截面积无法确定，小孔面积却是己知的。因此，工程计算时希望以小孔平均流速u代替uc，同时考虑流体流动时的能量损失，而引人一校正系数Co，将式（1-43）写成u0=Co2gh(1-44)式中，Co称为孔流系数，其值一般在0.61～0.62之间。此例说明位能与动能的相互转换，A点处的位能在C点处转化为动能。（2）压力射流如图1-15所示，管路或容器中流体的压强为p.其值大于外界大气压pa、流体自壁面小孔流出。设圆管或容器内的流体不断得到补充，p保持不变。仿照上例，取1-1和2-2e截面，应用柏努利方程可得卫+兴-+奖P+2-+2由于iu，略去/2后可得：图1-15压力射流2(p-p.)(1-45)u2p[2(p-a)2Apu=C(1-46)pR当容器内外压强差Ap较小时，气体也可视为不可压缩流体，上式也可用于气体。此例说明压强能与动能的相互转换。柏努利方程的几何意义前已说明，理想流体柏努利方程中各项均为单位质量流体的机械能，分别为位能、压强能和动能。式（1-33）两边除以g，可以获得柏努利方程的另一种以单位重量流体为基准的表达形式以后如无特殊需要，均以u表示平均流连。16
2+上+些2(1-47)一常数pg2g式（1-47）的物理意义：左端各项为单位重量流体所具有的机械能，与高度单位一致，在SI制中为每牛顿重量流体具有的能量焦耳，即J/N=m。图1-16清楚地表明了柏努利方程的几何意义。图中为单位重量流体所具有的位能，上是单位重盘流体所具有的压强能，也是也是被考察流体距基准面的高度，称为位头：pg浆是单位重量流体所具有的动能、相应地称为速以流体柱高度表示的压强，称为压头；2g度头。A￥:/2g(p2/pg)t(//2g)(p/pg)+(aj/2g)u/2gPs/pgFPy/pgPa/pg图1-16柏努利方程的几何意义图中取截面2管中心线为位置基准，z2=0。取大气压为压强基准，P=0。截面1的面积远大于管道截面，故u可近似取为零。从图中可清楚地看出理想流体在流动过程中三种能量形式的相互转换，但三头之和为一常数。对己铺设的管路，各断面的几何高度和管径已定，各断面的位能z是不可能改变的，各断面的动能u2/2g受管径的约束，唯有势能p/pg可根据具体情况的变化而改变。因此，从某种意义上讲，柏努利方程就是流体在管道流动时的压力变化规律。类似地由式（1-42）可推出2+p+u?1+H.=2 +%++H(1-48)pg+2gpg2g式中H。——截面1至截面2间外界对单位重量流体加人的机械能，J/N（或m）；H单位重量流体由截面1流至界面2的机械能损失（阻力损失）。J/N（或m）。式（1-41）、式（1-42）、式（1-48）都称为流体流动的机械能衡算式。式中阻力损失产生的原因及计算方法将在1.5中详述。使用柏努利方程或实际不可压缩流体的机械能衡算式时，因等式两边的压强项可移项而成为压强差的形式，因此在计算时可取绝对真空作为压强的计算基准，也可以用大气压作为计算基准。例1-2图1-17表示水从高位槽通过虹吸管流出，其中h=8m，H=6m。设槽中水面保持不变，不计流动阻力损失，试求管出口处水的流速及虹吸管最高处水的压强。解取水槽液面1-1及管出口截面2-2列柏努利方程，忽略截面1的速度ul可得u2=V2gH=V2×9.81×6=10.8m/s为求虹吸管最高处（截面3-3）水的压强，可取截面3-3与截面2-2列柏努利方程得+++hg=p+丝P+2017
p.t图1-17虹吸管图1-18动量守恒因u2一u3，则有p3=papgh=1.013×105-1000×9.81×8=2.28X104Pa=22.8kPa该截面的真空度为p,—p3 =pgh=1000×9.81×8=7.85×101Pa=78.5kPa1.3.3动量守恒管流中的动量守恒物体的质量m与运动速度u的乘积称为物体的动量，动量和速度一样是向量，其方向与速度的方向相同。牛顿第二定律的另一种表达方式是：物体动量随时间的变化率等于作用于物体上的外力之和。现取图1-18所示的管段作为控制体，将此原理应用于流动流体，即得流动流体的动量守恒定律，它可表述为：作用于控制体内流体上的外力的合力=单位时间内流出控制体的动量一单位时间内进人控制体的动量+单位时间内控制体中流体动量的累积量对定态流动，动量累积项为零，并假定管截面上的速度作均匀分布，则上述动量守恒定律可表达为：EF,=qm(u2x—ulr)EF=qm（u2y—u1y）(1-49)ZF,-qm(u2u1r)式中，qm为流体的质量流量，kg/s；Fr、ZFy、F为作用于控制体内流体上的外力之和在三个坐标轴上的分量。42动量守恒定律的应用举例Ip（1）弯管受力图1-19表示流体勾速通过一直径相等的90°弯管，该管水平放置。设为理想流体。管壁作用于流体的合力可分解为F和F，两个分力。根据式（1-49）可得F,A=qmul或F,=piA,+qmuixF.PV同理图1-19Fy-p2A2+qmu2弯管受力18
因A=A2=A，在数值上u1=u2=u，pl=p2=p、则合力F为F=VF+F,或F=/2(pA+qmu)(1-50)（2）流量分配管路的流量均匀分配是工业装置中经常遇到的间题，在设计上是一个颇为复杂的问题。图1-20为一流量分配器的示意图。本例试截裁取如图1-21的-般管路，讨论其规律。参见图1-21（a），设在截面1和2之间列柏努利方程，忽略机械能损失图1-20流量分配hi,得+丝丝+丝2为简便起见，假设分配器水平放置，于是号(u一u)(1-51)p2p1=2由于部分流体自小孔排出，流速u2下降，P2将大于p1。若在截面1-1和2-2间列水平方向的动量守恒式，参见图1-21(b)。忽略壁面的摩擦阻力，假设u垂直于管轴，可得2)=p(u)(1-52)PA,u.P2PPPr.uM2Mi42(a)能量法(b) 动量法图1-21分配节比较式（1-51）与式（1-52）可以看出，动量守恒式预示的压强升高较能量衡算式增大一倍。这是因为在上述推导中均作了简化的假定而造成。因此必须通过实验作进-一步校正。实验证明，实际情况介于两者之间，应引人一个校正系数K写成2=Kp(-)(1-53)考虑到阻力损失或管壁对流体的作用力，K值在0.4～0.88之间，视情况而异，需由实验测定。至于小孔的流速ua，可按式（1-46）计算，但其中小孔处管内压强应取截面1-1与2-2处压强pI、p2的平均值。即[2(p1+ p2 -pa)ua=C(1-54)pl2此例也可以看成是分流的一个特例。当一股流体分成两股时，实际情况将介于机械能守恒式和动量守恒式所预示的情况之间。由此可见，将这一理论推导所得的结果用于实际时，应经过实验的检验和修正。动量守恒定律和机械能守恒定律的关系动量守恒定律和机械能守恒定律都从牛顿第19