电路网络的矩阵表示 给定电阻e,(或者电导率we=1/me),如果从节点s注入1A的电流，并 宜灰书点t流出，如何求解模拟电路网络内部的电流和电压？ 求解五=LΦ！ 计算出电压中之后，电流iuw=wuv(φ(u)一(v)可直接由欧姆定律得出 考虑incidence matrix B,有i=WBTΦ 事实上，拉普拉斯矩阵亦可以写成L=∑e We Deba=BWBT b=LΦ=BWBTΦ=Bi,基尔霍夫定律，flow conservation 注解：很多问题与电路网络的联系，正是从这些方程组开始 8
电路网络的矩阵表示 给定电阻 �! （或者电导率�! = 1/�!） ，如果从节点s注入1A的电流，并 且从节点t流出，如何求解/模拟电路网络内部的电流和电压？ 求解� = �� ！ 计算出电压 � 之后，电流�"# = �"# � � − � � 可直接由欧姆定律得出 考虑incidence matrix B，有�⃑ = ��7� 事实上，拉普拉斯矩阵亦可以写成� = ∑8 �8�8�8 7 = ���7 � = �� = ���7� = ��⃑, 基尔霍夫定律, flow conservation 注解：很多问题与电路网络的联系，正是从这些方程组开始 8
Pseudo-inverse of L 注意拉普拉斯矩阵L并不是满秩的，L1=可 所以LΦ=b不一定有唯一的解 回顾：如果图是连通的，则L的第二小特征值严格大于0；因此L的零空间 (nullspace)完全由1张成。 引理：如果存在向量Φ使得LΦ=五，则万1了 证明：假设本=∑：cv其中v1=1 则LΦ=c2几2v2+…+Cnn 因此LΦ11 对于电路网络来说，这也是合理的：外部流入的电流与流出的电流相等 9
Pseudo-inverse of L 注意拉普拉斯矩阵L并不是满秩的， �1 = 0 所以 �� = �不一定有唯一的解 回顾：如果图是连通的，则�的第二小特征值严格大于0；因此�的零空间 (nullspace)完全由 1张成。 引理：如果存在向量� 使得�� = �，则� ⊥ 1 证明：假设� = ∑9 �9�9，其中�: = : ; 1 则�� = �<�<�< + ⋯ + �;�;�; 因此 �� ⊥ 1 对于电路网络来说，这也是合理的：外部流入的电流与流出的电流相等 9