定理4.14（伯恩斯坦（F.Bernstein）定理）：设A和B是两个集合，若IA/≤BI又B≤IA则A/-BI。由此定理知，基数集上的关系是偏序关系，又由定理4.13知，任意两个集合的基数都是可比较的，因此还是全序关系利用存在A到B的内射和B到A的内射来构造A与B之间的双射
定理4.14(伯恩斯坦(F.Bernstein)定理):设 A和B是两个集合,若|A|≦|B|,又|B|≦|A|,则 |A|=|B|。 由此定理知,基数集上的≦关系是偏序关 系,又由定理4.13知,任意两个集合的基数 都是可比较的,因此还是全序关系. 利用存在A到B的内射和B到A的内射来 构造A与B之间的双射
证明基数相同的方法有：构造双射：构造内射f:A一B，得到IA/≤B再作内射g:B一A,得到|B≤|A|,从而得到|A/=B。例：利用伯恩斯坦定理证明（0,1)=[0,1]]。例：证明实数序列所组成集合E。的基数为C定理4.15：设A是有限集，则IA<<c<f
证明基数相同的方法有：构造双射；构 造内射f:A→B, 得到|A|≦|B|,再作内射 g:B→A,得到|B|≦|A|,从而得到|A|=|B|。 例:利用伯恩斯坦定理证明|(0,1)|=|[0,1]|。 例:证明实数序列所组成集合E∞的基数为 c。 定理4.15：设A是有限集, 则|A|<0<c<f
定理4.16（康托尔定理）：对于任何集合A必有|AK|P（A)I。证明：康托尔定理告诉我们：任意给定一个集合A，总存在基数比IA/更大的集合，也就是不存在最大基数的集合。构造可列个无限基数的集合：N, P(N),P(P(N),...且NKPNKP(PN...左方最开始的不等式表示<P（N以后每一个都大于它前面的一个，PNI是什么呢？
定理4.16(康托尔定理):对于任何集合A, 必有|A|<|P (A)|。 证明： 康托尔定理告诉我们:任意给定一个集合 A, 总存在基数比|A|更大的集合, 也就是 不存在最大基数的集合。 构造可列个无限基数的集合: N, P (N),P (P (N)),. 且|N|<|P (N)|<|P (P (N))},. 左方最开始的不等式表示0<|P(N)}, 以后每一个都大于它前面的一个, |P (N)|是什么呢?