解析几何简介s1如果你认为这是高中接触过的内容，那就图样了坐标变换公式81.1鉴于大家不久之后会学空间的坐标变换，直接理解可能会有些阻碍，因此我们先从二维开始，并且利用平面的坐标变换来研究一般的二次曲线理论.感兴趣的同学可以具体参考[6]的4.14.35.15.2，不过本文中是以点的角度来考察，丘维声教授的书上是以坐标轴为考察对象，因此二者的符号使用正好相反.之所以我用点的角度考察，是因为这样更加直观，并且避免出现坐标系之间的过渡矩阵等概念，对于平面的坐标变换，我们只考虑平移、旋转，其中平移是简单的，只要分别在横纵坐标上加上一个数即可．下面我们考察旋转，先从最简单的情况一一个点绕着原点的旋转，而事实上，在允许使用平移的情况下，我们也只需考虑绕原点的旋转，设点P(r,)，考虑它绕着原点O逆时针旋转角得到P，则OP=OP=V2+y定义r=2+y，设OP与r轴正方向夹角为，那么我们有OP的极坐标表示：=rcosgy=rsing类似地，OP的极坐标表示为：T = r cos( + 0) = r(cos p cos - sin sin 0) = r cos - y sin gy=r sin(+0) =r(sin pcos+ cos sin 0)= sin+y cos 1
§1 解析几何简介 如果你认为这是高中接触过的内容，那就图样了. §1.1 坐标变换公式 鉴于大家不久之后会学空间的坐标变换，直接理解可能会有些阻碍，因此我们先从二 维开始，并且利用平面的坐标变换来研究一般的二次曲线理论. 感兴趣的同学可以具体参 考[6]的4.1 4.3 5.1 5.2，不过本文中是以点的角度来考察，丘维声教授的书上是以坐标轴为 考察对象，因此二者的符号使用正好相反. 之所以我用点的角度考察，是因为这样更加直 观，并且避免出现坐标系之间的过渡矩阵等概念. 对于平面的坐标变换，我们只考虑平移、旋转. 其中平移是简单的，只要分别在横纵 坐标上加上一个数即可. 下面我们考察旋转，先从最简单的情况—— 一个点绕着原点的旋 转，而事实上，在允许使用平移的情况下，我们也只需考虑绕原点的旋转. 设点P(x, y)，考虑它绕着原点O逆时针旋转θ角得到P 0，则|OP0 | = |OP| = p x 2 + y 2 . 定义r = p x 2 + y 2，设 # » OP与x 轴正方向夹角为ϕ，那么我们有 # » OP的极坐标表示： x = r cos ϕ y = r sin ϕ . 类似地， # » OP0的极坐标表示为： x 0 = r cos(ϕ + θ) = r(cos ϕ cos θ − sin ϕ sin θ) = x cos θ − y sin θ y 0 = r sin(ϕ + θ) = r(sin ϕ cos θ + cos ϕ sin θ) = x sin θ + y cos θ . 1
291.解析几何简介而在通常情况下，我们在对一个曲线做旋转的时候，最后处理方程时如能得到(r，y)关于(r',y)的关系更好：=r'cosa+y sine(1.1)ly=-r'sing+ycosa方程(1.1)叫做旋转公式注记上述处理问题的手法，灵感来源于平面点与复数的对应，实际上，平面点的直角坐标对应于复数的分部形式：平面点的极坐标对应于复数的辐角形式若仅考察平移，那么P点经过沿(一ro，一yo)平移变为P点的方程(1.2)称为平移公式：#=+ro(1.2)y=y+yo结合式(1.1)和(1.2)，我们得到一般的坐标变换公式均可表示为：r=rcosa+y'sine+roy=-r'sino+y' coso+yo很多时候，我们更愿意用矩阵形式来表达：cosasing(1.3)sincos注记在我们考虑的问题中，不会考虑手性改变以及非刚体的坐标变换aa+b的图像，例1.1试考察分式线性函数y=9cr+d提示bc-ad2+3的图像练习试做出分式线性函数=r+4平面二次曲线方程的化简81.2平面上二次曲线的一般方程是：a112+2a12ry+a22y+2air+2a2y+ao=0(ai+ai2+a>0)
2 §1. 解析几何简介 而在通常情况下，我们在对一个曲线做旋转的时候，最后处理方程时如能得到(x, y)关 于(x 0 , y0 )的关系更好： x = x 0 cos θ + y 0 sin θ y = −x 0 sin θ + y 0 cos θ (1.1) 方程(1.1)叫做旋转公式. 注记 上述处理问题的手法，灵感来源于平面点与复数的对应. 实际上，平面点的直角坐标 对应于复数的分部形式；平面点的极坐标对应于复数的辐角形式. 若仅考察平移，那么P点经过沿(−x0, −y0)平移变为P 0点的方程(1.2)称为平移公式： x = x 0 + x0 y = y 0 + y0 (1.2) 结合式(1.1)和(1.2)，我们得到一般的坐标变换公式均可表示为： x = x 0 cos θ + y 0 sin θ + x0 y = −x 0 sin θ + y 0 cos θ + y0 很多时候，我们更愿意用矩阵形式来表达: x y = x0 y0 + cos θ sin θ − sin θ cos θ x 0 y 0 (1.3) 注记 在我们考虑的问题中，不会考虑手性改变以及非刚体的坐标变换. 例1.1 试考察分式线性函数y = ax + b cx + d 的图像. 提示 y − a c x + d c = bc − ad c 2 . 练习 试做出分式线性函数y = 2x + 3 x + 4 的图像. §1.2 平面二次曲线方程的化简 平面上二次曲线的一般方程是： a11x 2 + 2a12xy + a22y 2 + 2a1x + 2a2y + a0 = 0 (a 2 11 + a 2 12 + a 2 22 > 0)
391.3.二次曲线的不变量也可以写成矩阵式a11a12a(1.4)=0a12a22a2U1a1a2ao首先考察旋转，由式(1.1)，可知一次项不受影响，而在取恰当值的时候，可以将二次交叉项消掉.经过计算，在承认arccot+ao=0（即不旋转）的情况下：1a11-a22Qarccot22a12之后通过配方，即可得到没有一次项的标准形式，从而可判断二次曲线的种类例1.2研究二次曲线52+4ry+2y?-24r-12y+18=0.提示tan可取为2，这条曲线是个椭圆！例1.3研究二次曲线4r2+8ry+4y?+13r+3y+4=0.提示tan可取为-1，这条曲线是个抛物线！81.3二次曲线的不变量我们考察在进行平移和旋转变换之后，有哪些量是不变的.引入记号：cOsesineTO-sinecosyoa11a12a1a11a12I3 =I=a11+a22,I2a12a22a2a12a22aia2ao定理1.1.1在作坐标变换α=Tα/+Qo(即(1.3))之后，1，I2，Is均不变.证明规定在变换以后，方程的系数记号均带有1.直接计算：dl1=a11cos?-2a12 sin cos +a22 sin?gd22= a11 sin+2a12 sin cos +a22 cos? 0
§1.3. 二次曲线的不变量 3 也可以写成矩阵式 x y 1 a11 a12 a1 a12 a22 a2 a1 a2 a0 x y 1 = 0 (1.4) 首先考察旋转，由式(1.1)，可知一次项不受影响，而在θ取恰当值的时候，可以将二次 交叉项消掉. 经过计算，在承认arc cot+∞ = 0 (即不旋转)的情况下： θ = − 1 2 arc cot a11 − a22 2a12 . 之后通过配方，即可得到没有一次项的标准形式，从而可判断二次曲线的种类. 例1.2 研究二次曲线5x 2 + 4xy + 2y 2 − 24x − 12y + 18 = 0. 提示 tan θ可取为2，这条曲线是个椭圆！ 例1.3 研究二次曲线4x 2 + 8xy + 4y 2 + 13x + 3y + 4 = 0. 提示 tan θ可取为−1，这条曲线是个抛物线！ §1.3 二次曲线的不变量 我们考察在进行平移和旋转变换之后，有哪些量是不变的. 引入记号： α = x y , α0 = x 0 y 0 , α0 = x0 y0 , T = cos θ sin θ − sin θ cos θ I1 = a11 + a22, I2 = a11 a12 a12 a22 , I3 = a11 a12 a1 a12 a22 a2 a1 a2 a0 . 定理1.1.1 在作坐标变换α = T α0 + α0(即(1.3))之后，I1, I2, I3 均不变. 证明 规定在变换以后，方程的系数记号均带有0 . 1. 直接计算： a 0 11 = a11 cos2 θ − 2a12 sin θ cos θ + a22 sin2 θ a 0 22 = a11 sin2 θ + 2a12 sin θ cos θ + a22 cos2 θ