网孔:内部不含有其他支路的单孔回路。例如图1-24中有三个网孔回路,并标出了网孔的 绕行方向 131基尔霍夫电流定律(KCL) 1.定律内容 在任一瞬时,流入某一结点的电流之和恒等于流出该结点的电流之和。即 ∑ln=∑l 如图1-24中,对结点a可写出 l4=l1+l6 移项后可得 即 ∑I=0 就是在仼一瞬时,任一个结点上电流的代数和恒等于零。习惯上电流流入结点取正号,流出取负 号。 2.定律推广 基尔霍夫电流定律不仅适用于结点,也适用于任一闭合 面。这种闭合面有时也称为广义结点(扩大了的大结点) 如图1-25(a)由广义结点用KCL可得 1a b+l=o 如图1-25(b)所示的晶体管,同样有 Ie= lB +lc 图1-25KCL的推广应用 132基尔霍夫电压定律(KvL 1.定律内容 在任一瞬时,沿任一闭合回路绕行一周,则在这个方向上电位升之和恒等于电位降之和。 ∑U升=∑U 如图1-24中,在回路1(即回路abda)的方向上,结合欧姆定律可看出a到b电位降了 R11,b到d电位升了R3l3,d到a电位升了U,则可写出 R3 I=RIM 移项后可得 1+R3l3-R1h=0 即 ∑U=0 就是在任一瞬间,沿任一闭合回路的绕行方向,回路中各段电压的代数和恒等于零。习惯上电位 升取正号,电位降取负号。 2.定律的推广 基尔霍夫电压定律不仅适用于闭合电路,也可以推广应用于开口电路。图126所示不是 闭合电路,但在电路的开口端存在电压UAB,可以假想它是一个闭合电路,如按顺时针方向绕行 此开口电路一周,根据KVL则有 14
网孔:内部不含有其他支路的单孔回路。例如图 1 - 24 中有三个网孔回路, 并标出了网孔的 绕行方向。 1 .3 .1 基尔霍夫电流定律( KCL) 1 . 定律内容 在任一瞬时,流入某一结点的电流之和恒等于流出该结点的电流之和。即 ∑ Iin = ∑ Iout 如图 1 - 24 中,对结点 a 可写出 I4 = I1 + I6 移项后可得 I4 - I1 - I6 = 0 即 ∑ I = 0 ( 1 - 22) 就是在任一瞬时,任一个结点上电流的代数和恒等于零。习惯上电流流入结点取正号, 流出取负 号。 图 1 - 25 KCL 的推广应用 2 . 定律推广 基尔霍夫电流定律不仅适用于结点, 也适用于任一闭合 面。这种闭合面有时也称为广义结点(扩大了的大结点) 。 如图 1 - 25( a)由广义结点用 KCL 可得 Ia + Ib + Ic = 0 如图 1 - 25( b)所示的晶体管, 同样有 IE = IB + IC 1 .3 .2 基尔霍夫电压定律( KVL) 1 . 定律内容 在任一瞬时,沿任一闭合回路绕行一周, 则在这个方向上电位升之和恒等于电位降之和。 即 ∑ U升 = ∑ U降 如图 1 - 24 中, 在回路 1 ( 即回路 abda ) 的方向上, 结合欧姆 定律可看出 a 到 b 电 位降了 R1 I1 , b 到 d 电位升了 R3 I3 , d 到 a 电位升了 US1 , 则可写出 US1 + R3 I3 = R1 I1 移项后可得 US1 + R3 I3 - R1 I1 = 0 即 ∑ U = 0 ( 1 - 23) 就是在任一瞬间,沿任一闭合回路的绕行方向, 回路中各段电压的代数和恒等于零。习惯上电位 升取正号,电位降取负号。 2 . 定律的推广 基尔霍夫电压定律不仅适用于闭合电路,也可以推广应用于开口电路。图 1 - 26 所示不是 闭合电路,但在电路的开口端存在电压 UAB ,可以假想它是一个闭合电路, 如按顺时针方向绕行 此开口电路一周,根据 KVL 则有 · 14 ·
U US UAB=0 移项后 UAB=U+ US=RI+ US 说明A、B两端开口电路的电压等于A、B两端另一支路各段电压之和。它E吣 反映了电压与路径无关的性质。 例18试求图1-27所示的两个电路中各元件的功率。 解:①图1-27(a)为并联电路,并联的各元件电压相同,均为U=10V 图1-26KVL的 推广应用 由欧姆定律 =A=2A 512 InT 图1-27例1-8的电路 由KCL对结点a 12=1-ks=(2-5)A=-3A 电阻的功率 P2=Ri=5×2w=20W 恒压源的功率 P.=-Uh=-10×(-3)W=30W(吸收) 恒流源的功率 ×5W=-50W(发出 ②图1-27(b)为串联电路,串联的各元件电流相同,均为=5A 由欧姆定律 U1=5×5=25V 由KVL对回路 U2=G+Us=(25+10)V=35v 电阻的功率 =Rk=5×52W=125 恒压源的功率 P=UsI=10×5W=50W(吸收) 恒流源的功率 P、=·Uk=-35×5W=-175W(发出 以上计算满足功率平衡式。 例1-9图1-28是一个分压电路,已知R1=39,R2=79,Us =20V,试求理想电压源的电流I和电压U1、U2。 解:根据欧姆定律得U=R1I;U2=R2I 根据KVL列写出回路电压方程Us=R1I+R2I 所以电流 RI+ R 图1-28例1-9的电路
图 1 - 26 KVL 的 推广应用 ∑ U = - U1 - US + UAB = 0 移项后 UA B = U1 + US = RI + US 说明 A、B 两端开口电路的电压等于 A、B 两端另一支路各段电压之和。它 反映了电压与路径无关的性质。 例 1 - 8 试求图 1 - 27 所示的两个电路中各元件的功率。 解: ① 图 1 - 27( a)为并联电路,并联的各元件电压相同,均为 US = 10 V 由欧姆定律 I1 = 10 5 A = 2 A 图 1 - 27 例 1 - 8 的电路 由 KCL 对结点 a I2 = I1 - IS = (2 - 5) A = - 3A 电阻的功率 PR = RI 2 1 = 5×2 2 W = 20 W 恒压源的功率 Pu s = - US I2 = - 10×( - 3 ) W = 30 W( 吸收) 恒流源的功率 PI s = - US IS = - 10×5W = - 50 W( 发出) ② 图 1 - 27( b)为串联电路, 串联的各元件电流相同,均为 IS = 5 A 由欧姆定律 U1 = 5×5 V = 25 V 由 KVL 对回路 U2 = U1 + US = ( 25 + 10 ) V = 35 V 电阻的功率 PR = RI 2 S = 5×5 2 W = 125 W 恒压源的功率 Pu S = US IS = 10×5 W = 50 W( 吸收) 恒流源的功率 PI S = - U2 IS = - 35×5 W = - 175 W(发出 ) 图 1 - 28 例 1 - 9 的电路 以上计算满足功率平衡式。 例 1 - 9 图 1 - 28 是一个分压电路, 已知 R1 = 3 Ω, R2 = 7 Ω, US = 20 V ,试求理想电压源的电流 I 和电压 U1 、U2 。 解: 根据欧姆定律得 U1 = R1 I; U2 = R2 I 根据 KVL 列写出回路电压方程 US = R1 I + R2 I 所以电流 I = US R1 + R2 · 15 ·
R 代入上式得出分压公式 R1+R23 (1-24) R2 R1+R2 把数值代入上式可得I=2A,U1=6V,U2=14V。 分压公式表明分压电阻上的电压与电阻值成正比,即电阻愈大,分得的电压则愈大。 例1-10图1-29是一个分流电路。已知R1=2Ω,R2=39,l=10A,试求理想电流源 两端的电压U和电流h、h2。 解:根据欧姆定律得=4,2= 根据KCL列写出结点a的电流方程l=1+h 即 U RI Is -U 图1-29例1-10的电路 RI R 所以电压U R1+R2 Is=(R1∥R2)l=RIs R2 l R1+R2 代入上式得出分流公式 (1-25) R R1+R2 把数值代入上式可得U=12V,h=6A,l2=4A 分流公式表明分流电阻中的电流与电阻值成反比,即电阻愈小,分得的电流则愈大 133基尔霍夫定律的应用——支路电流法 支路电流法是分析电路的最基本方法。它是以支路电流为未知量,应用KCL和KVL列出 方程,而后求解出各支路电流的方法。支路电流求出后,支路电压和电路功率就很容易得到。支 路电流法的解题步骤如下 1.确定支路数目。若有b个支路电流,则列出b个独立方程 2.标出各支路电流的参考方向。根据结点数目用KCL列写出结点的电流方程。若有n个 结点,则可建立(n-1)个独立方程。第n个结点的电流方程可以从已列出的(n-1)个方程求 得,不是独立的。 3.根据网孔数目用KⅥL列写出网孔的电压方程。若有m个网孔,则可建立m=[b-(n 1)]个独立方程。 4.解联立方程,求出各个支路电流 例1-11试用支路电流法求解图1-30所示电路中的各支路电流 解:图1-30所示电路,它有3条支路、2个结点和2个网孔。为求3个支路电流,应列出 3个独立的方程,即 结点a 1+l2-l3=0 回路1 R11+R3l-Us1=0
代入上式得出分压公式 U1 = R1 R1 + R2 US U2 = R2 R1 + R2 US ( 1 - 24) 把数值代入上式可得 I = 2 A, U1 = 6 V , U2 = 14 V。 分压公式表明分压电阻上的电压与电阻值成正比,即电阻愈大, 分得的电压则愈大。 例 1 - 10 图 1 - 29 是一个分流电路。已知 R1 = 2 Ω, R2 = 3 Ω, IS = 10 A, 试求理想电流源 图 1 - 29 例 1 - 10 的电路 两端的电压 U 和电流 I1 、I2 。 解: 根据欧姆定律得 I1 = U R1 , I2 = U R2 根据 KCL 列写出结点 a 的电流方程 IS = I1 + I2 即 IS = U R1 + U R2 = R1 + R2 R1 R2 U 所以电压 U = R1 R2 R1 + R2 IS = ( R1 ∥ R2 ) IS = RIS 代入上式得出分流公式 I1 = R2 R1 + R2 IS I2 = R1 R1 + R2 IS ( 1 - 25) 把数值代入上式可得 U = 12 V , I1 = 6 A, I2 = 4 A。 分流公式表明分流电阻中的电流与电阻值成反比,即电阻愈小, 分得的电流则愈大。 1 .3 .3 基尔霍夫定律的应用———支路电流法 支路电流法是分析电路的最基本方法。它是以支路电流为未知量,应用 KCL 和 KVL 列出 方程,而后求解出各支路电流的方法。支路电流求出后, 支路电压和电路功率就很容易得到。支 路电流法的解题步骤如下: 1 . 确定支路数目。若有 b 个支路电流,则列出 b 个独立方程。 2 . 标出各支路电流的参考方向。根据结点数目用 KCL 列写出结点的电流方程。若有 n 个 结点, 则可建立( n - 1)个独立方程。第 n 个结点的电流方程可以从已列出的( n - 1 ) 个方程求 得,不是独立的。 3 . 根据网孔数目用 KVL 列写出网孔的电压方程。若有 m 个网孔, 则可建立 m = [ b - ( n - 1) ]个独立方程。 4 . 解联立方程,求出各个支路电流。 例 1 - 11 试用支路电流法求解图 1 - 30 所示电路中的各支路电流。 解: 图 1 - 30 所示电路, 它有 3 条支路、2 个结点和 2 个网孔。为求 3 个支路电流, 应列出 3 个独立的方程,即 结点 a I1 + I2 - I3 = 0 回路 1 R1 I1 + R3 I3 - US1 = 0 · 16 ·
图1-30例1-11的电路 回路2 R2Z2-R3b+U2=0 代入数值联立求解,可得l1=4A,l2=-1A,l3=3A 例1-12试用支路电流法求解图1-31所示电路中的各支路电流。 A es v 图1-31例1-12的电路 解:图1-31所示电路中,因为含有理想电流源的支路电流I=l=5A是已知的,只有 和b是未知的,故可少列1个方程,只需列出2个方程。即 结点a 12-I3=Is 回路1 R2I2-R I= Us 代入数值联立求解,可得l2=2A,l3=-3A 用支路电流法求解电路必须解多元联立方程,求岀每条支路的电流。而在很多情况下却只 要求求出个别支路的电流就可以了,这时应用支路电流法就显得十分繁琐 14电路的常用定理 前面我们已经学了应用欧姆定律、基尔霍夫定律、电压源与电流源的等效变换、支路电流法 等方法,分析电路。下面介绍,应用电路的几个常用定理来分析电路的方法 141弥尔曼定理 对于只有两个结点而由多条支路并联组成的电路,在求各支路电流时,可以先求出这两个结
图 1 - 30 例 1 - 11 的电路 回路 2 - R2 I2 - R3 I3 + US2 = 0 代入数值联立求解,可得 I1 = 4 A, I2 = - 1 A, I3 = 3 A。 例 1 - 12 试用支路电流法求解图 1 - 31 所示电路中的各支路电流。 图 1 - 31 例 1 - 12 的电路 解: 图 1 - 31 所示电路中, 因为含有理想电流源的支路电流 I1 = IS = 5 A 是已知的, 只有 I2 和 I3 是未知的,故可少列 1 个方程, 只需列出 2 个方程。即 结点 a I2 - I3 = IS 回路 1 - R2 I2 - R3 I3 = US 代入数值联立求解,可得 I2 = 2 A, I3 = - 3 A 用支路电流法求解电路必须解多元联立方程, 求出每条支路的电流。而在很多情况下却只 要求求出个别支路的电流就可以了,这时应用支路电流法就显得十分繁琐。 1 .4 电路的常用定理 前面我们已经学了应用欧姆定律、基尔霍夫定律、电压源与电流源的等效变换、支路电流法 等方法,分析电路。下面介绍, 应用电路的几个常用定理来分析电路的方法。 1 .4 .1 弥尔曼定理 对于只有两个结点而由多条支路并联组成的电路,在求各支路电流时, 可以先求出这两个结 · 17 ·
点间的电压而后再求各支路电流。弥尔曼定理给出了直接求解结点电压的公式,这种方法称为 结点电压法 下面以图1-32所示两结点电路为例,介绍结点电压法 电路有a、b两个结点。设结点电压为U,则各支路电流 h RI RI 11+ Uab) R2 R2 12) l3=R3 图1-32结点电压法例图 将上述各式代入结点a的电流方程,经整理后可得两结点的 结点电压公式 11=12+13 U52+U U ab R R2 R R R 11 (1-26) R2 R R 上述公式中分母为两结点之间各支路的理想电压源为零(短路)后的电阻的倒数和,均为正 值;分子为各支路理想电压源与本支路电阻相除后的代数和。当理想电压源电压与结点电压的 参考方向一致时取正号,相反时则取负号。 例1-13试用结点电压法求图1-32电路中的各支路电流。已知Us1=54V, V,R1=39,R2=69,R3=2 解:用公式可求出结点电压Uab R R2 6 1工1111 V=6V RIR,Ra 3 将结点电压U的值,代入各支路电流的算式 A=16A R 3 Us2+U72+6 R2 b=-6 A=3A f2 例1-14试求图1-33所示电路的结点电压Uab 解:图1-33电路中有理想电流源支路,结点电压公式的分子 中应增加理想电流源的代数和。当理想电流源电流与结点电压的图133例1-14的电路
点间的电压而后再求各支路电流。弥尔曼定理给出了直接求解结点电压的公式, 这种方法称为 结点电压法。 下面以图 1 - 32 所示两结点电路为例,介绍结点电压法。 图 1 - 32 结点电压法例图 电路有 a、b 两个结点。设结点电压为 Uab ,则各支路电流 I1 = US1 - Uab R1 , ( US1 = R1 I1 + Uab ) I2 = US2 + Uab R2 , ( US2 + Uab = R2 I2 ) I3 = Uab R3 将上述各式代入结点 a 的电流方程,经整理后可得两结点的 结点电压公式 I1 = I2 + I3 US1 - Uab R1 = US2 + Uab R2 + Uab R3 Uab = US1 R1 - US2 R2 1 R1 + 1 R2 + 1 R3 = ∑ US R ∑ 1 R ( 1 - 26) 上述公式中分母为两结点之间各支路的理想电压源为零 (短路) 后的电阻的倒数和, 均为正 值;分子为各支路理想电压源与本支路电阻相除后的代数和。当理想电压源电压与结点电压的 参考方向一致时取正号,相反时则取负号。 例 1 - 13 试用结点电压法求图 1 - 32 电路中的各支路电流。已知 US1 = 54 V , US2 = 72 V , R1 = 3 Ω, R2 = 6 Ω, R3 = 2 Ω。 解:用公式可求出结点电压 Uab Uab = US1 R1 - US2 R2 1 R1 + 1 R2 + 1 R3 = 54 3 - 72 6 1 3 + 1 6 + 1 2 V = 6 V 将结点电压 Uab 的值, 代入各支路电流的算式 图 1 - 33 例 1 - 14 的电路 I1 = US1 - Uab R1 = 54 - 6 3 A = 16 A I2 = US2 + Uab R2 = 72 + 6 6 A = 13 A I3 = Uab R3 = 6 2 A = 3 A 例 1 - 14 试求图 1 - 33 所示电路的结点电压 Uab。 解:图 1 - 33 电路中有理想电流源支路, 结点电压公式的分子 中应增加理想电流源的代数和。当理想电流源电流与结点电压的 · 18 ·