p{|X-E(x≥e} f(x)dx≤ 〔x-E(x)2f(x) x-E(X)De Var(X)/ 对于一般的随机变量类似可证。 根据性质(3),我们立即可证 (4)若Vaτ(X)=0,则P(X=E(X))=1。 高阶矩 对数学期望和方差作进一步推广,可得随机变量的高阶 矩 定义1.10记(b)≡E[(X-b),它称为随机变量x 关于b的r阶矩(若存在).特别,当b=0时,称为X的 r阶原点矩,并简记成:当b=E(X)时,称为x的r阶中 心矩,并简记成H。 显然,E(x)是一阶原点矩,Var(x)是二阶中心矩,而 阶中心矩恒为零。存在当且仅当存在,若H存在,则 切H4(<r)都存在。在三阶和四阶矩中,比较有用的是偏 斜系数和峰态系数 定义1.11,=3/P2称为随机变量X的偏斜系 数;2=412-3称为随机变量X的峰态系数而 Cx=0(X)/E(X)称为随机变量x变异系数 利用y,和y2,可以检验一个分布是不是正态分布(参看 第五章)或对分布函数进行分类,构造近似分布,如文献[9 中第224页的以,4)和%,)表就是利用这个办法算出来 的。若随机变量x的值较小(如称中药),则相应的E(X)
和()均较小;若X的值较大(如称大米),则相应的(X) 和0(x)也较大,直接比较两者的标准差是不合理的,这时采 用变异系数就可互相比较了 定义1.12v(b)=E|X一刮称为随机变量X关于b 的y阶绝对矩;若b=0,称它为X的r阶绝对原点矩,记为 v;若b=E(X),称它为X的r阶绝对中心矩,记为"r v常称为随机变量X的平均变差,显然X+c的平均变 差与X的平均变差是相同的。 对于离散型随机变量,利用阶乘矩来讨论某些问题是颇 方便的,其定义如下 定义1.13邸(b)三E(X-b)()=E[(X-b)(X b-1)…(x-b-+1)称为随机变量x关于b的阶阶乘矩 当b=0时,称为x的y阶阶乘矩,记作r)3当b=E(X) 时,称为x的y阶阶乘中心矩,记作x, r阶原点矩与r阶中心矩可以相互表出,由定义 利用二项式展开,即得 H=E(X)=E〔(X-H+4)〕 E∑C:(X-)-(1 =∑C#,-f() (1.29) 0 类似地可得 μ=∑(-1)C-:(m (1·30) 在阶乘矩与阶乘中心矩之间也有类似的公式
∑C{r-") ∑(-1yC 阶乘矩和原点矩之间也可互相表出,这时因为X(=X(X 1)…(X-n+1)是X的v阶多项式,存在系数{S1(华,m)} 满足 ∑S(n,m)X 1。31) 反之,也可表成{Xm}的一个%阶多项式 X"=∑S2(%m)x (1.32) 够=0 不难看出,满足(131)和(132)的{S1(,物分和{S2(%,m)} 是唯一的,习惯上称{S(,m)}为一阶 Stirling数,称 {S2(%,m)}为二阶 stirling数,它们在组合论和概率论中有 许多应用,并列有专表,我们以后还要用到它们利用 Stirling 数得 ∑S1(,i) (1。33) =∑S2(r,i (1.34) 关于 Stirling数的性质,读者可参看文献103 随机变量的另一类高阶矩叫做半不变量(累积量),它 们在极限理论和大偏差理论中很有用 定义1.14若随机变量x的各阶矩都存在,则由下面关 于t的恒等式
m(k+k:+…+共+) =1+H+"+…+以 1.35) 定义的K1,K2,…称做X的半不变量或累积量 半不变量与矩有如下的对应关系 K1=1=E(X) K2=μ-(H)2=Var(x) K3=4-3:2+2(1) K=-3(2)2-41山+12()-6(H) 反之 i=K =K2+(K1)2 叫=K3+3K1K2+(K) H=K4+3(K2)2+4KK1+6(K1)2K2+(K1) 同时,半不变量还具有如下的简单性质: (1)如果随机变量X,Y独立,则随机变量x+Y的第 m阶半不变量等于x的第m阶半不变量与Y的第m阶半不变 量之和。 这个性质称为半不变量的可加性,我们可以发现,对于 原点矩{m没有类似的性质,这是它比矩方便之处 2)在变换Y=X+c下,半不变量(除一阶外)不 变,c为常数
四、其它特征数 定义1.15众数是指便得频率函数或密度函数达到极 大值的点,更详细地说当X为离散型随机变量时,若p≥p 对一切讠成立,则称x为X的众数:当X为连续型随机 变量时,若∫(x)=naxf(x),则称x为X的众数 如例1。13的众数是1000例1.9的众数是0,有时会 出现两个或两个以上众数的情况,如例111中,1和2都 是它的众数 定义1.16给定常数0<力<1,若存在ap,使得 (x<a)≤≤P(X≤ap) 则称a为随机变量x的φ分位点,当少=12时,相应的 a1/2叫做随机变量x的中位数 中位数是分布的“中点”,是刻划随机变量“均值”的 一种办法,对于那些数学期望不存在的随机变量,中位数常 常起了数学期望的作用 例115若随机变量x的分布密度是(哥西分布) 兀1+ 由微积分中一般的知识,立即判断它的数学期望是不存在的 现求它的中位数,因它的分布函数 F(x) 兀 1+t2 -tg(s) 1 连续,F(0)=1/2,故0是它的中位数