分位点在统计的假设检验中非常重要,许多重耍分布 的φ分位点都已列成表格,供使用时参考 第四节矩母函数与特征函数 虽然随机变量可以用分布函数来描述,但有时直接处理 分布函数会遇到一些困难,主要是数学上的困难,这时从数 学上可设法把分布函数转化为另一种形式的东西,使后者比 较容易处理。正如几何上有些不容易处理的事情,可借助三 角或代数(解析几何)变换变为容易处理的事情。矩母函缴 和特征函数就是应这个需要而产生的 定义1.17随机变量X的矩母函数M(t)定义为 M(升)=E(e4),-∞0<本<o (1.36) 这里e是自然对数的底 若x为连续型随机变量,其密度函数为f(x),则 M() rf(xc )dx (1.37) 如果右边积分存在,并允许在积分号内进行微分,我们得 M(t) vef(x)dx, M'(O)=E(X) M"(#) x'e'if(x)d, x,M(0)=E(X 一般地有#=M)(0),后者表示M(切)的阶导数在h=0 时的取值。可见,只要有了矩母函数M(),通过微分运算 可方便地求得各阶原点矩,用这种方法有时比直接计算 E(X)要来得方便,大概这是之所以称它为矩母函数的主要 原因吧
矩母函数在处理一些其它问题上也有许多方便之处,但 可错不是每一个分布函数都存在矩母函数的,例如,若随机 变量x有分布 P(X=)=6/(丌)2,%=1,2,… 则它的矩母函数为 ∑ 6 上面的级数当>0时是不收敛的,因为它的通项 当→∞时 于是人们在寻找对一切分布函数都存在的工具,就产生了特 征函数。为此首先要引进复随机变量的概念记 故e=csX+ sinta,定义 E(efix)=E(cosX)+iE(sintX) (1。38) 定义1.18随机变量X的特征函数定义为() E(e)。当x为离散型随机变量时 中(t)=∑(ctx)次+讠∑(sinx) ∑e"kφ 当X为连续型随机变量时 中() (costa)f(x)dx+i (sintx)f(x)dx 了f(x)以x 由于l=[cosx+sn2tx)1/2=1,所以特征函数总是存在 的.特征函数有许多很好的性质,由于要涉及到较多的数学
知识,故在此我们仅仅列出而不给出证明. 1)中()是一个有界的连续函数,卩(圳)≤1对一切 成立 (2)φ(0)=1 (3)若随机变量X有阶矩存在,则n_1((0) 反之,由φ(0)存在不一定能保证X有r阶矩,但可以证明 X有y-1阶矩存在 4)若随机变量x的各阶矩都存在;则它的特征函数 为 小()=1+∑ (话) (1。39) 5)若随机变量X的特征函数为dt,则Y=a+bX (a,b为实常数)的特征函数为y(t)=ea(b) (6)特征函数与分布函数是一一对应的。详细地说, 若X的分布函数和特征函数分别是F(x)和中(),Y的分布函 数和特征函数分别是G(y)和(t),则F≡G当且仅当巾一中 这是一个极为重要的性质,它表明处理特征函数等价于 处理分布函数 通常我们还会碰到一种叫做阶乘矩母函数的函数,特别 是当随机变量为离散型随机变量时,利用它作过渡,可以方 便地求得矩母函数与特征函数。 定义1,19若随机变量X的各阶矩都存在,{r}为 它的原点阶乘矩,A(=1,令 G()=∑,H (1。40) 它称做X的阶乘矩母函数 33
离散型随机变量的阶乘矩母函数G()和矩母函数M() 之间有密切的关系 (了)M(4)=G(e-1) (11) 证明由G()的定义有 G(-1)=∑ (#-1) =0 ∑(;1)∑p ∑∑; =0?!7(-1) ∑p∑ (t-1) (因为当r≥时yr=0) ∑p∑C(t-1) ∑力(t-1+1) ∑p 从而 Go p M(E 对常见的离散型随机变量比较容易求得,从而也可 求得G(4),利用上述关系便可求得M(),利用这样一个路 线来求矩母图数是方开泰建议的,并成功地用于占有问题的
分布(见文献〔11)或下章第四节等) 还有一种母函数叫概率母函数,其定义为 φ(B)=E(扩) 显然,当M(存在时,有 M(E)=l(er) 由此我们也可知道y)并不总是存在的.若X有y阶矩存在, 则有 r=0() f=1 以后恒用M(#),甲(t),G()和(吵)分别表示蹺机变量的矩 母函数、特征函数、阶乘矩母函数和概率母函数 第五节随机向量及其分布 本节是将第二、三、四节的内容推广至多个随机变量(叫 随机向量)的情形,对于初次接触概率论和数理统计的读者 可以跳过本节和下节,等读到第三章第五节时再回过来读这 两节,因为从书的结构上来看,这两者放在这儿比较恰当, 对于有一定数学基础的读者,可以依次阅读,不会有太大的 因鞋。 、随机向量 在有些随机现象中,每次试验的结果只用一个随机变量 来描述还不够,而要同时用儿个随机变量来描述.例如对于 钢的成分,需要同时指出它的含碳量、含硫量、含磷量等 又例如炮弹在地面的命中点的位置是由亠对随机变量(两个 坐标)来确定的;电子放大器的干扰电流是由其振幅和相位