f(r) 图1.12 可算得数学期望(记作E(X) E(X)=∑x;=∑ C:+Ci+Lf(x)dx 2 若将分点c1,c2,…越分越细,由数学分析中积分的定义,上 式趋于xf(x)dx.故对连续型随机变量,我们用 E(X) xf(x)dr 作为数学期望的定义 这星要注意的是(118)的级数(若求和项有无限项)或 (119)的积分不一定收敛,故通常是假定 ∑p<∞或∫lf()l 时数学期望的定义才有意义。下面是(1.18)不收敛的例子 例112数学分析中有一个很有名的事实是级数 ∑(1/n2)是收敛的,记a=∑(1/m2),而级数∑(1/"m)
不收敛,若随机变量X的取值为1,2,…,相应的概率是 P(X=%)=1/(an2),%=1,2… 代入到(1。18)式 ∑xnp=∑l=d∑(1/m) 1 不收敛 读者也许会认为,这是从数学上杜撰出来的例子,在实 际中不一定存在。诚然,在实际中绝大多数的随机变量都是 存在数学期望的,但的确也存在实际中有意义的分布,而它不 存在数学期望,如在第四章中介绍的哥西( Cauchy)分布 利用分布函数F(x)可将(1.18)和(1.19)式统一成如 下的形式 E(X)= xdF(x) 1。20) 这里的积分是斯蒂尔青斯积分,在概率和统计中很有用,在 高等数学或实变函数的教科书中可找到这类积分的定义和性 质。本书的结果建立在公式(118)和(119)的基础上,不致 给不理解斯蒂尔古斯积分的读者带来困难,所以,下面的讨 论、证明仅是示意性的,并不十分严格 由数学期望的定义,可知它有如下性质: (1)常数的数学期望等于该常数。若c为常数,则 E(c)=c。因为可以定义一个随机变量X,P(X=c)=1,由 (118)式 E(c)=E(X)=c·1÷c 2)若c为常数,则有 E(X+c)=E(X)+c (1。21) 若X是离散型随机变量,其概率分布为(1.10),由(118)
式 E(X+C)=∑(数+C)=∑xp+c∑力 E()+c 若X是连续型随机变量,其密度函数为f(x),由(119) 式 E(x+c)=(+c)(x) ∫xf(x)dx+∫几x)l E(X)十 3)若c是一个常数,则有 ECCX)=CE(X) (1。22) (4)若X和Y是两个随机变量,则 E(X+Y)=E(X)+E(Y)。 5)若随机变量X和Y独立,则 E(XY)=E(XE(Y) 性质(4)和(5)将在本章第五节作进一步说明。 二、方差 数学期望描述了随机变量的平均值,在实用中,它是一 个很重要的量,但是,仅知道它往往是不够的。下面我们先 看一个例子 例1。13甲、乙两个灯泡厂生产同一批型号的灯泡, 其寿命情况是 寿命(小时)500990190011001500
;(甲厂)0200.600.2 p(乙厂) 00。20,60。20 简单计算知道,甲、乙两厂灯泡寿命的数学期望都是100 小时,但显然乙厂的质量比较好,因为质量比较稳定,而甲 厂寿命的波动比较大。这说明需要一个反映随机变量波动大 小的特征数,在实际中应用最广的是方差和标准差, 定义19若x的数学期望E(X)存在,且EX-E(X) <∞,则EX-E(X)叫做x的方差,并用Varx)表示s 它的开方叫做X的标准差,记作0(X) 当X是离散型随机变量时,容易看出 var(X)=∑p-B(X)〕2 (1。25) 当X是连续型随机变量时, Var(X)= [x-E(X)]2f(x)dx (1.26) 当var(x)<∞时,称X有方差存在当Ⅴar(X)=∞时,称x 的方差不存在 用公式(1。25)计算例1.13中甲、乙两厂生产灯泡之寿 命的方差和标准差为 Var(X甲)=0,2(500-1000)2+0.6(1000-1000)2 0.2(1500-1000)2=100000(平方小时 0(X甲)=√10000-316(小时) var(Xz)=0。2(990-1000)2 0。6(1000-1000) +0。2(1100-100) =40(平方小时) (X乙)=√40÷6.3(小时)
我们看到Var(x甲)比var(xz)大得多,表示后者的质量比 前者显著地好。同时我们还注意到,方差的量纲是平方小时, 而标准差的量纲是小时,由于后者与随机变量的量纲相同, 使用时非常方便,故在实践中更多地使用标准差 例1.14计算例19的均值、方差和标准差 解由(119)和(1,26)式,利用分部积分法求得 E(x)=x0001e-000dx =000)yiy=100(小时) 0 Var(X)=(x-1000)2·0001e-0,*x =1000(平方小时) 0(X)=v1000÷31。6(小时) 根据方差的定义,我们可以证明方差有如下的性质 1)如随机变量x的方差Var(X)存在,则 Var(aX+b)=a(X) 其中a,b为常数。特别当w=0时,有Var(b)=0。 (2)在计算中,有时常用下面的公式 Var(X)=E(x2)-〔E(X)〕。 (1.27) 性质(1)、(2)的证明只要根据方差的定义和均值的性 质,经过简单计算便可得 (3)若随机变量X的方差Var(X)春在,则对任意 e>0,有 P{1X-E(x川≥e≤Var(x)e2 (1.28) 证明设X为连续型随机变量,其密度函数为f(x), 则 0·