F(x)=∑p 1.16) 对例12定义的随机变量,它的分布函数的图形如图19所 示,我们看到的是一个阶梯状图形,每通过X的取值,图形 bz34b}81 图1.9离散型分布函数 向上跳01.图上打箭头表示顶点并不在线上.例如,当*< 1时,F(x)=0;当x=1时,F(x)=01;当1≤x<2时, F(x)=0·2·因此,x在1处有一个跳跃,由于F(1)=0,1 与右边的线段相连,F(x)在x=1处是右连续,对y=2,3,… 10有类似的说明,当x≥10时,F(x)恒为1.一般的情况 图形在x=处跳跃φ,所以F(x)与(110)之间可相互 唯一决定。 图1.10连续型分布函数 2t
当X为连续型随机变量时,由(1·12)和(1.15)有 F(x)=「f(t)ad (1.17) 当f(x)恒大于零时,它的形状大致如图110所示在这种 情况下,同样可以证明F(x)和∫(x)可以相互唯·一地确定 这说明分布函数既可以表达离散型随机变量,又可表达连续 型随机变量。它是用来描述随机变量最有用的工具之一。 分布函数F(x)有如下的性质: (1)分布函数是非降函数,即当x<y时,F(x)≤F(y) 这是因为事件{X≤xC{X≤y} (2)F(-∞)=0,这是因为{X≤一∞}是一个不可能 事件 (3)F(+∞)=1,这是因为{X≤+∞}是一个必然事 件 4)X落在某个区间的概率为 P(<x≤b)=F(b)一F(a) 离散型分布和连续型分布虽是两种重要的分布,然而却 远未穷尽一切分布,下面的例子既不属于连续型分布,又不 属于离散型分布 例1.10给定分布函数如下 第<0 F(x)=(1+x)/20≤m<1 1 其图形如图1.I1所示,它既不能表成〔1.16)的形式,也不 能表成(117)的形式,而是混合型的,实际上,它是如下 两个分布函数的叠加
图1.11 0X<0 E1(x) 1x≥0 0 x<0 F2(x) 0≤x<1 1 ≥1 而F(*)=F(x)+F2(x)。显然F是离散型的,F是连 2 续型的,它们的叠加F就是混合型的了 实陈上,还存在一类论上很有价值,然而实际问题中 很少出现的“奇异型”分布函教,详细讨论这类分布已超出 本书的范围。不论什么类型的分布,都可用分布函数来描述 和处理,可见分布函数是个很有用的工具,在现代统计理论 中,它起了很重要的作用。利用分布函数来处理各种问题, 需要用到“斯蒂尔吉斯( sTieltjes)积分”,这种积分在“实 变函数”课程中有介绍,考虑到不少读者不了解这种积分, 我们通常只好分别处理离散型和连续型随机变量, 定义18两个随机变量Ⅹ和Y者有相同的分布数, 则记作x=Y 23
以后我们将看到,有相同分布的随机变量x和Y,它们 可能代表完全不同的实际问題,尤如“5”可以代表5公斤 苹果,也可以代表5架飞机 随机变量的函数(若有意义〉仍为随机变量,如X是随 机变量,则x2,ex,1/(1+x2),sinX仍为随机变量。若Ⅹ和 Y是随机变量,则X±Y,XY,x/Y(若Y午0)等也为随机 变量。 第三节随机变量的特征数 为了能够全面地表达随机变量X的概率性质,自然应该 知道X的分布函数F(x)。然而,在许多实际问题中,并不 需要知道ⅹ的一切概率性质,只需要了解它的某些性质就够 了·例如,若X表示某交换合每分钟内的呼唤次数,在实际 中常需要知道的是每分钟的平均呼唤次数λ,而不是X的分布 函数F(x),而平均呼唤次数λ是可以由F(x)算出来的。这 里λ是一个数,而F(x)是一个函数,显然处理一个数比处 理一个函数要方便得多,故在实际中象λ这样的数很受欢迎。 平均呼唤次数λ有两个特点,一是它是由分布函数F(x) 算出来的一个数,二是它是很能代表F(x)特性的一个数, 这样一类数叫做分布函数的特征数。于是人们在探索,一类 什么样的数能够最好地反应分布的特征呢?长期实战和理论 的探讨,发现分布函数的各种矩是相当好的特征数。本节介 绍各种矩的定义、性质和相互之间的关系,此外,还介绍一 些其它有用的特征数。 、数学期望 刚才我们讲到,每分钟的平均呼唤次数λ是个很有用的
量,那么我们研究一下如何来计算它 例1.11某交换台每分钟的呼唤次数及相应的概率如 下 呼唤次数01 概率01350.2700.2700180009000400.015 求每分钟的平均呼唤次数λ 解如果按照呼唤次数的算术平均(0+1+…+6)/7=3 作为平均呼唤次数λ显然是不合理的,因为每分钟呼唤次数 相应的概率是不一样的。比较合理的算法应是 λ=0×0135+1×0.270+2×0。270+…+6×0。015 2 即用概率作为“权”进行加权平均,计算结果表明,每分钟 平均呼唤次数为2次。在统计中,象平均呼唤次数这样的量 叫做数学期望 将上例的算法一般化,若X为离散型随机变量,有概率 分布(1,10),它的数学期望是 E(X)=∑xp (1。18) 它反映了X的平均性质,故有时称E(X)为X的均值 若x为连续型随机变量,有分布密度f(x),如何计算它 的数学期望呢?我们设想将这个分布离散化,其做法是将由 轴和∫(x)围成的区域用点c,C2,…均匀地分成若干区间, X落在区间(c;c+)中的概率是 i p ∫(x)l,讠=1,2, 设想X落在区间(c,C+)的概率全部集中在它的中点x≡(c +c;+)/2上,于是得一离散型概率分布(1.10),由(118)式 25