笫二节随机变量及其分布 随机变量的定义 上节我们介绍了如何用随机事件和它的概率来描述随机 现象,其中有许多问题与数值有关,如例12,它的每个基 本事件是由球上的数字来确定的。描这样的随机现象,我 们可以采取另一种方法,令X=随机抽取的球上的号码,则 x的取值是1,2,…,10中的任一个,并且基本事件{t}可以 通过X来表示,即 X=;,=1,2,…,10 由于这是一个古典概率模型,有 P(0;)=P(X=4)=1/10,讠=1,2,…,10 我们看到用X这个变量来描述例12是非常方便的,由 于这个变量的取值事先是无法确定的,并且是以一定的概率 来取值的,故称之为随机变量若用X表示某电话交换台在 某段时间内所接到的呼唤次数(参例13),则X的取值为0, 1,2,…,由经验叮求得 =P(X=i),么=0,1,2 这是随机变量的另一个例子。细心的读者自然会问,能否用 随机变量来描述例1.1呢?因为在其中并没有出现任何数 字。处理这个问题并不困难,若令出现正面时X取数“1”, 出现背面时取数“0”,于是 P(X=0)=P(X=1)=1/2 上述的例子中随机变量取的都是一些整数值,还有这样的随 机变量,它的取值可能是某个区间中的任何一个数,请看下 面的例子
例18从北京市正常体梨成年男子中任取…个人,测 量他的身高。若用X表示身高的厘米数,则X的取值一定是在 某个区间中的某一个数,至于取哪一个事先是不能知道的 从上述几个例子我们看到,随机变量与通常的变量有很 大的不同,通常的变量取值是完全确定的,而随机变量的取 值,不能事先确定,受到随机因素的影响,并以一定的概率 来取各种值。 随机变量在试验(观察)之前是一个不确定的量,它可 能取各种不同的值,但在试验(观察)之后,它只能取这些 可能值中的一个,这个值叫儆随机变量的观察值。如例1.2 中,在球未抽出之前,球上的号码是个不确定的量,它有10 种可能性,但一旦抽出后,若球上号码是4,则4就是这个 随机变量的观察值.以后用大写的英文字母表示随机变量 (奶Ⅹ),它的观察值用数字或小写英文字母表示,如X=v 随机变量按其取值的情况不同,可分为离散型随机变量 (如例11、12和13)和连续型随机变量(如例1.8),下 面分别来叙述 离散型随机变量 定义15如果随机变量X只能取有限个或可数个值, 并以各种确定的概率取这些不同的值,则称ⅹ为离散型随机 变量 设X的取值为x;x2,%3…,相应的概率为力=P(X= x),i=1,2,…,显然{小}满足 i)p:≥0 1.2 i)∑p
通常用一个二行的数组(称作它的分布)来表示 !32X3 1●10) 它常画成图18的形状来表达 如例11可表为 050。5 例12可表为 10 0.10,1…0。1 图18离散型分布 若例1.3中的 p z=0,1,2 111) 其中λ>0是某个常数显然p>0,讠=0,1,2,… ∑p e=1 3喜 故可表为
0 2 B 在第二章我们将介绍常见的离散型分布,讨论它们的性 质和应用 连续型随机变量 如果随机变量X取值充满某一个区间,并且X的值落 在任何一个子区间内的概率都是确定的,这样的随机变量称 为连续型随机变量,例如晶体管的寿命、北京地区冬天的降 雪量。上海市高空臭氧的含量(反映城市空气污染的情况)、 某一块土地上棉花纤维的长度等。 连续型随机变量用数学的语言来描述其定义如下: 定义16-个随机变量称为连续型的,如果存在一个 非负可积函数f(x),使得 P(asX<b)= f(x)ds (1.12) 对一切 a<b<十∞成立,此时f(x)称为X的分布密 度函数或简称分布密度或密度函数或密度 由于事件{-∞<X<+∞}的概率为1,故 + f(x)dx=I (1·13) 例19若X表示某晶体管的寿命,它是一个连续型的 随机变量,其分布密度是 <0 ∫(x)= 0·001e -0001x x≥0 19
容易验证,它满足(1.13),于是寿命介于(a,b)之间的概率 为 P(a<X<b)=0.001-0:00x=e0-e-,0mub 例如,希望知道寿命大于1000小时的概率,这时a=100, b=+∞,由上式即得 P(1000<X)亠日-0001x100=e÷0.3679 大量的连续型随机变量的例子将在第三、四章作详细地 介绍。 继续讨论例1.9,若计算寿命落在(1,3),(1.5,25), (1.9,21),(199,2。01)的概率,由(1.14)式算得它们 分别是0。00200,0。0009,0·00020,0。00002.上述四个区 间,前一个套住后一个,数2落在每一个区间之中,不难看 出,若令这种包含“2”的区间无限缩小,可求得P(x=2) 0。这就是说,对连续型的随机变量,它取任何值的概率 恒为零,所以描述连续型的随机变量,不能用(1.10)的形 式,只能用(112)的办法。那么能否用一个统一的方法, 使它既适用于离散型的又适用于连续型的随机变量呢?这就 引进了分布函数的概念, 四、分布函数 定义17设X为随机变量,令 F(x)=P(X≤x),-∞<x<∞ (1.15) 则称F(x)是X的分布函数 若X是离散型随机变量,(1.10)是它的取值和相应的 概率,它的分布函数为 20