(i)由于有10件不合格品,废品只有4件,故 P(AB)=4/10=2/5 由此我们可以看到P(A)+P(A|B) 一般地,我们通过图1.7来 解释P(A|B)的含意,当已知B已 经发生,表示样本点可能的区域 是B,即这时样本空间缩小为B (已不是原来的样本空间),这时 A发生等价于样本点落在A∩B 的区域内,由概率的定义,若P 图17 (B)>0,则 P(A B)= P(AB) 1.4) 习惯上,常用公式(1.4)来定义条件概率,由例1.4, 算得 P(B)=10/1000=1/100,P(AB)=4/1000=1/250,从 而可验证(1.4)式的正确性 P(AB)≈P(AB)_1/250100 P(B)1/100250 条件概率在实际中是个非常重要的概念,读者一定要下 功夫理解它,由公式(14)可以验证条件概率有如下的性 质 i)0≤P(A|B)≤1; (i)P(2!B)=1 (i)若A1;…,A,…是互不相容的事件,则 f("UA)=∑P(AB)(x.5 =↓ 除此以外,条件概率还信几个很重要的公式
定理1.1(乘法公式)设A1…,A为%个事件,%≥2, 且P(A142…An-()>0,则 P(A1…A)=P(A1)P(A21)P(A3A1A2) P(AniA…An-1) 证明由(1.4)式得 P(AB)=P(B)P(AIB) 利用它,取B=A4…A-,A=A,得 P(A1…An)=P(A1…An-)P(A,|A…An-1), 然后,取B=A1…A-2,A=A,-1,弁注意P(A1…An-2)≥ P(A1…AA-,)>0,又得 P(A1…An)=P(A1…An2)P(An-1|A1…An-2) P(A,|A1…Ax-1) 如此下去,便证得结论 定理12(全概率公式)设A1,A2,…为有限个或无穷 个互不相容的事件,且UA,=,P(4)>0,=1,2,… 则对任一事件A,有 P(A)=∑P(An)P(A|A (1.6) 证明因为Aca,故A=Ana=An(U4)= U(AA,),由设{An}互不相容,故{AA)互不相谷,由 (15)式得 P(A)=∑P(AAn)=∑P(An)P(A|A) 利用乘法公式和全概率公式,可方便地算得各种要求的
概率,请看一个最常见的例子 例15有10个人抓阄,其中只有三个是中的,抓阄时, 人抓完后下一个人接着抓,问第二个人抓中的概率是多 少? 显然,第一个人抓中的概率是3/10。用A表示“第 个人抓中”这一事件,A2表示“第一个人未抓中”这一事件, 显然A1∪A2=9,A1A2=中再令A表示“第二人抓中”这 事件,由公式(1。6)得 P(A)=P(A1)P(A|A1)+P(A2)P(A|A2) 很容易算得 P(A1)=3/10,P(A2)=7/10 P(A|A1)=2/9,P(AlA2)=3/9 代入得 P(A)=2· 32736+213 109109 90 这说明第二个人抓中的机会与第一个人是相同的,这与经验 是吻合的。类似地,可以算出,任何一个人抓中的概率都是 3/10 定理1.3(贝叶斯( Bayes)公式)设A,A2,…为有 限或无穷多个互不相容的事件,UA,=a,P(A,)>0, 磐=1,2,…,则对任一事件A,P(A)>0,有 P(AmIA) P(AlAm)P(Am) ,7=1,2,…(1,7) ∑P(An)P(A|An 证明由(1.4)式得 P(AlAm)P(Am)=P(AAm)=P(A)P(AmIA
然后将P(4)用(1,6)式代入即得欲求的(1 例16根据统计数据,诊断有肝癌与某种化验的阳性 有关,用A表示试验反应为阳性,B表示被诊断者患有肝癌, 并且 P(AB)=0.98,P(AB)=097,P(B)=0,005,已知 一人试验反应为阳性,试求此人确患有肝癌的概率P(B1A) 解利用贝叶斯公式(1,7),有 P(B A P(B)P(AB P(B)P(AB)+P(Bl)P(A B) 0005×0.98 0.141 0.005X0.98+0.995×0。03 这说明虽然患有肝癌的人大部分反应均为阳性,但反过来, 在反应为阳性的人中患肝癌人的比例并不很高 五、独立性 若事件A发生与否和事件B发生与否无关,则称事件 A与B是相互独立的。这时P(A|B)=P(A),由公式(1。4) 得 P(AB)=P(B)P(A B)=P(B)P(A 于是在一般的教科书上就用这个公式来定义独立性。 定义13设A,B为两事件,如满足 P(AB)=P(AP(B) 则称事件A与B是相互独立的 若A和B独立,则不难推出如下三对事件(A,B), (A,B),(A,B)也分别是独立的 定义1.4设A1,…,An是”个事件,我们说这些事件是 相互独立的,如果对任意的s(2≤s≤%),任意1≤<<…
<斜≤%有 P(A…A,)=ⅡP(4) 这等价于有下列2”个等式成立 P(d1…An)=P(A1)…P(An) (共C个 P(A1…Ag…An)=P(A1)…P(A2)…P(A)(共C个) (A1…la…A…An)=P(A1)…P(A)…P(A5 P(A,) 共Cz个) P(A…A5)=P(A1)…P(45) (共Cn个) 独立性”这个概念在概率统计中是一个极其重要的概 念,必须引起读者的注意。同时,我们在此还要提及一点, 即由事件A,…,An的两两独立性不能推出它们的相互独立 性 例17设一箱内含有四个球,分别标以号码1,2,3和 4,且每个球被抽到的可能性都相同,如果令O;抽到的 球之号码为讠,=1,2,3,4,则有9={01,02,3,O},P({0}) 1/4,=1,2,3,4.考虑事件A={1,O2},A2={1,3} A3={0,o4},则P(A1)=P(A2)=P(A1)=1/2,且A1A2 AtA3=A2As={}所以 P(A142)=P(A1A)=P(A2A3)=1/4=1/2·1/2 P(A1)P(A2)=P(A1)P(A1)=P(A2)P(A3) 因而事件A1,A2,A3两两独立;而 P(A1AAa3)=P({1})=l/4午1/8=P(A1)P(42)P(As) 所以,A1,A2;A3不相互独立