的包含关系ACB.反之,设集合AB,当事件A发生时, 必有A中的某个基本事件a发生,既然此∈A,就有a∈B, 故事件B也发生,这说明事件A是B的特款。由此可 见,“事件B包含事件A”与“集合B包含集合A”两概念 是一致的。为了便于对照,我们把它们的术语列于表1。1 、概率及其公理化定义 我们观察一个随机试验的各种事件,一般来说,总会发 现有些事件出现的可能性大些,有些事件出现的可能性小些, 有些事件出现的可能性彼此大致相同。例如,在例1,2中, 随机抽取一个球,考虑事件A:“抽到球的数字是2”,B:“抽 到球的数字是偶数”,显然,事件B出现的可能性大于事件 A出现的可能性,因为前一事件是后一事件的特款既然各 事件出现的可能性大小不同,人们自然想到用一个数字P(A) 来标志事件A出现的可能性,较大的可能性用较大的数字来 标志,较小的就用较小的数宇,这数字P(A)就称为事件A 的概率 在概率论的发展史上,人们曾针对不同的问题,从不同 的角度给出了定义概率和计算概率的各种方法,然而所定义 的概率都存在一定的缺陷,在哲学上有许多争论,所以毋宁 说它们只是一些计算概率的方法。 1·几种概率计算方法 (1)古典型对于某一随机试验E,如果(i)全体基 本事件D1,…,0n只有有限个;(i)每个基本事件出现的可能 性都相同,则称E为古典型随机试验 对于古典型随机试验,任意事件A,对应的概率定义为
P(A)=事件A包含的基本事件数(k)/基本 事件总数(n)。 若将例1.2考虑成古典型随机试验,令A={球上的数字 是偶数},于是v=10,A中包含五个基本事件,即k=5 由公式(1.1) P(A)=5/10=1/2 与经验是吻合的,在第二章我们将看到更多的实际例子 对于(1·1)定义的概率,它具有 性质(*)(i)设A为任一事件,则0≤P(A)≤1 (i)对必然事件2,有P(2)=1 ii)如A1;…;Am互不相容,则 以(U4)=∑ P(山) 2)几何型用枪打靶,假想打中靶上的任一息的可 能性是相同的,在一次射击中,射中图 15中区域A的概率,直观上可以用A的 面积除以靶(用a表示)的面积来表示, 邸 P(A)= A的面积 靶的面积 图 一般地,设某一随机试验,其结果〔看作一个点)必落在 之中,并具有“均匀性”,即试验结果必落在黑中,而且落在 某区域A(c)中的可能性大小与A的度量大小L(A)成正 比,而与A的位置及形状无关,事件A的概率定义为 P(A)=L(A)/L(9), (1.2) 对于几何型概率的计算,在一般的概率论书上都有,比 较典型的有“约会问题”、“蒲丰( Buffon)的针间题”等等
我们在此就不举例了。 易见,几何概率(12)也具有性质(*) 〔3)频率设E为一随机试验,A为其中任一事件, 在相同的条件下,把E独立重复试验%次,以f(A)表示 事件A在这次试验中出现的次数,比值 F,(A>=f,(a)/ n 称为事件A在这次试验中出现的频率,而∫(A)称为A 在这%次试验中出现的频数 易知,当A出现的可能性愈大,频率Fn(A)也愈大 反之,如果Fn(A)愈大,那么可以设想A出现的可能性也 愈大,因此,频率与概率之间有紧密的联系。可以证明,当 磐→∞时,在一定意义下,Fn(A)→P(A),因此,当%充分 大时,可以取频率作为概率的近似值,从而可以用这种方法 来求一些实际问题中的概率。用(13)定义的频率也具有 性质(*)。 概率的公理化定义 从上面我们看到,虽然我们讨论了特殊的概率计算,我 们从中可发现,对于古典概率、几何概率和频率都具有性质 *),这使人们想到:是否可以用这些性质来作为一般的 概率定义。近代的概率论的公理结构正是这样做的,它给出 了事件与概率的严格定义。 定义1.1设Q是拍象的点O的集,中的一些子集A 所成的集称为a中的一个0-代数,如果满足 (i9∈分 (ⅱ)如A∈罗;则A∈ (i)如An∈(m=1,2,…),则{A∈, 定义12设P(A)(A∈)是定义在0代数8上的实
渲集数,如果它满足下列条件 i)对每个A∈分,有0≤P4)≤1y i)P(Q)=1 (i)如A∈(v=1,2,…),且A1∩A1=中,ij 则有 (U4=∑P(A) 就称它为分上的概率测度,或简称概率,而称中的集为 事件,三元体(Q,分,P)为概率空间, 根据定义12,我们可得概率的性质如下 (1)P()=0 2)如A,B为两事件,且AB,则 0≤P(A-B)=P(A)-P(B),从而,P(A)≥P(B)。 特别地有 P(A)=1-P(A) (3)对任意%个事件A;…,A,有 P(A1UA2U…∪Aa)≤P(A1)+P(A2) P(A, (4)对任意两个事件A和B,有 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AnB) 为了书写方便,以后常用AB简 记A∩B.类似地,若A,B,C是 任意三个事件,则 P(A∪BUC)=P(A)+P(B) P(c)-P(AB)-P(ac) P(BC)+ P(ABC 这个公式由图16很容易导出, 只要理解公式中的每一项代表图 图1.6
中的哪个部位就行了,有兴趣的读者可自行推导四个事件或 任意”个事件的类似公式。 (5)若A1A2A…,A=A∩A2∩A…=∩A, 则 P(A)=lim P(A,), 若 A CAca2…,A=A1UA2、A3…=UA,则 P(A)=lim P(A, 四、条件概率 在实际问题中,一般除了要知道A的概率P(A外,有 时还需要知道在“事件B已发生”这一条件下,事件A发 生的概率P(A|B).一般地说,由于增加了新的条件一 事件B已发生”,所以,P(A)与P(A|B)不同 例14设某1000件产品中,有10件不合格品,而这10 件不合格品中又有6件是次品,4件是废品,现任意在1000件 产品中抽取一件(假设每件产品被抽到的可能性都相同),求 (i)抽到的是废品的概率 (i)已知抽到的是不合格品,它是废品的概率 解令A表示“抽到的产品是废品”这一事件,B表示 “抽到的产品是不合格品”这一事件 ()由于10004产品中有4件是废品,按古典概率计 算得 (A)=4/1000=1/250