具有时变时滞的变采样周期网络控制系统的稳定性分析

第36卷第8期 北京科技大学学报 Vol.36 No.8 2014年8月 Journal of University of Science and Technology Beijing Aug.2014 具有时变时滞的变采样周期网络控制系统的稳定性 分析 赵立英四，窦立亚”，刘贺平) 1)北京科技大学数理学院，北京1000832)北京科技大学自动化学院，北京100083 ☒通信作者，E-mail:livingzhaot@usth.cdu.cn 摘要研究了一类具有时变时滞和变采样周期的网络控制系统的稳定性问题.网络控制系统被建模为等效的具有输入时 滞的系统，通过构造一个新的具有不连续项的Lyapunov泛函，给出了线性矩阵不等式作为使得闭环系统指数稳定的充分条 件.通过求解这些线性矩阵不等式，可以找到一个常数作为采样时刻和输入更新时刻之间的上界，保证闭环系统的稳定性 数值仿真算例表明，该方法有效且相比已有文献局限性更小. 关键词网络控制系统：时滞：线性矩阵不等式：稳定性分析 分类号TP13 Stability analysis of networked control systems with variable sampling and time delay ZHA0 Li-ying》a,D00iya”,U He-ping》 1)School of Mathematics and Physics.University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 2)School of Automation,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China Corresponding author,E-mail:liyingzhao@ustb.edu.cn ABSTRACT This article focuses on the stability of networked control systems(NCSs)with variable sampling and time delay.NCSs are modeled as an equivalent input delay system.By introducing a novel Lyapunov functional with discontinuities,linear matrix ine- quality (LMI)based sufficient conditions are derived for the exponential stability of the closed-loop system.By solving these LMIs,we can find a positive constant that determines an upper bound between a sampling instant and the subsequent input update instant,which guarantees the stability of the closed-loop system.Numerical simulation examples show that this method is efficient and less conserva- tive than existing results in the literature. KEY WORDS networked control systems:delay:linear matrix inequalities (LMI);stability analysis 网络控制系统(networked control systems))是 络诱导时滞.这些问题会降低系统性能甚至使系统 应用网络将传感器、控制器和执行器连接组成的分 失稳.因而，怎样处理采样、网络诱导时滞和数据包 散式闭环反馈控制系统.与传统点对点的控制系统 丢失，使得网络控制系统稳定，引起了学者的广泛 相比，网络控制系统具有成本低，易于安装维护，可 关注回 实现远程操作和控制，灵活性高等优点，在汽车、工 现有三种方法用于采样系统的镇定：第一种，将 业制造、电力系统、机器人、航空航天等诸多领域得 问题转化成等效的有限维离散问题)，但该方法一 到了广泛的应用.由于网络带宽限制、网络负载变 般不适用于不确定的采样区间：第二种，将采样系统 化等因素影响，会使得采样区间变化，采样数据可能 建模为带有控制输入时滞的连续时间系统，用Ra- 被丢失且在到达目标之前经历不确定的、变化的网 zumikin或Lyapunov-Krasovskii定理分析其稳定 收稿日期：201406一19 DOI:10.13374/j.issn1001-053x.2014.08.020:http:/journals.ustb.edu.cn

第 36 卷 第 8 期 2014 年 8 月 北京科技大学学报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol． 36 No． 8 Aug． 2014 具有时变时滞的变采样周期网络控制系统的稳定性 分析 赵立英1) ，窦立亚1) ，刘贺平2) 1) 北京科技大学数理学院，北京 100083 2) 北京科技大学自动化学院，北京 100083  通信作者，E-mail: liyingzhao@ ustb． edu． cn 摘 要 研究了一类具有时变时滞和变采样周期的网络控制系统的稳定性问题． 网络控制系统被建模为等效的具有输入时 滞的系统，通过构造一个新的具有不连续项的 Lyapunov 泛函，给出了线性矩阵不等式作为使得闭环系统指数稳定的充分条 件． 通过求解这些线性矩阵不等式，可以找到一个常数作为采样时刻和输入更新时刻之间的上界，保证闭环系统的稳定性． 数值仿真算例表明，该方法有效且相比已有文献局限性更小． 关键词 网络控制系统; 时滞; 线性矩阵不等式; 稳定性分析 分类号 TP 13 Stability analysis of networked control systems with variable sampling and time delay ZHAO Li-ying1)  ，DOU Li-ya1) ，LIU He-ping2) 1) School of Mathematics and Physics，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China 2) School of Automation，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China  Corresponding author，E-mail: liyingzhao@ ustb． edu． cn ABSTＲACT This article focuses on the stability of networked control systems ( NCSs) with variable sampling and time delay． NCSs are modeled as an equivalent input delay system． By introducing a novel Lyapunov functional with discontinuities，linear matrix ine￾quality ( LMI) based sufficient conditions are derived for the exponential stability of the closed-loop system． By solving these LMIs，we can find a positive constant that determines an upper bound between a sampling instant and the subsequent input update instant，which guarantees the stability of the closed-loop system． Numerical simulation examples show that this method is efficient and less conserva￾tive than existing results in the literature． KEY WOＲDS networked control systems; delay; linear matrix inequalities ( LMI) ; stability analysis 收稿日期: 2014--06--19 DOI: 10． 13374 /j． issn1001--053x． 2014． 08． 020; http: / /journals． ustb． edu． cn 网络控制系统( networked control systems) ［1］是 应用网络将传感器、控制器和执行器连接组成的分 散式闭环反馈控制系统． 与传统点对点的控制系统 相比，网络控制系统具有成本低，易于安装维护，可 实现远程操作和控制，灵活性高等优点，在汽车、工 业制造、电力系统、机器人、航空航天等诸多领域得 到了广泛的应用． 由于网络带宽限制、网络负载变 化等因素影响，会使得采样区间变化，采样数据可能 被丢失且在到达目标之前经历不确定的、变化的网 络诱导时滞． 这些问题会降低系统性能甚至使系统 失稳． 因而，怎样处理采样、网络诱导时滞和数据包 丢失，使得网络控制系统稳定，引起了学者的广泛 关注［2］． 现有三种方法用于采样系统的镇定: 第一种，将 问题转化成等效的有限维离散问题［3］，但该方法一 般不适用于不确定的采样区间; 第二种，将采样系统 建模为带有控制输入时滞的连续时间系统，用 Ｒa￾zumikin 或 Lyapunov--Krasovskii 定 理 分 析 其 稳 定

·1124: 北京科技大学学报 第36卷 性-1：第三种，将系统建模为脉冲系统，通过构造 输入时滞的模型 Lyapunov函数得到稳定性条件6-).系统稳定性条 i(t)=Ax(t)+A x(t-d,()) 件以线性矩阵不等式形式给出，通过求解这些线性 tk≤t<tk+1心 (5) 矩阵不等式，可以找到一个正数来确定采样时刻s 其中A,=BK. 和下一个输入更新时刻+1之间差值的上界，称为 定义1m系统(5)是全局一致指数稳定的，如 最大允许传输区间. 果对于任意{s4,T:}∈/和任意初始条件xo,系统 本文基于第二种方法，将系统建模为具有控制 (5)的解全局存在，且存在常数c>0,e>0,使得 输入时滞的连续时间系统，构造了一个在输入更新 Ix()l≤ce--w. 时刻不连续的Lyapunov函数.利用已有定理，给出 引理1团假设存在正数9，、92c,以及Lya- 了闭环系统指数稳定的充分条件.数值算例表明， punov泛函V:B([-r,0],R）×Ro.)→Ro.x),对 本文得到的条件相比文献]局限性更小 于任意的{s4,T}∈6系统(5)的任意解x满足 1 问题描述 Gr()I≤Vx）≤9lx()I+gIr()Id 考虑如图1所示网络控制系统， (6) x(t）=Ax(t)+Bu(t). (1) (7) 其中，x(t)∈R”是状态向量，u(t)∈R"是控制输 W(x0≤-e3lx(I dt 入.A和B是合适维数的已知常矩阵.状态反馈控 V右连续，当t≠t,时完全连续，且 制器增益为K,则有 V(xt)≤limV(x,t) (8) u(t）=Kr(s),t4≤t<tk+1,k∈N. (2) 则系统(5)在/上是全局一致指数稳定的 式中，$表示第k次采样时刻，4表示第k次输入更 引理2回对任意对称正定矩阵M>0,标量 新时刻，也就是第k次采样数据到达目标的时刻. y>0,及可积向量函数w:0,y]一→R”,以下不等式 设第k次采样在闭环中经历的时滞为T4,则= 成立： Sk+Tk 控制 i=Ax+Bu 0- [o()d]n[ga(s]≤ y[o(rMw)ds] x(s) 时滞t, 2 主要结果 图1反馈闭环中带有时滞的网络控制系统 为分析系统(5)的稳定性，首先构造如下Lya- Fig.1 NCSs with delay in the feedback loop punov函数： 假设1传感器是时钟驱动，控制器与执行器 V(x,t)=V+V2+V3+V, 是事件驱动的. V,=x"(t)Px(t), 假设2输入更新时刻：是严格增的序列，且 时滞Tk可能会比采样区间s+1-s4大，这就意味着 V,-Q(@ada+ 若一个旧的采样比最新的采样晚到达目标，这个旧 fxr(a）e,x(a）da, 的数据将会被丢弃. J:-d2( 假设3采样-时滞序列{s4,T.}∈满足以下 ⅓=可aRx@ta+ 条件： /={(sk,T)l5k+1+Tk+1-s≤r,Tn≤T4≤Tmx}. x(a)R:x(a)da+xRx(a)da. (3) 定义 V()P.(dads+ d,(t)）=t-s,d2(t)=t-t4,t4≤t<t4+:(4) rf-7a）),(dads+ 由假设3可以得到d,(t)和d2(t)的取值范围，Tm ≤tk-sk≤d(t）≤tk+1-s%≤T,0≤d2(t）≤tk+1-k =+1-sk一T:≤T-Tm,则系统(1)可以写成带有 由V函数(9)的构造易知其右连续，在1≠1处

北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 性［4 － 5］; 第三种，将系统建模为脉冲系统，通过构造 Lyapunov 函数得到稳定性条件［6 － 8］． 系统稳定性条 件以线性矩阵不等式形式给出，通过求解这些线性 矩阵不等式，可以找到一个正数来确定采样时刻 sk 和下一个输入更新时刻 tk + 1之间差值的上界，称为 最大允许传输区间． 本文基于第二种方法，将系统建模为具有控制 输入时滞的连续时间系统，构造了一个在输入更新 时刻不连续的 Lyapunov 函数． 利用已有定理，给出 了闭环系统指数稳定的充分条件． 数值算例表明， 本文得到的条件相比文献［7］局限性更小． 1 问题描述 考虑如图 1 所示网络控制系统， x ·( t) = Ax( t) + Bu( t) ． ( 1) 其中，x( t) ∈Ｒn 是状态向量，u( t) ∈Ｒm 是控制输 入． A 和 B 是合适维数的已知常矩阵． 状态反馈控 制器增益为 K，则有 u( t) = Kx( sk ) ，tk≤t ＜ tk + 1，k∈N． ( 2) 式中，sk 表示第 k 次采样时刻，tk 表示第 k 次输入更 新时刻，也就是第 k 次采样数据到达目标的时刻． 设第 k 次采样在闭环中经历的时滞为 τk，则 tk ∶ = sk + τk ． 图 1 反馈闭环中带有时滞的网络控制系统 Fig． 1 NCSs with delay in the feedback loop 假设 1 传感器是时钟驱动，控制器与执行器 是事件驱动的． 假设 2 输入更新时刻 tk 是严格增的序列，且 时滞 τk 可能会比采样区间 sk + 1 － sk 大，这就意味着 若一个旧的采样比最新的采样晚到达目标，这个旧 的数据将会被丢弃． 假设 3 采样--时滞序列{ sk，τk } ∈l 满足以下 条件: l = { ( sk，τk ) | sk + 1 + τk + 1 － sk≤τ，τmin≤τk≤τmax } ． ( 3) 定义 d1 ( t) = t － sk，d2 ( t) = t － tk，tk≤t ＜ tk + 1 ． ( 4) 由假设 3 可以得到 d1 ( t) 和 d2 ( t) 的取值范围，τmin ≤tk － sk≤d1 ( t) ≤tk + 1 － sk≤τ，0≤d2 ( t) ≤tk + 1 － tk = tk + 1 － sk － τk≤τ － τmin，则系统( 1) 可以写成带有 输入时滞的模型 x ·( t) = Ax( t) + A1 x( t － d1 ( t) ) ， tk≤t ＜ tk + 1 ． ( 5) 其中 A1 = BK． 定义 1 ［7］ 系统( 5) 是全局一致指数稳定的，如 果对于任意{ sk，τk } ∈l 和任意初始条件 xt0 ，系统 ( 5) 的解全局存在，且存在常数 c ＞ 0，ε ＞ 0，使得 | x( t) |≤c‖xt0‖e － ε( t － t0) ． 引理 1 ［7］ 假设存在正数 c1、c2、c3 以及 Lya￾punov 泛函 V: B( ［－ r，0］，Ｒn ) × Ｒ［0，∞ ) →Ｒ［0，∞ ) ，对 于任意的{ sk，τk } ∈l，系统( 5) 的任意解 x 满足 c1 | x( t) | b ≤V( xt，t) ≤c2 | x( t) | b + c2 ∫ t t －r | x( s) | b ds． ( 6) dV( xt，t) dt ≤ － c3 | x( t) | b ． ( 7) V 右连续，当 t≠tk 时完全连续，且 V( xtk ，tk ) ≤lim t→t － k V( xt，t) ． ( 8) 则系统( 5) 在 l 上是全局一致指数稳定的． 引理 2 ［9］ 对任意对称正定矩阵 M ＞ 0，标量 γ ＞ 0，及可积向量函数 ω: ［0，γ］→Ｒn ，以下不等式 成立 [ : ∫ γ 0 ω( s) d ] s T M [ ∫ γ 0 ω( s) d ] s ≤ γ [ ∫ γ 0 ω ( s) T Mω( s) d ] s ． 2 主要结果 为分析系统( 5) 的稳定性，首先构造如下 Lya￾punov 函数: V( xt，t) = V1 + V2 + V3 + V4， V1 = xT ( t) Px( t) ， V2 = ∫ t t －d1( t) xT ( α) Q1 x( α) dα + ∫ t t －d2( t) xT ( α) Q2 x( α) dα， V3 = ∫ t t －τmin xT ( α) Ｒ1 x( α) dα + ∫ t t －τ xT ( α) Ｒ2 x( α) dα + ∫ t t －τmax xT ( α) Ｒ3 x( α) dα， V4 = ∫ 0 －τmin ∫ t t + s τmin x ·T ( α) P1 x ·( α) dαds + ∫ －τmin －τ ∫ t t + s ( τ － τmin ) x ·T ( α) P2 x ·( α) dαds + ∫ 0 －( τ－τmin) ∫ t t + s ( τ － τmin ) x ·T ( α) P3 x ·( α) dαds． ( 9) 由 V 函数( 9) 的构造易知其右连续，在 t≠tk 处 · 4211 ·

第8期 赵立英等：具有时变时滞的变采样周期网络控制系统的稳定性分析 ·1125· 完全连续，且V2的第二项「x(a)Qx(a)da≥0， (r-Tn)2(P2+P)]Ax(t)+Ax(t-d1())]- 但在1=4时40=0，则r(am0.rada=0, (,(da- 可得V(xl)≤limV(xt). -rr@pada- 接下来对V函数求导，应用引理1得到系统 (T-Tmi)(a)P (a)da.(13) (5)全局一致指数稳定的条件. je 定理1网络控制系统(5)在集合/上是全局 利用引理2可得 一致指数稳定的，若存在正定矩阵P、Q:(i=1,2)和 R、P,k=1,2,3),满足以下线性矩阵不等式： das-()- x(t-r)]'P,x(t)-x(t-r)].(14) 中=中-91-（1-A)93<0. (10) 另一方面 中=中+A93-92-94<0. (11) 其中 ()ika= 9=0100-100]T. P20100-100], ”(g-r)r(aP,(a)da 92=0-101000]T. P2D-101000], ag-anod加= 9=001000-刀r. (-d())(aP(a)do P3001000-1], 94=00-10000]r. (d((a)da- JI-1 Pū0-10000]. 「yPA1P3 P 0001 (d.()(a)P:(do ￥-2P20 P, 00 (-d.())()P:(a)do ★*-2P3 0 0 0P3 中=***-R-P1-P20004 令B,40色，则 T一Tmin -R2-P200 *-R30 (d(t)-7)(a)P:(a)da= *-P -B,∫h(g-7)(a)P,(da≤ AA,00000](r2P1+(x- Tmm)2(P2+P))AA100000]. -B(-d,()(a)P:(a)da. (12) -d()P 式中： y-PA+AP++R-P-P 1-B)0-r)(aP(ada≤ =77恤 (-B.)(d(()a T-Tmin 所以由引理2得 证明：沿着(5)的轨迹对V求导，得到对于t∈ ,lk+i）, ((a( v(x,)=2x"(t)P [Ax(t)+Ax(t-d ()] -x(t-d(t))-x(t-)]r. P2x(t-d,(t)-x(t-）]- ∑x(t)x(t)+∑x(t)Rx(t)- x(t-Ti)-x(t-d()] x(t-Tn）Rx(t-Tn）-xF(t-r）R2x(t-r）- P2(t-Tn）-x(t-d(d）]- x(t-)R3x(t-Tm)+Ax(t)+ B(t-d,(t))-x(t-)]r. Ax(t-d1())]T2P1+ P2r(t-d(t))-x(t-]-

第 8 期 赵立英等: 具有时变时滞的变采样周期网络控制系统的稳定性分析 完全连续，且 V2 的第二项 ∫ t t －d2( t) xT ( α) Q2 x( α) dα≥0， 但在 t = tk 时 d2 ( t) = 0，则 ∫ t t －d2( t) xT ( α) Q2 x( α) dα = 0， 可得 V( xtk ，tk ) ≤lim t→t － k V( xt，t) ． 接下来对 V 函数求导，应用引理 1 得到系统 ( 5) 全局一致指数稳定的条件． 定理 1 网络控制系统( 5) 在集合 l 上是全局 一致指数稳定的，若存在正定矩阵 P、Qi ( i = 1，2) 和 Ｒj 、Pk ( j，k = 1，2，3) ，满足以下线性矩阵不等式: 1 =  － φ1 － ( 1 － λ) φ3 ＜ 0． ( 10) 2 =  + λφ3 － φ2 － φ4 ＜ 0． ( 11) 其中 φ1 =［0 I 0 0 － I 0 0］T · P2［0 I 0 0 － I 0 0］， φ2 =［0 － I 0 I 0 0 0］T · P2［0 － I 0 I 0 0 0］， φ3 =［0 0 I 0 0 0 － I］T · P3［0 0 I 0 0 0 － I］， φ4 =［I 0 － I 0 0 0 0］T · P3［I 0 － I 0 0 0 0］．  = γ PA1 P3 P1 0 0 0 * －2P2 0 P2 P2 0 0 ＊ ＊ －2P3 0 0 0 P3 ＊ ＊ ＊ －Ｒ1 －P1 －P2 0 0 0 ＊ ＊ ＊ ＊ －Ｒ2 －P2 0 0 ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ －Ｒ3 0 ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ －P                      3 + ［A A1 0 0 0 0 0］T ( τ 2 minP1 + ( τ － τmin ) 2 ( P2 + P3) ) ［A A1 0 0 0 0 0］． ( 12) 式中: γ = PA + AT P + ∑ 2 i = 1 Qi + ∑ 3 j = 1 Ｒj － P1 － P3， λ = τmax － τmin τ － τmin ． 证明: 沿着( 5) 的轨迹对 V 求导，得到对于 t∈ ［tk，tk + 1 ) ， V · ( xt ) = 2xT ( t) P［Ax( t) + A1 x( t － d1 ( t) ) ］+ ∑ 2 i = 1 xT ( t) Qix( t) + ∑ 3 j = 1 xT ( t) Ｒj x( t) － xT ( t － τmin ) Ｒ1 x( t － τmin ) － xT ( t － τ) Ｒ2 x( t － τ) － xT ( t － τmax ) Ｒ3 x( t － τmax ) +［Ax( t) + A1 x( t － d1 ( t) ) ］T ［τ 2 minP1 + ( τ － τmin ) 2 ( P2 + P3) ］［Ax( t) + A1 x( t － d1 ( t) ) ］－ ∫ t t －τmin τmin x ·T ( α) P1 x ·( α) dα － ∫ t －τmin t －τ ( τ － τmin ) x ·T ( α) P2 x ·( α) dα － ∫ t t －( τ－τmin) ( τ － τmin ) x ·T ( α) P3 x ·( α) dα． ( 13) 利用引理 2 可得 － ∫ t t －τmin τmin x ·T ( α) P1 x ·( α) dα≤ －［x( t) － x( t － τmin) ］T P1［x( t) － x( t － τmin) ］． ( 14) 另一方面 － ∫ t －τmin t －τ ( τ － τmin ) x ·T ( α) P2 x ·( α) dα = － ∫ t －d1( t) t －τ ( τ － τmin ) x ·T ( α) P2 x ·( α) dα － ∫ t －τmin t －d1( t) ( τ － τmin ) x ·T ( α) P2 x ·( α) dα = － ∫ t －d1( t) t －τ ( τ － d1 ( t) ) x ·T ( α) P2 x ·( α) dα － ∫ t －d1( t) t －τ ( d1 ( t) － τmin ) x ·T ( α) P2 x ·( α) dα － ∫ t －τmin t －d1( t) ( d1 ( t) － τmin ) x ·T ( α) P2 x ·( α) dα － ∫ t －τmin t －d1( t) ( τ － d1 ( t) ) x ·T ( α) P2 x ·( α) dα． 令 β1 = d1 ( t) － τmin τ － τmin ，则 － ∫ t －d1( t) t －τ ( d1 ( t) － τmin ) x ·T ( α) P2 x ·( α) dα = － β1 ∫ t －d1( t) t －τ ( τ － τmin ) x ·T ( α) P2 x ·( α) dα≤ － β1 ∫ t －d1( t) t －τ ( τ － d1 ( t) ) x ·T ( α) P2 x ·( α) dα． ∫ t －τmin t －d1( t) ( τ － d1 ( t) ) x ·T ( α) P2 x ·( α) dα = － ( 1 － β1 ) ∫ t －τmin t －d1( t) ( τ － τmin ) x ·T ( α) P2 x ·( α) dα≤ － ( 1 － β1 ) ∫ t －τmin t －d1( t) ( d1 ( t) － τmin ) x ·T ( α) P2 x ·( α) dα． 所以由引理 2 得 － ∫ t －τmin t －τ ( τ － τmin ) x ·T ( α) P2 x ·( α) dα≤ －［x( t － d1 ( t) ) － x( t － τ) ］T · P2［x( t － d1 ( t) ) － x( t － τ) ］－ ［x( t － τmin ) － x( t － d1 ( t) ) ］T · P2［x( t － τmin ) － x( t － d1 ( t) ) ］－ β1 ［x( t － d1 ( t) ) － x( t － τ) ］T · P2［x( t － d1 ( t) ) － x( t － τ) ］－ · 5211 ·

·1126* 北京科技大学学报 第36卷 (1-B)c(t-r)-x(t-d,())]'. xF(t-d,()[-2P2+A(r2P+ P2x(t-rmn)-x(t-d,()].(15) (r-rn)2(P2+P3)A]x(t-d1(t)+ 再令A,0,同理可得 2xT(t-d (t))P2x(t-Ti)+ T-Tain 2x"(t-d,(t))Px(t-7)- (a)(a)das 2x(t-d2(t))P3x(t-d2(t))+ 2xr(t-d2())P3x(t-(r-rn)）- -r(t-d,()-x(t-(r-r)]. x(t-Tmi)(R:+P1+P2)x(t-Tmin)- P3x(t-d2(t))-x(t-(r-r))]- x(t-r)(R2+P2)x(t-)- x(t)-x(t-d()]T. P3(t)-x(t-d2())]- x(t-Tm）R3x(t-Tmm）- B:c(t-d()-x(t-(r-)]. x(t-(-7))P3x(t-(-Tm))- P3x(t-d2(t))-x(t-(r-rm))]- B:x(t-d (t))-x(t-7)]T. (1-B)x(t)-x(t-d2())]T. P2x(t-d(t))-x(t-)]- P3x(t)-x(t-d2())]. (16) (1-B)x(t-rmn)-x(t-d,()]r· P2x(t-Tn)-x(t-d())] 将式(14)~(16)代入(13)可推出 B,c(t-d(d)-x(t-(r-)]. i∈r'[PA+AP+会0.+名R-P- P3r(t-d2(t))-x(t-(r-r)]- (1-B,)x(t)-x(t-d2())]T. P+A(r2P,+(x-Tn)2(P2+P)A]x()+ P,x(t)-x(t-d2())]= 2xT()[PA+AT(TP+(T-7)2(P2+ n(t)(中-B91-(1-B）9-B293- P))A]x(t-d(t))+ (1-B2)a)n(t). 2x(t）P3x(t-d2(t)+2x(t)Px(t-rma）+ 这里中9923和9由式(12)给出， n(t)=E"(t)x(t-d ()x"(t-d (t))x"(t)x(t-7)x(t-7)x"(t--))]. 因为d(t)-d2(t)=T,所以B2=B,--clx()2,且由V函数的构造知V(x,t)≥ Tk一T血，则有 x(t)TPx()≥cIx(t)P,这里c1=入n(P),同理 T Tpin 也容易找到正常数C2和c2,使得V(x,t)≤ i≤n()[b-B4,-(（1-B)- x()2+G广1x()Pd由之前的分析知，V a---a+2]0 函数右连续，在t≠t4处完全连续，且V(x,)≤ T一Tmi limV(x,t).所以引理1中条件都满足，系统(5)在 no[b+e,- Tp一 叶" (上是全局一致指数稳定的. T-Tnin T一Tmia 注1n(t)包含七个分量，增加了新的项x(t- B（9+p3）-(（1-B）(p2+p）n(). (r-T)),包含的信息量增多，可使得到的稳定性 已知P,>0,则93≥0，p,≥0，且由假设3知Tn 条件局限性更小. ≤T≤T,可以得到 3仿真算例 ()≤n(0[0+74,- T -Tmin 考虑以下网络控制系统 B,(e,+e)-(1-B)(e,+e)]n(d)= o-0do+2m. n(t)(B中+(1-B)中)n(t) 状态反馈增益为K=-B.7511.5],则 由于0≤B,≤1，所以B1中+(1-B)中2<0等 价于中<0，中2<0，即定理1给出的线性矩阵不等 4-[8014=-[0lx,75. 式.若定理1中的线性矩阵不等式可行，则存在一 (a)对于无时滞且采样周期为常数h的网络控 个常数9>0使得≤-61m1≤ 制系统，当h<1.7时闭环系统是稳定的.定理1保 证系统稳定的采样周期为1.023，若采样周期是变

北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 ( 1 － β1) ［x( t － τmin ) － x( t － d1 ( t) ) ］T · P2［x( t － τmin ) － x( t － d1 ( t) ) ］． ( 15) 再令 β2 = d2 ( t) τ － τmin ，同理可得 － ∫ t t －( τ－τmin) ( τ － τmin ) x ·T ( α) P3 x ·( α) dα≤ －［x( t － d2 ( t) ) － x( t － ( τ － τmin) ) ］T · P3［x( t － d2 ( t) ) － x( t － ( τ － τmin) ) ］－ ［x( t) － x( t － d2 ( t) ) ］T · P3［x( t) － x( t － d2 ( t) ) ］－ β2 ［x( t － d2 ( t) ) － x( t － ( τ － τmin) ) ］T · P3［x( t － d2 ( t) ) － x( t － ( τ － τmin) ) ］－ ( 1 － β2) ［x( t) － x( t － d2 ( t) ) ］T · P3［x( t) － x( t － d2 ( t) ) ］． ( 16) 将式( 14) ～ ( 16) 代入( 13) 可推出 V · ≤xT ( t [ ) PA + AT P + ∑ 2 i = 1 Qi + ∑ 3 j = 1 Ｒj － P1 － P3 + AT ( τ 2 minP1 + ( τ － τmin ) 2 ( P2 + P3 ) ) A x] ( t) + 2xT ( t) ［PA1 + AT ( τ 2 minP1 + ( τ － τmin ) 2 ( P2 + P3 ) ) A1］x( t － d1 ( t) ) + 2xT ( t) P3 x( t － d2 ( t) ) + 2xT ( t) P1 x( t － τmin ) + xT ( t － d1 ( t) ) ［－ 2P2 + AT 1 ( τ 2 minP1 + ( τ － τmin ) 2 ( P2 + P3 ) ) A1］x( t － d1 ( t) ) + 2xT ( t － d1 ( t) ) P2 x( t － τmin ) + 2xT ( t － d1 ( t) ) P2 x( t － τ) － 2xT ( t － d2 ( t) ) P3 x( t － d2 ( t) ) + 2xT ( t － d2 ( t) ) P3 x( t － ( τ － τmin ) ) － xT ( t － τmin ) ( Ｒ1 + P1 + P2 ) x( t － τmin ) － xT ( t － τ) ( Ｒ2 + P2 ) x( t － τ) － xT ( t － τmax ) Ｒ3 x( t － τmax ) － xT ( t － ( τ － τmin ) ) P3 x( t － ( τ － τmin ) ) － β1 ［x( t － d1 ( t) ) － x( t － τ) ］T · P2［x( t － d1 ( t) ) － x( t － τ) ］－ ( 1 － β1) ［x( t － τmin ) － x( t － d1 ( t) ) ］T · P2［x( t － τmin ) － x( t － d1 ( t) ) ］－ β2 ［x( t － d2 ( t) ) － x( t － ( τ － τmin) ) ］T · P3［x( t － d2 ( t) ) － x( t － ( τ － τmin) ) ］－ ( 1 － β2) ［x( t) － x( t － d2 ( t) ) ］T · P3［x( t) － x( t － d2 ( t) ) ］= ηT ( t) (  － β1φ1 － ( 1 － β1 ) φ2 － β2φ3 － ( 1 － β2 ) φ4 ) η( t) ． 这里 、φ1、φ2、φ3 和 φ4 由式( 12) 给出， η( t) =［xT ( t) xT ( t － d1 ( t) ) xT ( t － d2 ( t) ) xT ( t － τmin ) xT ( t － τ) xT ( t － τmax ) xT ( t － ( τ － τmin ) )］T ． 因 为 d1 ( t) － d2 ( t) = τk，所 以 β2 = β1 － τk － τmin τ － τmin ，则有 V · ≤ηT ( t [ )  － β1φ1 － ( 1 － β1 ) φ2 ( － β1 － τk － τmin τ － τ ) min φ3 － 1 － ( β1 + τk － τmin τ － τ ) min φ4 ] η( t) = ηT ( t [ )  + τk － τmin τ － τmin φ3 － τk － τmin τ － τmin φ4 － β1 ( φ1 + φ3 ) － ( 1 － β1 ) ( φ2 + φ4 ] ) η( t) ． 已知 P3 ＞ 0，则 φ3≥0，φ4≥0，且由假设3 知 τmin ≤τk≤τmax，可以得到 V · ( xt ) ≤ηT ( t [ )  + τmax － τmin τ － τmin φ3 － β1 ( φ1 + φ3 ) － ( 1 － β1 ) ( φ2 + φ4 ] ) η( t) = ηT ( t) ( β11 + ( 1 － β1 ) 2 ) η( t) ． 由于 0≤β1≤1，所以 β11 + ( 1 － β1 ) 2 ＜ 0 等 价于 1 ＜ 0，2 ＜ 0，即定理 1 给出的线性矩阵不等 式． 若定理 1 中的线性矩阵不等式可行，则存在一 个常 数 c3 ＞ 0 使 得 dV( xt，t) dt ≤ － c3 | η( t) | 2 ≤ － c3 | x( t) | 2 ，且 由 V 函 数 的 构 造 知 V ( xt，t) ≥ x ( t) T Px( t) ≥c1 | x( t) | 2 ，这里 c1 = λmin ( P) ，同理 也容 易 找 到 正 常 数 c2 和 c2，使 得 V ( xt，t ) ≤ c2 | x( t) | 2 + c2 ∫ t t － r | x( s) | 2 ds． 由之前的分析知，V 函数右连续，在 t≠tk 处完全连续，且 V( xtk ，tk ) ≤ lim t→t － k V( xt，t) ． 所以引理 1 中条件都满足，系统( 5) 在 l 上是全局一致指数稳定的． 注 1 η( t) 包含七个分量，增加了新的项 x( t － ( τ － τmin ) ) ，包含的信息量增多，可使得到的稳定性 条件局限性更小． 3 仿真算例 考虑以下网络控制系统 x ·( t) = 0 1 [ ] 0 － 0. 1 x( t) + 0 [ ] 0. 1 u( t) ． 状态反馈增益为 K = －［3. 75 11. 5］，则 A = 0 1 [ ] 0 － 0. 1 ，A1 = － 0 [ ] 0. 1 ×［3. 75 11. 5］． ( a) 对于无时滞且采样周期为常数 h 的网络控 制系统，当 h ＜ 1. 7 时闭环系统是稳定的． 定理 1 保 证系统稳定的采样周期为 1. 023，若采样周期是变 · 6211 ·

第8期 赵立英等：具有时变时滞的变采样周期网络控制系统的稳定性分析 ·1127· 化的，只要不超过这个上界系统都是稳定的. 结果改进，但当时滞较大（≥0.4）时，定理1得到的 (b)当时滞为0，采样周期是变化的，T决定了 最大允许传输区间？更大. 变采样周期s+1-5:的上界，文献4]给出的上界为 0.8696,文献10]将其提高到0.8871，定理1给出 4结论 的上界为1.023 本文研究了具有时变时滞的变采样周期网络控 (c)若时滞和采样周期都是变化的，图2显示 制系统的稳定性.将其建模为具有输入时滞的系 了当T=1时，定理1和文献]分别得到的？相 统，通过构造一个新的Lyapunov泛函，并应用一些 对于不同的r的取值.如图2所示定理1得到的T 放缩方法，得到了使得系统指数稳定的充分条件 值更大，局限性更小 (线性矩阵不等式形式)，求解这些线性矩阵不等式 1.35 可得到最大允许传输区间.通过数值仿真算例证明 1.30 ·定理1 了本文提出的结果的有效性 1.25 。文献7 1.20 参考文献 1.15 1.10 [Walsh G C,Ye H,Bushnell L.Stability analysis of networked 1.05 control systems.IEEE Trans Control Syst Technol,2002,10(3): 00 1.00 0 438 0.95 900 0 [2]Yue D,Han Q L,Peng C.State feedback controller design of net- 0.858010203040克0 0.90 worked control systems.IEEE Trans Circuits Syst Express Briefs, 2004,51(11):640 B]Fujioka H.A discrete-time approach to stability analysis of systems 图2当：=1时定理1和文献们]分别得到的：相对于不同 with aperiodic sample-and-hold devices.IEEE Trans Autom Con- trol,2009,54(10):2440 的rn的取值 4] Fridman E,Seuret A,Richard J P.Robust sampled-data stabili- Fig.2 Plot of vs.for=1,obtained from Theorem I and zation of linear systems:an input delay approach.Automatica, Ref.respectively 2004,40(8):1441 (d)当Tmx=Tn时，即时滞为常数时，T相对于 [5] Fridman E.A refined input delay approach to sampled-data con- trol.Automatica,2010,46(2):421 不同的时滞的取值如表1所示.可以看出当时滞很 [6] Naghshtabrizi P.HespanhaJP,Teel A R.Exponential stability of 小（≤0.2）的时候，定理1相对于文献⑦]并没有使 impulsive systems with application to uncertain sampled-data sys- 表1当Tx三Tm时，？相对于不同的r的取值 tems.Syst Control Lett,2008,57(5):378 Table 1 Values of r for different values of Tmin when T=T 1 Naghshtabrizi P,Hespanha J P,Teel A R.Stability of delay im- pulsive systems with application to networked control systems. T Tmin Trans Inst Meas Control,2010,32(5):511 定理1 文献] [8] Chen W,Zheng W H.Exponential stability of nonlinear time-de- 0 1.023 1.137 lay systems with delayed impulse effects.Automatica,2011,47 0.2 1.031 1.049 (5):1075 0.4 1.051 1.049 Shao H Y.New delay-dependent stability criteria for systems with 0.6 1.096 1.049 interval delay.Automatica,2009,45(3)744 0.8 1.182 1.050 [10]Yue D,Han Q L.Lam J.Network-based robust H control of 1.0 1.333 1.052 systems with uncertainty.Automatica,2005,41 (6):999

第 8 期 赵立英等: 具有时变时滞的变采样周期网络控制系统的稳定性分析 化的，只要不超过这个上界系统都是稳定的． ( b) 当时滞为 0，采样周期是变化的，τ 决定了 变采样周期 sk + 1 － sk 的上界，文献［4］给出的上界为 0. 8696，文献［10］将其提高到 0. 8871，定理 1 给出 的上界为 1. 023． ( c) 若时滞和采样周期都是变化的，图 2 显示 了当 τmax = 1 时，定理 1 和文献［7］分别得到的 τ 相 对于不同的 τmin的取值． 如图2 所示定理1 得到的 τ 值更大，局限性更小． 图 2 当 τmax = 1 时定理 1 和文献［7］分别得到的 τ 相对于不同 的 τmin的取值 Fig． 2 Plot of τ vs． τmin，for τmax = 1，obtained from Theorem 1 and Ｒef． ［7］respectively ( d) 当 τmax = τmin时，即时滞为常数时，τ 相对于 不同的时滞的取值如表 1 所示． 可以看出当时滞很 小( ≤0. 2) 的时候，定理 1 相对于文献［7］并没有使 表 1 当 τmax = τmin时，τ 相对于不同的 τmin的取值 Table 1 Values of τ for different values of τmin when τmax = τmin τmin τ 定理 1 文献［7］ 0 1. 023 1. 137 0. 2 1. 031 1. 049 0. 4 1. 051 1. 049 0. 6 1. 096 1. 049 0. 8 1. 182 1. 050 1. 0 1. 333 1. 052 结果改进，但当时滞较大( ≥0. 4) 时，定理 1 得到的 最大允许传输区间 τ 更大． 4 结论 本文研究了具有时变时滞的变采样周期网络控 制系统的稳定性． 将其建模为具有输入时滞的系 统，通过构造一个新的 Lyapunov 泛函，并应用一些 放缩方法，得到了使得系统指数稳定的充分条件 ( 线性矩阵不等式形式) ，求解这些线性矩阵不等式 可得到最大允许传输区间． 通过数值仿真算例证明 了本文提出的结果的有效性． 参 考 文 献 ［1］ Walsh G C，Ye H，Bushnell L． Stability analysis of networked control systems． IEEE Trans Control Syst Technol，2002，10( 3) : 438 ［2］ Yue D，Han Q L，Peng C． State feedback controller design of net￾worked control systems． IEEE Trans Circuits Syst Express Briefs， 2004，51( 11) : 640 ［3］ Fujioka H． A discrete-time approach to stability analysis of systems with aperiodic sample-and-hold devices． IEEE Trans Autom Con￾trol，2009，54( 10) : 2440 ［4］ Fridman E，Seuret A，Ｒichard J P． Ｒobust sampled-data stabili￾zation of linear systems: an input delay approach． Automatica， 2004，40( 8) : 1441 ［5］ Fridman E． A refined input delay approach to sampled-data con￾trol． Automatica，2010，46( 2) : 421 ［6］ Naghshtabrizi P，Hespanha J P，Teel A Ｒ． Exponential stability of impulsive systems with application to uncertain sampled-data sys￾tems． Syst Control Lett，2008，57( 5) : 378 ［7］ Naghshtabrizi P，Hespanha J P，Teel A Ｒ． Stability of delay im￾pulsive systems with application to networked control systems． Trans Inst Meas Control，2010，32( 5) : 511 ［8］ Chen W，Zheng W H． Exponential stability of nonlinear time-de￾lay systems with delayed impulse effects． Automatica，2011，47 ( 5) : 1075 ［9］ Shao H Y． New delay-dependent stability criteria for systems with interval delay． Automatica，2009，45( 3) : 744 ［10］ Yue D，Han Q L，Lam J． Network-based robust H∞ control of systems with uncertainty． Automatica，2005，41( 6) : 999 · 7211 ·