枝晶凝固过程中的微观偏析半解析数学模型

第36卷第5期 北京科技大学学报 Vol.36 No.5 2014年5月 Journal of University of Science and Technology Beijing May 2014 枝晶凝固过程中的微观偏析半解析数学模型 许志刚2)区，王新华12)，景财良”，王万军12) 1)北京科技大学治金与生态工程学院，北京1000832)北京科技大学钢铁治金新技术国家重点实验室，北京100083 ☒通信作者，E-mail:ilottan@163.com 摘要基于典型微观凝固单元体内的溶质质量守恒，结合前人的研究工作，建立了一个适合于枝晶凝固方式的二元合金微 观偏析半解析模型.本模型同时考虑了反向扩散和粗化对微观偏析的影响，并对枝晶臂间距的粗化直接进行计算，因此更为 精确.若只考虑反向扩散的影响，本模型可以简化为BF模型形式：而如果只考虑粗化的影响，本模型可简化为Mortensen模 型.本模型完整地统一了以BF模型为代表的反向扩散类模型和以Mortensen模型为代表的粗化模型.利用本模型同样可以 对多元合金的微观偏析进行很好预测.以FeC-X(Si,M,P,S)合金体系为例对本模型的求解过程进行了详细的阐述.本 模型可以很好地预测Al-4.9%Cu二元合金的共晶分数以及FeC-X(Si,Mn,P,S)多元合金体系的零强度温度和零塑性温 度，并与实测值吻合良好 关键词枝晶：凝固：偏析：数学模型：扩散：粗化 分类号TF777.1 Semi-analytical model of microsegregation during dendritic solidification XU Zhi-gang',)回，WANG Xin--hua.,JING Cai--iang》,WANG Wan-jun'2 1)School of Metallurgical and Ecological Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 2)State Key Laboratory of Advanced Metallurgy,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China Corresponding author,E-mail:ilottan@163.com ABSTRACT Based on mass conservation in a typical micro-solidification volume element combining with previous work,a semi- analytical model of microsegregation was established for binary alloys with dendritic solidification.The effects of back-diffusion and coarsening on microsegregation are both considered in the semi-analytical model,and the coarsening of arm spacing is directly calculat- ed to make the semi-analytical model more precise.The semi-analytical model will be simplified to the BF model or the Mortensen model when back-diffusion or coarsening is considered only,respectively.The diffusion model and the coarsening model separately represented by the BF model and the Mortensen model are well unified by the semi-analytical model.Moreover,the semi-analytical model can be extended to multicomponent alloys.The Fe-C-X(Si,Mn,P,S)alloy was taken as an example to elaborate the solving process.The eutectic fractions of the Al-4.9%Cu alloy and the zero strength temperature (ZST)and zero ductility temperature (ZDT) of carbon steel Fe-C-X(Si,Mn,P,S)during solidification can be well predicted by the semi-analytical model. KEY WORDS dendrites:solidification:segregation:mathematical models:diffusion:coarsening 在枝晶凝固过程中，随着凝固的进行，溶质原子 金凝固过程中的微观偏析，国内外很多研究者都积 被排斥到固一液界面并进行溶质再分配，从而形成 极开展了这方面的研究工作，试图通过建立一个准 了微观偏析.微观偏析的存在极大地影响着合金的 确的微观偏析模型，进而预测溶质浓度随凝固过程 微观组织及其第二相的形成，进而引起裂纹等缺陷 进行的分布规律及其形成原因.微观偏析模型的目 发生，降低了最终产品的力学性能.为了减轻合 的通常是找出局部溶质浓度与固相分数的关系.由 收稿日期：201303-14 DOI:10.13374/j.issn1001-053x.2014.05.008:http://journals.ustb.edu.cn

第 36 卷 第 5 期 2014 年 5 月 北京科技大学学报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol． 36 No． 5 May 2014 枝晶凝固过程中的微观偏析半解析数学模型 许志刚1，2) ，王新华1，2) ，景财良1) ，王万军1，2) 1) 北京科技大学冶金与生态工程学院，北京 100083 2) 北京科技大学钢铁冶金新技术国家重点实验室，北京 100083  通信作者，E-mail: ilottan@ 163． com 摘 要 基于典型微观凝固单元体内的溶质质量守恒，结合前人的研究工作，建立了一个适合于枝晶凝固方式的二元合金微 观偏析半解析模型． 本模型同时考虑了反向扩散和粗化对微观偏析的影响，并对枝晶臂间距的粗化直接进行计算，因此更为 精确． 若只考虑反向扩散的影响，本模型可以简化为 BF 模型形式; 而如果只考虑粗化的影响，本模型可简化为 Mortensen 模 型． 本模型完整地统一了以 BF 模型为代表的反向扩散类模型和以 Mortensen 模型为代表的粗化模型． 利用本模型同样可以 对多元合金的微观偏析进行很好预测． 以 Fe--C--X( Si，Mn，P，S) 合金体系为例对本模型的求解过程进行了详细的阐述． 本 模型可以很好地预测 Al--4. 9% Cu 二元合金的共晶分数以及 Fe--C--X( Si，Mn，P，S) 多元合金体系的零强度温度和零塑性温 度，并与实测值吻合良好． 关键词 枝晶; 凝固; 偏析; 数学模型; 扩散; 粗化 分类号 TF 777. 1 Semi-analytical model of microsegregation during dendritic solidification XU Zhi-gang1，2)  ，WANG Xin-hua1，2) ，JING Cai-liang1) ，WANG Wan-jun1，2) 1) School of Metallurgical and Ecological Engineering，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China 2) State Key Laboratory of Advanced Metallurgy，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China  Corresponding author，E-mail: ilottan@ 163． com ABSTＲACT Based on mass conservation in a typical micro-solidification volume element combining with previous work，a semi￾analytical model of microsegregation was established for binary alloys with dendritic solidification． The effects of back-diffusion and coarsening on microsegregation are both considered in the semi-analytical model，and the coarsening of arm spacing is directly calculat￾ed to make the semi-analytical model more precise． The semi-analytical model will be simplified to the BF model or the Mortensen model when back-diffusion or coarsening is considered only，respectively． The diffusion model and the coarsening model separately represented by the BF model and the Mortensen model are well unified by the semi-analytical model． Moreover，the semi-analytical model can be extended to multicomponent alloys． The Fe-C-X( Si，Mn，P，S) alloy was taken as an example to elaborate the solving process． The eutectic fractions of the Al-4. 9% Cu alloy and the zero strength temperature ( ZST) and zero ductility temperature ( ZDT) of carbon steel Fe-C-X( Si，Mn，P，S) during solidification can be well predicted by the semi-analytical model． KEY WOＲDS dendrites; solidification; segregation; mathematical models; diffusion; coarsening 收稿日期: 2013--03--14 DOI: 10． 13374 /j． issn1001--053x． 2014． 05． 008; http: / /journals． ustb． edu． cn 在枝晶凝固过程中，随着凝固的进行，溶质原子 被排斥到固--液界面并进行溶质再分配，从而形成 了微观偏析． 微观偏析的存在极大地影响着合金的 微观组织及其第二相的形成，进而引起裂纹等缺陷 发生，降低了最终产品的力学性能［1］． 为了减轻合 金凝固过程中的微观偏析，国内外很多研究者都积 极开展了这方面的研究工作，试图通过建立一个准 确的微观偏析模型，进而预测溶质浓度随凝固过程 进行的分布规律及其形成原因． 微观偏析模型的目 的通常是找出局部溶质浓度与固相分数的关系． 由

·618 北京科技大学学报 第36卷 于固相反向扩散和枝晶粗化都能稀释固一液界面前 (1)模型的推导基于一个封闭的典型的微观凝固 方的液相溶质浓度并影响第二相分数的形成回，因 单元体，该单元体为半二次枝晶臂间距，如图1所示 此固相扩散和枝晶粗化一直是微观偏析模型的重要 图中，X。为凝固前沿位置，入为半二次枝晶臂间距 研究内容.在基于固相扩散进行程度的考虑上，微 观偏析模型存在两种极限情况，分别为考虑固相完 全扩散的杠杆模型回和忽略固相扩散Scheil模 固相 液相 型间.Brody和Flemings在Scheil模型的基础上 进一步考虑了固相的有限扩散，并假设生长速率为 抛物线形式，提出了经典的BF模型，即 枝品臂 CL=Co几+f(Bk-）]a--). (1) 图1典型微观凝固单元体示意图 式中：C为固一液界面液相一侧的溶质浓度；C。为 Fig.I Schematic of a typical micro-solidification volume element 初始溶质浓度：∫为固相分数；k为平衡分配系数： (2)二次枝晶臂为平板状且随凝固过程进行不 B=2α为反向扩散参数；a为傅里叶准数，其定义为 断粗化，其粗化过程由下式控制回： 4D, Q= (2) (3) 式中，D,为固相扩散系数，t为局部凝固时间，入为 最终二次枝晶臂间距. 式中：1为某一凝固时间；n为粗化指数，一般取n= 由于BF模型在B值等于1时不符合平衡凝固 1/3 的物理含义，因此许多学者对反向扩散参数进行了 (3)合金相图上的固相线和液相线为直线，且 修正，相继出现了CK模型、Ohnaka模型等 在控制单元体中液相充分扩散，并在固一液界面存 上述模型都没有考虑枝晶粗化对微观偏析的影 在局部的平衡，即 响.Mortensen在忽略反向扩散的前提下考虑了只 C:=kCL (4) 包含粗化内容的微观偏析模型.Voller圆同时考虑 式中，C为固一液界面处固相一侧的溶质浓度. 了粗化和反向扩散对微观偏析的影响，提出了一个 (4)由于单元体中的传热速度远远大于溶质的 半解析数学模型，然而该模型在表征粗化的影响时 扩散速度，因此可以认为单元体中的温度是一致 只是将一个加强因子附加到反向扩散参数中，无法 的，即 直接反映枝晶臂粗化的影响.Shim等回通过直接计 T=T-mCL (5) 算二次枝晶臂间距随凝固过程的变化来表征微观组 织的粗化，得到了更为精确的解析模型，但是该模型 式中，T为纯溶剂的熔点，m为液相线的斜率. 无法计算固相率为1.0时的偏析情况.本文在前人 (5)单元体在凝固过程中的冷却速率保持不 研究工作的基础上，克服了前人研究的不足，不仅考 变.这意味着单元体中液相溶质浓度的变化是均匀 虑了反相扩散的影响，而且直接计算枝晶臂的粗化， 的，即 在固相率为1.0时的偏析情况也可以进行准确计 T=TL-Rt (6) 算，完整地统一了经典的BF模型和Mortensen模 dC 型.通过与其他模型的比较发现，在正常的凝固速 CL.=Co+ (7) dt 率范围内，本模型可以更好地预测A1-4.9%Cu(质 式中：T为t=0时刻的液相线温度，为恒定值：R。 量分数)二元合金体系的共晶相分数和Fe一C-X 为冷却速率；C。为单元体中溶质的初始浓度：液相 (Si,Mn,P,S)多元合金体系的零强度温度(zero strength temperature,ZST)和零塑性温度（zero 溶质浓度的变化率 为常数，其值可由式(5)和 dt ductility temperature,ZDT) (6)推导出： 1溶质微观偏析模型 dC _R. (8) 1.1基本假设 微观偏析模型的建立需要经过一定的基本假设 1.2模型的核心控制方程 及近似，本模型的基本假设如下所述 在假设(1)和假设(3)的条件下，由溶质质量守

北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 于固相反向扩散和枝晶粗化都能稀释固--液界面前 方的液相溶质浓度并影响第二相分数的形成［2］，因 此固相扩散和枝晶粗化一直是微观偏析模型的重要 研究内容． 在基于固相扩散进行程度的考虑上，微 观偏析模型存在两种极限情况，分别为考虑固相完 全扩 散 的 杠 杆 模 型［2］ 和忽略固相扩散 Scheil 模 型［3］． Brody 和 Flemings［4］在 Scheil 模型的基础上 进一步考虑了固相的有限扩散，并假设生长速率为 抛物线形式，提出了经典的 BF 模型，即 CL = C0［1 + fs( βk － 1) ］( 1 － k) /( βk － 1) ． ( 1) 式中: CL 为固--液界面液相一侧的溶质浓度; C0 为 初始溶质浓度; fs 为固相分数; k 为平衡分配系数; β = 2α为反向扩散参数; α 为傅里叶准数，其定义为 α = 4Dstf λ2 f ． ( 2) 式中，Ds 为固相扩散系数，tf 为局部凝固时间，λf 为 最终二次枝晶臂间距． 由于 BF 模型在 β 值等于 1 时不符合平衡凝固 的物理含义，因此许多学者对反向扩散参数进行了 修正，相继出现了 CK 模型［5］、Ohnaka 模型［6］等． 上述模型都没有考虑枝晶粗化对微观偏析的影 响． Mortensen［7］在忽略反向扩散的前提下考虑了只 包含粗化内容的微观偏析模型． Voller［8］同时考虑 了粗化和反向扩散对微观偏析的影响，提出了一个 半解析数学模型，然而该模型在表征粗化的影响时 只是将一个加强因子附加到反向扩散参数中，无法 直接反映枝晶臂粗化的影响． Shin 等［9］通过直接计 算二次枝晶臂间距随凝固过程的变化来表征微观组 织的粗化，得到了更为精确的解析模型，但是该模型 无法计算固相率为 1. 0 时的偏析情况． 本文在前人 研究工作的基础上，克服了前人研究的不足，不仅考 虑了反相扩散的影响，而且直接计算枝晶臂的粗化， 在固相率为 1. 0 时的偏析情况也可以进行准确计 算，完整地统一了经典的 BF 模型和 Mortensen 模 型． 通过与其他模型的比较发现，在正常的凝固速 率范围内，本模型可以更好地预测 Al--4. 9% Cu( 质 量分数) 二元合金体系的共晶相分数和 Fe--C--X ( Si，Mn，P，S) 多元合金体系的零强度温度( zero strength temperature，ZST ) 和 零 塑 性 温 度 ( zero ductility temperature，ZDT) ． 1 溶质微观偏析模型 1. 1 基本假设 微观偏析模型的建立需要经过一定的基本假设 及近似，本模型的基本假设如下所述． ( 1) 模型的推导基于一个封闭的典型的微观凝固 单元体，该单元体为半二次枝晶臂间距，如图 1 所示． 图中，Xs 为凝固前沿位置，λ 为半二次枝晶臂间距． 图 1 典型微观凝固单元体示意图 Fig． 1 Schematic of a typical micro-solidification volume element ( 2) 二次枝晶臂为平板状且随凝固过程进行不 断粗化，其粗化过程由下式控制［9］: λ = λf ( 2 t t ) f n ． ( 3) 式中: t 为某一凝固时间; n 为粗化指数，一般取 n = 1 /3． ( 3) 合金相图上的固相线和液相线为直线，且 在控制单元体中液相充分扩散，并在固--液界面存 在局部的平衡，即 C* s = kCL ． ( 4) 式中，C* s 为固--液界面处固相一侧的溶质浓度． ( 4) 由于单元体中的传热速度远远大于溶质的 扩散速度，因此可以认为单元体中的温度是一致 的，即 T = Tf － mCL ． ( 5) 式中，Tf 为纯溶剂的熔点，m 为液相线的斜率． ( 5) 单元体在凝固过程中的冷却速率保持不 变． 这意味着单元体中液相溶质浓度的变化是均匀 的，即 T = TL － Ｒc t， ( 6) CL = C0 + dCL dt t． ( 7) 式中: TL 为 t = 0 时刻的液相线温度，为恒定值; Ｒc 为冷却速率; C0 为单元体中溶质的初始浓度; 液相 溶质浓度的变化率dCL dt 为常数，其值可由式( 5) 和 ( 6) 推导出: dCL dt = Ｒc m ． ( 8) 1. 2 模型的核心控制方程 在假设( 1) 和假设( 3) 的条件下，由溶质质量守 · 816 ·

第5期 许志刚等：枝晶凝固过程中的微观偏析半解析数学模型 ·619· 恒可得下式： 的控制方程，即 AC=。C,dr+XC (9) dCy二 d 式中，C,为凝固前沿固相一侧的溶质浓度，X=1- C(C-C)(k-1) X,为液相长度 {C[n+1)-(n+B)-(1-)Cof-(n+1)(C-Co) 边界条件和初始条件为： (20) x=0,C=0. (10) 对式(20)进一步求解，结果如下式所示： t=0,X.=0,C1=Co (11) 人- 将式(9)两边同时对凝固时间t取微分，有 (C-C,)C-®-dc. (21) c+广aC+ =kc是+ Jo at 式(20)（或式(21）)以及式(10)和式(11)构成 G.d(A-X) a-哈 了本模型的控制方程.通过该控制方程，便可对二 (12) dt 元合金的微观偏析过程进行求解 式中右边第二项表示反向扩散项，可以用Fick第二 2多元合金的微观偏析 定律描述为 aC.dx D. aC. 上述模型可以被应用到多元合金凝固过程中的 (13) Jo at ax l:=x. 微观偏析.本文便以钢在凝固过程中两相区溶质的 为了进一步对方程进行求解，本文引入了以下 微观偏析为基础，对本模型作进一步的阐述 两个合理的假设. 2.1二次枝晶臂间距 ()假设固相溶质浓度在固相中为二次分 Wom和Thomas0通过大量的数据总结分析，得 布，即回 到如下的二次枝晶臂间距的经验公式： [:=(169.1-720.9.[%C])RQ4935 C.=kCL+c(x2-X2). (14) 0<[%C]≤0.15： 式中，c为常数 入，=143.9R-03616.[9%C]a.s01-1.9%[%c, ()假设固相为抛物线生长方式，则有 [%C]>0.15. X=4- 2 (15) (22) 式中：f为共晶相分数或第二相分数；p为固相生长 2.2温度的计算 液相线温度和控制单元中温度的计算方法分别 指数，此处p=子 如下式： 由以上两个假设，结合式(8)和(13)，便可求得 7i=T,-∑m,C, (23) 式(14)中常数c的表达式： T=T-∑m,Cr (24) +(a品=5， (k/2)·(dC/dt）) 4 c= “m月2a+(1-f)2 式中，m:表示组元i的液相线斜率，Co:为组元i的 (16) 初始浓度，C,:表示组元i在固一液界面液相一侧的 在此，本文定义一个反向扩散参数B,其表达式如下 溶质浓度值. 所示： 2.3相变的影响 2a 钢在凝固过程中存在着包晶相变，即从δ铁素 B=2a+1-jm)2 (17) 体向γ奥氏体的转变，组元在这两个不同的相中分 由固相率的定义，有 配系数及扩散系数是不同的（具体见表1）1-切，因 dX,=d(λf)=Adf+fdλ (18) 此相变将会对溶质的偏析行为产生重要影响.一般 另外，由式(8)可得 认为当初始碳质量分数Co,c<0.1%或Co.c> 0.53%时，则凝固过程始终为8或y的单一相方式 d=acu. (19) 凝固；而当0.1%≤C0.c≤0.53%时，体系首先以8 将式(13)~(19)代入式(12)中，便可获得本文模型 方式凝固，直到固一液界面液相一侧的碳质量分数

第 5 期 许志刚等: 枝晶凝固过程中的微观偏析半解析数学模型 恒可得下式: λC0 = ∫ Xs 0 Csdx + XLCL ． ( 9) 式中，Cs 为凝固前沿固相一侧的溶质浓度，XL = 1 － Xs 为液相长度． 边界条件和初始条件为: x = 0，Cs x = 0． ( 10) t = 0，Xs = 0，CL = C0 ． ( 11) 将式( 9) 两边同时对凝固时间 t 取微分，有 dλ dt C0 = kCL dXs dt + ∫ Xs 0 Cs t dx + CL d( λ － Xs) dt + ( λ － Xs) dCL dt ． ( 12) 式中右边第二项表示反向扩散项，可以用 Fick 第二 定律描述为 ∫ Xs 0 Cs t dx = Ds Cs x x = Xs ． ( 13) 为了进一步对方程进行求解，本文引入了以下 两个合理的假设． ( i) 假设固相溶质浓度在固相中为二次分 布，即［6］ Cs = kCL + c( x 2 － X2 s ) ． ( 14) 式中，c 为常数． ( ii) 假设固相为抛物线生长方式，则有 Xs = ( 1 － feut ) λf ( 2 t t ) f p ． ( 15) 式中: feut为共晶相分数或第二相分数; p 为固相生长 指数，此处 p = 1 2 ． 由以上两个假设，结合式( 8) 和( 13) ，便可求得 式( 14) 中常数 c 的表达式: c = ( k /2)·( dCL /dt) Ds + Xs ·( dXs /dt) = k Ｒc m tf λ2 f · 4 2α + ( 1 － feut ) 2 ． ( 16) 在此，本文定义一个反向扩散参数 β，其表达式如下 所示: β = 2α 2α + ( 1 － feut ) 2 ． ( 17) 由固相率的定义，有 dXs = d( λ·fs) = λ·dfs + fs ·dλ． ( 18) 另外，由式( 8) 可得 dt = m Ｒc dCL ． ( 19) 将式( 13) ～ ( 19) 代入式( 12) 中，便可获得本文模型 的控制方程，即 dCL dfs = CL ( CL － C0 ) ( k － 1) { CL［( n + 1) － ( n + β) k］－ ( 1 － βk) C0 } fs － ( n + 1) ( CL － C0 ) ． ( 20) 对式( 20) 进一步求解，结果如下式所示: fs = 1 + n 1 － k ·C( 1 － βk) /( k － 1) L ( CL － C0 ) n· ∫ CL C0 ( C － C0 ) n Ck( 1 － β) /( 1 － k) dC． ( 21) 式( 20) ( 或式( 21) ) 以及式( 10) 和式( 11) 构成 了本模型的控制方程． 通过该控制方程，便可对二 元合金的微观偏析过程进行求解． 2 多元合金的微观偏析 上述模型可以被应用到多元合金凝固过程中的 微观偏析． 本文便以钢在凝固过程中两相区溶质的 微观偏析为基础，对本模型作进一步的阐述． 2. 1 二次枝晶臂间距 Won 和 Thomas［1］通过大量的数据总结分析，得 到如下的二次枝晶臂间距的经验公式: λf = ( 169. 1 － 720. 9·［% C］) Ｒ － 0. 4935 c ， 0 ＜［% C］≤0. 15; λf = 143. 9Ｒ － 0. 3616 c ·［% C］( 0. 5501 － 1. 996·［% C］) ， ［% C］＞ 0. 15        ． ( 22) 2. 2 温度的计算 液相线温度和控制单元中温度的计算方法分别 如下式: TL = Tf － ∑i miC0，i ［10］， ( 23) T = Tf － ∑i miCL，i ． ( 24) 式中，mi 表示组元 i 的液相线斜率，C0，i为组元 i 的 初始浓度，CL，i表示组元 i 在固--液界面液相一侧的 溶质浓度值． 2. 3 相变的影响 钢在凝固过程中存在着包晶相变，即从 δ 铁素 体向 γ 奥氏体的转变，组元在这两个不同的相中分 配系数及扩散系数是不同的( 具体见表 1) ［11--12］，因 此相变将会对溶质的偏析行为产生重要影响． 一般 认为 当 初 始 碳 质 量 分 数 C0，C ＜ 0. 1% 或 C0，C ＞ 0. 53% 时，则凝固过程始终为 δ 或 γ 的单一相方式 凝固; 而当 0. 1% ≤C0，C≤0. 53% 时，体系首先以 δ 方式凝固，直到固--液界面液相一侧的碳质量分数 · 916 ·

·620· 北京科技大学学报 第36卷 CLc>0.53%时，体系开始以y方式凝固，此时不能 “虚拟初始成分”并按γ凝固方式计算出的转变点 直接代入初始成分数据进行计算，韩志强和蔡开 残余液相的成分等于采用实际初始成分按δ凝固方 科围引入了“虚拟初始成分”的概念，使得采用该 式计算出的转变点的残余液相成分. 表1凝固参数 Table 1 Solidification parameters 元素 K8VL EyL D3/(10μm2s-) D/(104μm2s1) m C 0.19 0.34 0.0127exp(-81379/T） 0.0761exp(-143511/RT） 78.0 Si 0.77 0.52 8.0exp(-248948/RT） 0.3exp(-251458/RT) 7.6 Mn 0.76 0.78 0.76exp(-224430/RT)） 0.055cxp(-249366/RT) 4.9 0.23 0.13 2.9exp(-230120/RTm 0.01exp(-182841/R7) 34.4 0.05 0.035 4.56exp(-214639/RT) 2.4exp(-223425/RT 38.0 注：R为气体常数，8.314J·mol1K1:T的单位为K 2.4计算方法 3 根据初始成分通过式(23)计算出液相线温度 模型的验证及讨论 并假设初始固相线温度T,判断初始碳质量分数， 为了验证本模型的有效性，分别采用二元合金 若Co.c<0.1%或Co.c>0.53%,则按δ或y单一相 和多元合金的微观偏析模型对A-4.9%Cu二元合 的凝固方式进行偏析的计算，若0.1%≤Co.c≤ 金以及FeC-X(Si,Mn,P,S)多元合金的微观偏 0.53%则按2.3节所述方法进行计算.钢凝固过程 析进行预测. 中微观偏析的计算流程图如图2所示. 3.1A4.9%Cu合金的共晶分数预测 编人各元素 采用二元合金的微观偏析模型对Al-4.9%Cu 初始成分 二合金体系在不同冷却速率下对该合金的共晶相分 假设一个初始的 固相线温度值，T。 数fm（=1-flc=cea）进行预测，并与Sarreal和 Abbaschian所报道的实验数据（如表2所示）进 判断初始碳含量C,」 行对比，结果如图3所示.计算过程中所需的热物 1%C.ko.1 0.1[%CJ≤0.53 [%C>0.53 性参数列于表3中回 表2 Sarreal和Abbaschian的共品分数测量结果间 定义δ铁素体相的热物性 定义？奥氏体相的热物性 Table 2 Measured eutectic fraction reported by Sarreal and Abbas- 参数（与温度有关 参数（与温度有关） chian 建立本模型的核心控制方程及求解方法 实测共品 冷却速率/凝固时间，枝品臂间距， 傅里叶 定义一个 体积分数， (Ks1) tr/s Ar/μm' 准数，a C>0.53 虚拟的初始 f/%# 元素成分 0.10 980.00 93.37 0.2250 5.54 输出最终的各个 输出最终的各个 1.05 93.30 42.63 0.1030 6.52 元素的成分=1) 元素的成分=1) 11.25 8.72 19.35 0.0466 6.84 65.00 1.51 10.78 0.0260 7.16 计算该成分下的 固相线温度，T, 187.00 0.52 7.56 0.0182 7.50 注：·最终二次枝晶臂间距采用Kirkwood提出的公式进行计 T。-Tk10> 算的，入1=9.4B:“共品体积分数的值由实测的非平衡第二相体 ,是 积分数值转化而来， T 表3A-4.9%Cu合金的热物性参数 结 Table 3 Thermal properties of the Al4.9%Cu alloy 图2钢凝固过程的微观偏析计算流程图 传质系数， 分配系数， 共晶成分（质量分数）， Fig.2 Flow chart of microsegregation calculation of steel during so D./(10-5m2s) k C=/% lidification 5.0 0.16 33.2

北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 CL，C ＞ 0. 53% 时，体系开始以 γ 方式凝固，此时不能 直接代入初始成分数据进行计算，韩志强和蔡开 科［13］引入了“虚拟初始成分”的概念，使得采用该 “虚拟初始成分”并按 γ 凝固方式计算出的转变点 残余液相的成分等于采用实际初始成分按 δ 凝固方 式计算出的转变点的残余液相成分． 表 1 凝固参数 Table 1 Solidification parameters 元素 kδ/ L kγ/ L Dδ /( 104 μm2 s － 1 ) Dγ /( 104 μm2 s － 1 ) mi C 0. 19 0. 34 0. 0127exp( － 81379 /ＲT) 0. 0761exp( － 143511 /ＲT) 78. 0 Si 0. 77 0. 52 8. 0exp( － 248948 /ＲT) 0. 3exp( － 251458 /ＲT) 7. 6 Mn 0. 76 0. 78 0. 76exp( － 224430 /ＲT) 0. 055exp( － 249366 /ＲT) 4. 9 P 0. 23 0. 13 2. 9exp( － 230120 /ＲT) 0. 01exp( － 182841 /ＲT) 34. 4 S 0. 05 0. 035 4. 56exp( － 214639 /ＲT) 2. 4exp( － 223425 /ＲT) 38. 0 注: Ｒ 为气体常数，8. 314 J·mol － 1K － 1 ; T 的单位为 K． 图 2 钢凝固过程的微观偏析计算流程图 Fig． 2 Flow chart of microsegregation calculation of steel during so￾lidification 2. 4 计算方法 根据初始成分通过式( 23) 计算出液相线温度 并假设初始固相线温度 Ts，0，判断初始碳质量分数， 若 C0，C ＜ 0. 1% 或 C0，C ＞ 0. 53% ，则按 δ 或 γ 单一相 的凝固 方 式 进 行 偏 析 的 计 算，若 0. 1% ≤ C0，C ≤ 0. 53% 则按 2. 3 节所述方法进行计算． 钢凝固过程 中微观偏析的计算流程图如图 2 所示． 3 模型的验证及讨论 为了验证本模型的有效性，分别采用二元合金 和多元合金的微观偏析模型对 Al--4. 9% Cu 二元合 金以及 Fe--C--X( Si，Mn，P，S) 多元合金的微观偏 析进行预测． 3. 1 Al--4. 9%Cu 合金的共晶分数预测 采用二元合金的微观偏析模型对 Al--4. 9% Cu 二合金体系在不同冷却速率下对该合金的共晶相分 数 feut ( = 1 － fs | CL = Ceut ) 进行 预 测，并 与 Sarreal 和 Abbaschian［14］所报道的实验数据( 如表 2 所示) 进 行对比，结果如图 3 所示． 计算过程中所需的热物 性参数列于表 3 中［9］． 表 2 Sarreal 和 Abbaschian 的共晶分数测量结果［14］ Table 2 Measured eutectic fraction reported by Sarreal and Abbas￾chian［14］ 冷却速率/ ( K·s － 1 ) 凝固时间， tf /s 枝晶臂间距， λf /μm* 傅里叶 准数，α 实测共晶 体积分数， feut /% ＊＊ 0. 10 980. 00 93. 37 0. 2250 5. 54 1. 05 93. 30 42. 63 0. 1030 6. 52 11. 25 8. 72 19. 35 0. 0466 6. 84 65. 00 1. 51 10. 78 0. 0260 7. 16 187. 00 0. 52 7. 56 0. 0182 7. 50 注: * 最终二次枝晶臂间距采用 Kirkwood 提出的公式进行计 算［15］，λf = 9. 4t 1 /3 f ; ＊＊ 共晶体积分数的值由实测的非平衡第二相体 积分数值转化而来［16］． 表 3 Al--4. 9% Cu 合金的热物性参数 Table 3 Thermal properties of the Al-4. 9% Cu alloy 传质系数， Ds /( 10 － 13 m2 s － 1 ) 分配系数， k 共晶成分( 质量分数) ， Ceut /% 5. 0 0. 16 33. 2 · 026 ·

第5期 许志刚等：枝晶凝固过程中的微观偏析半解析数学模型 ·621· o 元合金的平衡相图，并且将零强度温度和零塑性温 9 度的实测值m-分别与固相率为0.75和1.0时模 8A 型计算的温度值作比较，如图6所示.由图4~图6 > 可以看到，预测值与实测值基本吻合，进一步证明了 0一本模型 6 -,Mortensen模型 本模型的准确性 5 。Ohnaka模型 -VB模型 1560 4 ·实调数据 1530 ·文献I91 10 10 10110 10' ·文献20 1500 冷却速率k·s 文献121 1470 。文城22 y △文献23 图3A-4.9%C如合金的共晶分数与冷却速率的关系 1440 Fig.3 Relationship between eutectic fraction and cooling rate of the Al-4.9%Cu alloy 1380 1350 由图3可以看出，无论是Ohnaka模型或是 13501380141014401470150015301560 零强度温度实测值℃ Mortensen模型，其共晶体积分数的预测值要比实验 图4零强度温度的实测值与模型计算值比较 测量值大很多，其主要原因是这两个模型只单独考 Fig.4 Comparison of zero strength temperature between calculated 虑了反向扩散或粗化对于微观偏析的影响.本模型 results and measured data 和VB模型图都将反向扩散和粗化进行了综合考 1600 虑.由于VB模型是将粗化的影响通过一个加强因 1550 ·文献119以·文献20 文献21」4文献22 子附加到反向扩散参数中，因此当反向扩散现象较 1500 ?文献23)：文献24 为显著时该加强因子可以充分考虑粗化的影响，从 1450 文献25引 1400 而使得VB模型的预测值与实测值较为接近，而当 1350 反向扩散较小时该加强因子则使得VB模型过分估 1300 计了反向扩散对微观偏析的影响：而本模型直接考 1250 虑了二次枝晶臂间距在凝固过程中随时间的变化， 1200 1150 因此所预测的共晶分数比VB模型的预测值更为接 150120012501300135014001450150015501600 近实测值.由此可见，本模型完全适用于二元合金 零塑性温度实测值℃ 的微观偏析预测. 图5零塑性温度的实测值与模型计算值比较 3.2钢的零强度温度和零塑性温度预测 Fig.5 Comparison of zero ductility temperature between calculated FeC-X合金在凝固过程中存在两个特征温度 results and measured data 值，即零强度温度和零塑性温度，二者所构成的温度 3.3反向扩散和粗化对微观偏析的影响 区间为脆性温度区m.Won等采用统计的方法 3.3.1Al4.9%Cu二元合金体系 对微观偏析的测量值与有限差分模型的预测值进行 反向扩散的进行程度和枝晶臂的粗化程度都会 比较分析，得出在固相率f=0.75时所对应的温度 对凝固过程中尤其是凝固末端残余液相的溶质成分 即为零强度温度：而Kim等9的研究则表明零塑性 产生重要的影响，从而使合金的固相线温度计算造 温度所对应的固相率为f=1.0. 成较大的偏差.如图7所示为当分配系数k=0.16 为了对多元合金的微观偏析模型进行验证，本 时，不同模型在不同的固相扩散傅里叶准数（α= 文分别计算了固相率分别为0.75和1.0时所对应 0.50,a=0.10和=0.02)下对Al-4.9%Cu合金 的温度值，并与文献19-25]报道的零强度温度和 微观偏析的计算结果. 零塑性温度值进行比较，比较结果如图4和图5所 由图7可以看到，随着反向扩散参数的变化，本 示.为了更清楚直观地对本模型的准确性进行验 模型曲线始终处于杠杆模型和Scheil模型这两种理 证，本文通过模型计算绘制了C0.015Si-1.05Mn- 想的极限模型之间.由于Mortensen模型只考虑枝 0.0009P-0.0008S和C-0.34Si-1.52Mn-0.012P- 晶臂粗化的影响，因此图中Mortensen模型的偏析曲 0.015S两种Fe-C-X合金体系在冷却速率分别为 线不会随着反向扩散系数的变化而变化.当反向扩 0.17和10K·s-1时的伪二元非平衡相图及Fe-C二 散傅里叶准数的值较小（如图7(c)所示）时，粗化

第 5 期 许志刚等: 枝晶凝固过程中的微观偏析半解析数学模型 图 3 Al--4. 9% Cu 合金的共晶分数与冷却速率的关系 Fig． 3 Ｒelationship between eutectic fraction and cooling rate of the Al-4. 9% Cu alloy 由图 3 可 以 看 出，无 论 是 Ohnaka 模 型 或 是 Mortensen 模型，其共晶体积分数的预测值要比实验 测量值大很多，其主要原因是这两个模型只单独考 虑了反向扩散或粗化对于微观偏析的影响． 本模型 和 VB 模型［8］都将反向扩散和粗化进行了综合考 虑． 由于 VB 模型是将粗化的影响通过一个加强因 子附加到反向扩散参数中，因此当反向扩散现象较 为显著时该加强因子可以充分考虑粗化的影响，从 而使得 VB 模型的预测值与实测值较为接近，而当 反向扩散较小时该加强因子则使得 VB 模型过分估 计了反向扩散对微观偏析的影响; 而本模型直接考 虑了二次枝晶臂间距在凝固过程中随时间的变化， 因此所预测的共晶分数比 VB 模型的预测值更为接 近实测值． 由此可见，本模型完全适用于二元合金 的微观偏析预测． 3. 2 钢的零强度温度和零塑性温度预测 Fe--C--X 合金在凝固过程中存在两个特征温度 值，即零强度温度和零塑性温度，二者所构成的温度 区间为脆性温度区［17］． Won 等［18］采用统计的方法 对微观偏析的测量值与有限差分模型的预测值进行 比较分析，得出在固相率 fs = 0. 75 时所对应的温度 即为零强度温度; 而 Kim 等［19］的研究则表明零塑性 温度所对应的固相率为 fs = 1. 0． 为了对多元合金的微观偏析模型进行验证，本 文分别计算了固相率分别为 0. 75 和 1. 0 时所对应 的温度值，并与文献［19--25］报道的零强度温度和 零塑性温度值进行比较，比较结果如图 4 和图 5 所 示． 为了更清楚直观地对本模型的准确性进行验 证，本文通过模型计算绘制了 C--0. 015Si--1. 05Mn-- 0. 0009P--0. 0008S 和 C--0. 34Si--1. 52Mn--0. 012P-- 0. 015S 两种 Fe--C--X 合金体系在冷却速率分别为 0. 17 和 10 K·s － 1时的伪二元非平衡相图及 Fe--C 二 元合金的平衡相图，并且将零强度温度和零塑性温 度的实测值［22--23］分别与固相率为 0. 75 和 1. 0 时模 型计算的温度值作比较，如图 6 所示． 由图 4 ～ 图 6 可以看到，预测值与实测值基本吻合，进一步证明了 本模型的准确性． 图 4 零强度温度的实测值与模型计算值比较 Fig． 4 Comparison of zero strength temperature between calculated results and measured data 图 5 零塑性温度的实测值与模型计算值比较 Fig． 5 Comparison of zero ductility temperature between calculated results and measured data 3. 3 反向扩散和粗化对微观偏析的影响 3. 3. 1 Al--4. 9% Cu 二元合金体系 反向扩散的进行程度和枝晶臂的粗化程度都会 对凝固过程中尤其是凝固末端残余液相的溶质成分 产生重要的影响，从而使合金的固相线温度计算造 成较大的偏差． 如图 7 所示为当分配系数 k = 0. 16 时，不同模型在不同的固相扩散傅里叶准数( α = 0. 50，α = 0. 10 和 α = 0. 02) 下对 Al--4. 9% Cu 合金 微观偏析的计算结果． 由图 7 可以看到，随着反向扩散参数的变化，本 模型曲线始终处于杠杆模型和 Scheil 模型这两种理 想的极限模型之间． 由于 Mortensen 模型只考虑枝 晶臂粗化的影响，因此图中 Mortensen 模型的偏析曲 线不会随着反向扩散系数的变化而变化． 当反向扩 散傅里叶准数的值较小( 如图 7( c) 所示) 时，粗化 · 126 ·