二、刚体定轴转动的微分方程 O 取一质量元F1+f=△ma1 切线方向F+f=△ma fi F Fsin+f sin 0= Am, r B △ 两边同乘 Fsng+frsn6=△mrB 对整个刚体∑ Fr sin+∑/sinb=C∑Mm) 外力矩M4=CMm ∑Mm7=L命存妈轴时转动惯量 M2=JB=J2O-刚体定轴转动定律 第六章刚体动力学
第六章 刚体动力学 1 二、 刚体定轴转动的微分方程 O i r Fi i f • 取一质量元 F f m a i i i i + = 切线方向 F f m a i i i i + = 2 sin sin Fr f r m r i i i i i i + = 对整个刚体 2 sin sin ( ) i i i i i i Fr f r m r + = 合内力矩 = 0 合外力矩 M mi sin sin F f m r i i i i + = 两边同乘 i r 2 ( ) M m r i外 = i i 2 令 = m r J i i （刚体对z轴的转动惯量） z z z z M J J d dt = = ——刚体定轴转动定律
M:=JB 刚体在总外力矩M的作用下,获得的角加速度与总外力 矩的大小成正比,与减成反比。 讨论 (1)刚体定轴转动动力学中的基本方程,是力矩 的瞬时作用规律 (2)M、J须对同一转轴定义 (3)M正比于β,力矩越大,刚体的β越大 (4)力矩相同,若转动惯量不同,产生的角加速度不同 (5)与牛顿定律比较:M→>F2J>m,B→>a 转动惯量J反映了刚体转动时惯性的大小 第六章刚体动力学 2
第六章 刚体动力学 2 M J z z z = 刚体在总外力矩Mz的作用下，获得的角加速度β与总外力 矩的大小成正比，与J成反比。 讨论 (1) 刚体定轴转动动力学中的基本方程，是力矩 的瞬时作用规律 (2) M、J、β必须对同一转轴定义 (5) 与牛顿定律比较： M → F, J → m, → a (3) M 正比于 ，力矩越大，刚体的 越大 (4) 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同 转动惯量J反映了刚体转动时惯性的大小
三、转动惯量 定义式 ∑ △m 质量不连续分布 m=质连续分布 三个要素:(1)总质量(2)质量分布(3)转轴的位置 (1)J与刚体的总质量有关 例如:均质两根等长的细木棒和 M L 细铁棒绕端点所在轴转动惯量 L M x nax dx=-ML 铁0木 第六章刚体动力学
第六章 刚体动力学 3 三、 转动惯量 = 2 i i 定义式 J m r 质量不连续分布 质量连续分布 三个要素: (1) 总质量 (2) 质量分布 (3) 转轴的位置 (1) J 与刚体的总质量有关 例如：均质两根等长的细木棒和 细铁棒绕端点所在轴转动惯量 L z O x dx M 2 0 d L J x x = J铁 J木 • 2 2 J r dm r dV = = 2 0 d L M x x L = 1 2 3 = ML
(2)J与质量分布有关 例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量 R 2TR J=IR dm R ndl -Ra d/=2rR3 m 2TR mR2 2TR 例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量 dS三rr dm=ods- 2mr OT rdr 兀R r 2m 个 O o e dm r ar R R 第六章刚体动力学
第六章 刚体动力学 4 (2) J 与质量分布有关 例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量 例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量 dl O 2π 2 2 0 d d R J R m R l = = 2π 2 0 d R = R l m R O m r dr ds = 2π rdr dm = ds 2 3 2 0 0 2 2 d 2 d m R m J r m r m r R R = = = r R mr r r R m d 2 2π d π 2 2 = = R 3 2 2π 2π m R R R = = m
(3)J与转轴的位置有关 M L O J=x ndx=ML ML 四.平行轴定理及垂直轴定理 1平行轴定理J,=J+ML2 :刚体绕任意轴的转动惯量 J:刚体绕通过质心轴的转动惯量 L:两轴间垂直距离 第六章刚体动力学 5
第六章 刚体动力学 5 O L x dx M z 2 0 2 3 1 J x dx ML L = = L O x dx M 2 2 2 2 12 1 J x dx ML L / L / = = − 四. 平行轴定理及垂直轴定理 z L C M z' 2 Jz' = Jz + ML z (3) J 与转轴的位置有关 1. 平行轴定理 z' J z J L :刚体绕任意轴的转动惯量 :刚体绕通过质心轴的转动惯量 :两轴间垂直距离