引子洛水神龟献奇图15之外，为洛书3阶幻方定义第2个特殊的幻方常数1110，而且它同15一一样，有8个之多。由此可见，洛书3阶幻方不但在配置9个数字上非常均衡和对称，因此非常和谐和美丽，在把行、列看做一个整体的情况下，其数字的配置也非常均衡和对称，非常和谐和美丽。另外，我们把洛书3阶幻方中的各元素都取平方，看看它出现什么情况。当然，由于它不是双幻方（doublymagicsquare，或bi-magic square，见后），因此不会出现各行、各列及2条主对角线上元素之和仍都相等的奇迹（已经证明、这样的双幻方至少要有8阶），但我们依然可以看到某些奇妙之处。我们先列出各行、列、对角线的情况：行：42 + 92 + 22 = 10132 + 52 + 72 = 8382 + 12 + 62 = 101列:42+32 + 82=8992 + 52 + 12 = 10722 + 72 + 62 = 8942 + 52 + 62 = 77主对角线：22 + 52 + 82 = 9322 + 32 + 12 = 14折对角线：92 + 72 + 82 = 19442 + 72 + 12 = 6693 + 32 + 62 = 126仔细分析一下，就可看出，除了第1行和第3行上的3数和相等，第1列和第3列上的3数和也相等外，它们的组合又可产生5个常数190，即：7
好玩的数学幻方及其他第1行和第1列：101+89=190第1行和第3列：101+89=190第3行和第1列：101+89=190第3行和第3列：101+89=190第2行和第2列：83+107=190由此可见，洛书3阶幻方在把各元素取平方以后虽然不能形成新的幻方而具有全面对称、均衡的特性，但大体上也是平衡的。我们还注意到，各元素取平方以后，如果只考察其个位数，那么所形成的3阶方阵如图0-3所示，也表现出很鲜明的特点：图0-3洛书3阶幻方取平方后舍弃拾位数形成的方阵第1行和第3行（614，416），第1列和第3列（694，496），主折对角线族（491，194），副折对角线族（691，196）的2个数分别是互逆转数；而第2行（959）、第2列（151）2条主对角线（656和454）上的数又都是回文数（palindrome，即正读和反读是一样的数），不是也十分奇特吗？谈先生本人也有一个发现。他把洛书3阶幻方看做行列式并算出其值149235=120+504+6-80-28-162=3601816由于这个值乃是一个非零常数，故可通过代数余因子的计算，8
引子洛水神龟献奇图相继求出其伴随矩阵与逆矩阵，最后可得出洛书方阵的逆矩阵53723521838-2236068-7~37把公因子提出后，右边3阶方阵的9个元素为36052，-37、-22、-7,8，23，38，53，68它们正好构成公差d=15，S=72的算术级数，而公差15 恰恰就是洛书3阶幻方的幻和。而如果把示也考虑进去，3601×72=，恰是洛书3阶幻则这个逆矩阵的各元素之和为3605方中心数5的倒数。因此，谈先生把这个洛书的“影子”命名为“反洛书”。洛书3阶幻方只是我们的一个引子。下面我们将介绍有关幻方的方方面面问题，都是妙趣横生的，相信会引起读者的兴趣。9
①第一章有关幻方的传闻趣事所谓幻方（magicsquare)，也叫纵横图，就是在n×n的方阵中，放入从1开始的n2个自然数；在一定的布局下，其各行、各列和两条对角线上的数字之和正好都相等。这个和数就叫“幻方常数”或“幻和”。显然，对于任意n阶的幻方来说，其幻方常数S和方阵阶数n的关系是n(n?+1)S=2例如3阶的幻方常数是15，4阶的幻方常数是34，5阶的幻方常数是65·.··由于幻方具有这种奇特性质，几千年来吸引着许多数学家和数学爱好者的兴趣，进行了广泛深入的研究。到目前为止，已经发现了幻方的一些规律，解决了有关幻方的一些问题。但有关幻方的未解之谜仍然不少。在详细讨论有关知识和问题之前，我们先介绍与幻方有关的一些传闻趣事。1宇宙飞船上的搭载物1977年，美国先后发射了旅行者1号和旅行者2号宇宙飞船。这两艘飞往茫茫太空的飞船，负有探索宇宙秘密的重大使命。其中一项使命就是寻找“外星人”，与外星人建立联系。长久以来，人们就相信，除了地球以外，在别的星球上也可能有生命存在，甚至有比人还要发达的高级生物存在。地球10
第一章有关幻方的传闻趣事上的无线电台有时会从太空中接收到一些莫明其妙、难以破译的电波，有人认为是外星人发来的联络信号。众说纷绘、千奇百怪的不明飞行物一一UFO的出现与消逝，也为外星人的存在及其活动提供了一些佐证。当然了，发现与寻找外星人，与外星人建立联系，就成了许多科学家追求的自标，也是人类的一个共同愿望。但是，要寻找外星人谈何容易。外星人生存的星球所在的银河系可能与地球相隔“十万八千光年”（这里只是借用“十万八千里”的说法，在宇宙中，十万八千光年只算是一个很小的距离），真是“牛郎织女难相会”。地理位置遥远是寻找外星人的一个很大的障碍。这个障碍由于宇宙航行技术的进步正在逐步被克服。另一个大障碍是如何与外星人沟通信息。外星人如果果真存在，其形态必定与人类不同，其“语言”也必然与人类不同一一地球上的人还说着各种各样极不相同的语言呢。在这种情况下，不采取一定的办法，很可能遇到外星人也“见面不相识”，即使“擦肩而过”，仍然“失之交臂”，那就“千里”而“前功尽弃”了。美国宇航局的官员们为这个问题大伤脑筋。在无可奈何之中，他们向全世界公开征集旅行者1号和2号用以与外星人沟通信息的搭载物。消息传出以后，世界各国的人们纷纷献计献策，出了形形色色的主意。最后，美国宇航局采纳了其中的一些建议，搭载物中除了包括绘有男、女人体形态的金属片，以便向外星人表示自已的身份，让外星人知道“来者是谁”以外，还包括绘有代表人类文明的一些重大发明、发现的图案的金属片。其中，代表人类在数学方面的知识和成就的，一个是11