好玩的数学幻方及其他勾股弦，另一个就是4阶幻方。而且，为了让外星人看明白这是一个幻方，采用了与洛书上的3阶幻方相同的办法，即用一个小圆圈表示1，用2个小圆圈表示2·这样，“仿古幻方”就随同旅行者1号和2号奔向范范太空，作为人类的使者寻找外星人去了。21·南宋杨辉一一一研究幻方第一人由于古时信息交流的极不方便和科学技术的不够发达，我们的祖先在发现3阶幻方以后的数千年中，对它的研究处于长期停滞状态，没有进一步的发展。但这种状况到南宋有了突破。南宋（1127～1279）短短150年的历史上，在政治军事方面，有大义凛然、抗拒外悔的岳飞、文天祥；在文艺方面，有陆游、辛弃疾、李清照那样的大诗人、大词曲作家；在科学方面，则出现了秦九韶（约1202～1261）、李治（1192～1279）、杨辉等一批杰出的数学家，在世界数学史上留下了光辉的一页。其中杨辉除以“杨辉三角”闻名于世外，也是世界上第一个从数学角度对幻方进行详尽研究的学者，并取得了丰硕成果。他在1275年所著的《续古摘奇算法》两卷中、除了给出洛书中3阶幻方的构造方法以外，还给出了4阶至10阶的幻方，其中4阶至8阶幻方各给出两图，杨辉称之为阴、阳图。下面我们就逐一介绍。1.3阶幻方对洛书上的3阶幻方，杨辉将其生成法和最后布局归结为以下8句话：12
第一章有关幻方的传闻趣事九子斜排上下对易左右相更四维挺出戴九履一左三右七二四为肩六八为足根据杨辉的说法，洛书幻方是这样生成的：（1）先将1～9这九个数按序斜排如图1-1（a）；(2）上下对调，即把1与9对调成如图1-1（b)；（3）左右互换，即把3与7互换成如图1-1（c)；（4）四面中间的2、4、6、8四数向外挺出成图1-1（d)。4(b)(a)c(d)图1-1洛书幻方的生成2.4阶幻方杨辉称4阶幻方为“花十六图”或“四四图”，给出了阴、阳两图及阴图的构造法为：“以十六子依次第作四行排列。先以外四角对换：一换十六，四换十三。后以内四角对换：六换十一，七换十”（图1-2)。3.5阶幻方杨辉称为“五五图”，有阴阳两式，见图1-3。13
好玩的数学幻方及其他14111O1512（c）阴图的生成（a）阳图（b）阴图图1-2杨辉的4阶幻方12332723228201132620111071122123122292416-3214(a)阳图(b）阴图（c）阴图的原型图1-3杨辉的5阶幻方其中的阳图，据后人研究，系通过“镶边法”构成，比法国数学家弗雷尼克尔（Frenicle）在17世纪时正式提出该法早400年。由图1-3（a）可见，杨辉五五图的阳图的中央3×3方阵由7、8、9；12、13、14；17、18、19九数组成，构成幻方常数为39的3阶幻方。1～25中其余16个数，则被分为和为26的8对数，即（1，25)，（2，24)，（3，23)，（4，22),(5，21)，（6，20)，（10，16)，（11，15)，分别安排在外围一圈的对应行、列与对角线两端，从而保证了形成5阶幻方。对杨辉五五图的阴图，我们注意到，其中的数不是从1开始的，而是从9开始的，其幻方常数不是65，而是105。把幻方中的每个数都减8，我们可以获得杨辉5阶幻方阴图据以生14
第一章有关幻方的传闻趣事成的常规5阶方，如图1-3（c）。这个幻方设计得十分精巧我们看到，它让1～25的中数13居中，首4数1～4中的两个偶数2、4分居右上角和左上角，两个奇数1、3则分居末行和首列之中，末4数22～25则与1～4居对称位置，即22、24分居右下角和左下角，23、25居未列和首行之中。把首4末4和中数这9个数这样布局以后就形成了一个框架，其余8对和为26的数，其中4对以13为中心分布在内层，即（18，8)，(5，21)，（10，16)，（9，17)，其余4对分布在外层，即(19，7)，（15，11)，（12，14)，（6，20)，每对数都是对13（即方阵中央方格）对称的。这就保证了每行、每列、两条主对角线上数字和都是26+26+13=65。大家看，这是何等的巧妙。但是，杨辉是怎样构造出这样一个5阶幻方的，又为什么不给出这个常规的5阶幻方而要给出阴图所示的5阶幻方？这些都是谜，有待人们去探索、去发现。4.6阶幻方杨辉称作的“六六图”也有阴阳两式，见图1-4。杨辉没有说明他是如何构成这两个6阶幻方的。13221827112041336|2729231436929222|31|18]911|20122114231625321|233225730353234730125141634172619286151726101915248352816333581012433(a)阳图(b) 阴图图1-4杨辉的6阶幻方但是我们通过仔细研究其结构，可以看出一些端倪来。我们先把6阶幻方中所填的1～36排成4列9行，如表1-115
好玩的数学幻方及其他所示。表 1-1列4321和行1281910158229201126233021123664312213 470 32145235746332415 678725341678281735268869279361890和28820712645666表1-1中，每行4数之和依次增大4，每列9数之和依次增大81，每行1、4两数之和等于2、3两数之和，而9行的9个和数形成等差数列可按照洛书3阶幻方的构成法则组成3阶幻方，见图1-5。627090826674587886图1-5表1-1中9个和数构成的幻方比较这个3阶幻方和杨辉“六六图”中的阳图，联系表1-1，我们就可以发现，杨辉6阶幻方正是把表1-1中每行的4个数组成一个2×2的方阵代替3阶幻方中的一个方格。代替时，使4数之和等于3阶幻方该方格中的数，每个2×2的方阵，表1-1中1、4两数和2、3两数分居上下，这样，行的方16