好玩的数学幻方及其他Books，1956)，收集了数学各个分支、各个年代的名家名篇133篇，分4大卷出版。在“数学游戏与数学谜语”这部分的开头，纽曼在介绍中提到幻方时就写道：“单单是有关幻方的著作就足够办一个规模可观的图书馆了（Thewritingsonmagic squares alone suffice to make a fair-sized library）。”读者在看过本书以后当会相信纽曼的这个说法是一点也不过分的，笔者专用一部分介绍幻方也是有道理的。2
O引子洛水神龟献奇图公元前2200年，也就是距今4300年左右，在我们中华民族祖先居住的大地上，发生了暴雨连绵、洪水泛滥、成于上万的人遭到没顶之灾的大悲剧。当时人类抵御自然灾害的能力十分有限。在拯救自身生命的强烈愿望驱使下，人们奋起抗灾，在斗争和失败中学习，涌现出了许多可歌可泣的故事，其中大家最熟悉的是大禹为治水三过家门而不入的事迹。在大禹治水的过程中，还有许多美丽、动人的传说。例如，相传大禹在治黄河的时候，黄河龙马献给大禹一张河图，从而帮助大禹制定了一套正确的治黄方案。另一则传说是大禹在治洛水的时候，洛水神龟献给大禹一一本洛书，书中有如图0-1所示的一幅奇怪的图。这幅图用今天的数学符号翻译出来，就是一个3阶幻方，也就是在3×3的方阵中填入1～9，其每行、每列和2条对角线上3个数字之和都相等，等于15，并把它叫做幻方常数（magicsquareconstant）或幻和(magic sum）。这就是中国人首先发现的世界第个幻方。别小看了这个小小的幻方，这是中国人在数学上的一个伟大创造，它奠定了数学中个重要分支组合学的基础。当然，由于当时还没有发明我们今天所使用的数字符号，所以我们的祖先就巧妙地用这个图来表达他们所知道的幻方。图中，奇数用若干个空心的圆圈表示，偶数用若干个实心的圆圈表示，这和中国古时的阴阳学说有关。3
好玩的数学幻方及其他图0-1洛书上的3阶幻方由于作为洛书3阶幻方基础的九宫数字“二九四，七五三，六一八”在公元80年出版的古书《大戴礼记》卷八《明堂篇》中就有清清楚楚的记载，因此，中国人首先发现了幻方，是国际数学界公认的。幻方后来陆续传播到日本、朝鲜、印度、泰国、阿拉伯等地、引起广泛兴趣和重视。但根据史料记载，国外最早研究幻方的学者当推阿拉伯的塔比·伊本·夸儿拉（ThabitibnQurrah，826～901），那已是公元9世纪了。至于欧洲人知道幻方就更晚了，据信是生于康斯坦丁诺普尔（Constantinople）的印度人穆晓普鲁斯（ManuelMoschopulus）首先在15世纪把幻方介绍到欧洲去的。在中国古代，洛书3阶幻方被蒙上了一层厚厚的神秘色彩。周朝的易学家把它同“九宫说”等同起来（九宫指乾、坎、艮、震、巽、离、坤、兑八卦之宫，外加中央之宫，合称九宫），或者把它同他们所主张的“天地生成数说”联系起来（天数指奇数1、3、5、7、9，表阳、乾、天等；地数指2、4、6、8，表阴、坤、地等）。而两汉时的巫师或方士则把它用作
引子洛水神龟献奇图占卜吉凶的图。另一方面，由于洛书3阶幻方配置9个数字的均衡性和完美性，产生了极大的审美效果，使古人认为其中包含了某种至高无上的原则，也把它作为治国安民九类大法的模式，或把它视为举行国事大典的明堂的格局，因此使中国古人的这一数学杰作，具有了哲学意义的创造。事实上，隐藏在洛书3阶幻方背后，还可能有许多奥秘有待人们去挖掘。我国著名的科普作家兼娱乐数学专家谈祥柏先生就曾在他的著作中介绍了有关对洛书3阶幻方的新发现。首先是把幻方想像为画在汽车轮胎上，于是，最左一列与最右一列相邻，最上一行与最下一行也相邻。这时，9个2×2方阵中的4数之和恰好从16到24，既不重复也不遗漏，如图0-2所示。你说奇不奇？499235S7362123171981124a42401382218162420图0-2洛书3阶幻方9个2×2方阵形成连续数列其次，把每列数字看成一个3位数，则此3个3位数之和与其3个逆转3位数之和相等，而且取它们的平方和也相等，即276+951+ 438=672+159+834=16652762 + 9512 + 4382= 6722 +1592 +8342= 1172421不仅如此，这种性质对行来说也成立，即5
好玩的数学幻方及其他492+357+816=294+753+618=16654922+3572+8162=2942+7532+6182=1035369更有甚者，如果我们把对角线也分成两族，自左上角到右下角的主对角线及与它平行的两条折对角线称为主族，反方向的对角线称为副族，则上述奇妙性质依然成立，即主对角线族：654+798+213=456+897+312=16656542+7982+2132=4562+8972+3122=1109889副对角线族：258+714+693=852+417+396=16652582+7142+6932=8522+4172+3962=1056609在谈先生介绍的上述发现的启发下，笔者发现，在把每行、每列和每条主对角线上的3个数当做一个3位数正读和反读的情况下，洛书3阶幻方还有如下奇异性质，即幻方中间一行、中间一列、两条主对角线所形成的数正读和反读相加之和都等于1110，而第1、第3两行数和第1、第3两列数以及主、副两条折对角线正读和反读之和折半也等于1110：第2行：357+753=1110第2列：951 + 159=1110对角线：258 + 852 = 1110456+654=1110[(492 + 294) +(816 +618)]=1110第1、3行：[(438+834)+(276+672)]=1110第1、3列：主折对角线：[(231+132)+（978+879)】=1110[(471+174)+(936+639)]=1110副折对角线：一大家看奇不奇？因此我们完全有理由在通常的幻方常数6