好玩的数学幻方及其他8一个人如果不知道这种感觉为何物，如果不再体验到惊说，如果不再觉得惶惑，那他就不如说已经死去了。真正的科学家永远不会丧失自己感到惊的能力，因为这是他们之所以成为科学家的根本。”数学家斯坦因(ShermanK.Stein）在《数字的力量-一揭示日常生活中数学的乐趣和威力》（吉林人民出版社，2000）中也写道：“按照一条老的拉丁格言，‘需要为发明之母'，但是，‘好奇为发明之母，同样也是对的。”他举了一个例子：19世纪初法拉第探索电与磁，就不是因为需要，而是出于对宇宙本质的好奇心。当有人问法拉第，你研究这些有什么用时，他反问道：“一个新生婴儿有什么用？”有这样一种说法：一些重大的科学发现和发明创造是“玩”出来的。这听起来似乎令人难以置信，却是事实。因此，说“数学好玩”，不是对数学的贬低，也不是否认数学的高度抽象性和极大困难性，而只是突出其引人入胜的另一面，旨在激发人们的兴趣，热爱它，研究它，到神秘的数学王国中去邀游、去探索。既然“数学好玩”，数学中好玩的那些内容被称之为“娱乐数学”也就顺理成章了。娱乐数学在英文中叫做Recreational Mathematics，或 者 叫Entertainment inMathematics。据哥伦比亚大学专门从事数学教育研究的威廉·夏夫博士（WilliamLeonardSchaaf）考证，娱乐数学已有2000多年的历史，在阿基米德时代就已经有了，到11世纪已有娱乐数学的专著出版。他在20世纪50年代编了一本《娱乐数学文献指南》xvi
前言(Recreational Mathematics: A Guide to the Literatures,National Council of Teachers of Mathematics, Inc.,1958)，收录的娱乐数学重要文献有5000多种，后来他又编了一套《娱乐数学书目》（ABibliographyofRecreationalMathematics），由美国数学会出版，有3卷之多。著名的科普杂志《科学美国人》（ScientificAmerican）在20世纪下半叶由著名的娱乐数学专家马丁·加德纳（MartinGardner）办了一个“数学游戏”(MathematicalGames）专栏，大受读者欢迎，持续了近30年。到80年代中期，一则因加德纳退休，二则因个人电脑的兴起，这个专栏被改为“计算机娱乐”（ComputerRecreation）专栏，但不久就又改为“数学娱乐”（MathematicalRecreation）专栏。现在，《科学美国人》每期都有这个栏目，是这个杂志最受读者欢迎的“保留栏目”。在我国，也已出版了不少“趣味数学”、“数学游戏”这类专著和读物、娱乐数学的一些世界名著也被译成中文介绍给我国读者。但是由于种种原因，数学的这块园地在我国始终没有和“娱乐”这个词直接挂起钩来，因此，在我国读者中就没有“娱乐数学”这个概念。就笔者所见，只有亨特（J．A，H.Hunter）的名著《MathematicalDiversions》的中译本被冠以《数学娱乐问题》的书名出版，大概见过此书的读者不多。笔者认为，现在该是娱乐数学“闪亮登场”的时候了。如同劳动和受教育是每个公民的权利一样，休息和娱乐也是公民的基本权利，而娱乐的形式是多种xvi
好玩的数学幻方及其他多样的。通过“玩数学”达到娱乐的目的，同时又提高了科学素养，增长了知识，真是两全其美，何乐而不为，有什么理由不大力提倡呢？本书分两部分。第一部分介绍百变幻方一娱乐数学第一名题。幻方是几千年前中国人首先发现的，后来传到世界各地，引起广泛兴趣。幻方是简单得人人可以理解的数学现象，但是它又蕴含着许多至今无人能够回答的问题，包括利用强大的计算机自前仍然解决不了的问题，因而自然成了娱乐数学中最受人关注的一个课题。本书对古今中外在幻方研究中的成果和发现有详尽的介绍，仅幻方构造法就列举了10多种，既包括传统的连续摆数法、阶梯法、对角线法、镶边法等，文有近代数学家最近才开发出来的LUX法、相乘法等，对于绝大多数读者来说都是耳目一新的。美国建国前后的大政治家、大发明家本杰明·富兰克林推出了许多神奇的幻方、幻圆，其中的8轮幻圆（他自己称之为“magic circle of circles"）中，又含有4组偏心的同心圆。百多年来的中外文献中，对这4组偏心的同心圆在8轮幻圆中到底起什么作用，都没有明确的说明。笔者经过反复查证，终于在200多年前出版的一部科学辞典中找到了答案，首次给读者提供了准确的解释。南宋的杨辉是世界上系统研究幻方的第一人。他给出的4阶至8阶幻方各有阴、阳两图。同为4阶幻方，为什么把这幅称为阳图，把那幅称为阴图而不是相反，几乎没有人认真探讨过这个问题。笔者注意到这个问题，并进行了初步的探讨，认为幻xvii
前言方是有优劣、高低之分的，并提出了判别的依据，由此给出了对杨辉4阶幻方阴、阳两图的一种可能解释。笔者不敢断言自己的观点和方法一定是正确的，只希望这一讨论能成为引玉之砖，把对有关问题的研究引向深入。本书第二部分是娱乐数学其他经典名题，包括数字哑谜（也就是算式复原，诸如冷战时期出现的USA+USSR二PEACE）、数学金字塔、素数、NIM游戏，还有数论中的完美数、自守数、累进可除数、用尽1～9表示任意整数，以及所谓“数学黑洞”和棋盘上的哈密顿回路、八皇后问题、约瑟夫斯问题（也就是幸存者问题）、重排九宫、梵塔等，内容十分广泛，问题十分有趣。笔者在充分发掘娱乐数学的历史遗产的同时，又十分重视当今的科技进步，用最新材料充实了经典名题的内涵。例如，素数是一个十分古老的课题，本书有两章是涉及素数的，其中不乏经典的问题，如梅森素数。本书在介绍梅森素数部分，笔触从16世纪的大数学家梅森一直伸展到本世纪初的网民志愿者组织GIMPS（全球因特网梅森素数大寻找），全景式地向读者展现了历代数学家和数学爱好者在挖掘最大素数方面的历程，全面介绍了从手工计算到计算机计算，从巨型机计算到网络计算至今所获得的全部39个梅森素数，比较充分地反映了在计算机技术尤其是网络技术飞速发展、网络应用日益普及的情况下，有关娱乐数学研究所呈现出的日新月异的景象。本书是在笔者近10年来所写作的数学小品的基础xix
好玩的数学幻方及其他上，经过重新整理、修订和增补而成的。这些数学小品有些在《知识就是力量》等刊物上公开发表过；有些虽然没有发表过，但在笔者任教的北京理工大学科协所组织的科普讲座上向大学生们演讲过。笔者不是数学工作者，笔者从事的专业是计算机，涉足娱乐数学这一领域一是出于个人爱好，二是出于专业教学的需要，因为笔者发现，用娱乐数学中的有趣问题作程序设计的例题与习题，可以大大激发学生的学习热情与积极性。但由于不是本行，书中难免有错误、疏漏或“说外行话”之处，愿请专家和读者批评、指正。此外，本书引用了大量中外文的书刊和网上资料，多数注明了出处，但因为本书毕竞不是学术专著而是科普作品，因此笔者没有刻意追求逐一注明材料来源，这是需要说明的。吴鹤龄2003年初春于北京xx